黑龍江省佳木斯市三校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)2

20232024學(xué)年度（上）三校聯(lián)考高二期末考試數(shù)學(xué)試題命題教師：審題教師：考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前請(qǐng)粘貼好條形碼，填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息．2．本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿(mǎn)分150分。第I卷（選擇題）單選題（每小題5分）．1．平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量，則平面與平面（

）A．平行B．垂直 C．相交 D．不能確定2．直線(xiàn)的傾斜角是（）A． B． C． D．3．橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A． B． C． D．5．設(shè)為空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底，，，則等于（

）A．7 B． C．23 D．116．若直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線(xiàn)C與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離等于1，則雙曲線(xiàn)C的方程為（

）A． B． C． D．二、多選題（每小題5分）．9．關(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（

）A．離心率為 B．長(zhǎng)軸長(zhǎng)是C．焦點(diǎn)在軸上 D．焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，(1，0)10．在正方體中，若為的中點(diǎn)，則與直線(xiàn)不垂直的有（

）A． B． C． D．11．已知點(diǎn)，，直線(xiàn)：（其中），若直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的值可能是（）A．0 B．1 C．2 D．412．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線(xiàn)段，上，則下列命題正確的是（

）A．直線(xiàn)BC與平面所成的角等于 B．點(diǎn)到平面的距離為C．異面直線(xiàn)和所成的角為. D．線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分）.13．已知，，且，則，.14．若圓，與圓：相交于，，則公共弦的長(zhǎng)為.15．已知點(diǎn)，平面過(guò)原點(diǎn)，且垂直于向量，則點(diǎn)到平面的的距離為．16．已知雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為，若以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為．四、解答題（17題10分，18、19、20、21、22題各12分.）17．已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，．(1)求；(2)與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值．18．直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)和的交點(diǎn)．(1)若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，求直線(xiàn)的方程；(2)若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求直線(xiàn)的方程．19．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DD1的中點(diǎn)，（1）求證：CF∥平面A1DE；（2）求平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值．20．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的圓心在直線(xiàn)上，且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓恰有1個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)的方程.21．已知拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M（5，m）到焦點(diǎn)F的距離為6.(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l方程.22．如下圖，已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：上的一點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，且、、三點(diǎn)互不重合．（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線(xiàn)，的斜率之和為定值．20232024學(xué)年度（上）三校聯(lián)考高二期末考試數(shù)學(xué)試題答案1．A【解析】由兩個(gè)平面法向量的位置關(guān)系判斷兩平面的位置關(guān)系【詳解】解：因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量，所以，所以所以．故選：A2．D【解析】直線(xiàn)方程化為點(diǎn)斜式，求出直線(xiàn)斜率，即可求出傾斜角.【詳解】化為，斜率為，所以?xún)A斜角為.故選:D.3．C【解析】根據(jù)橢圓方程求，，，再求離心率.【詳解】由橢圓方程可知，，所以，橢圓的離心率.故選：C4．A【解析】求出關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)題意，則為最短距離，即可得答案；【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)榈膱A心為，根據(jù)題意，為最短距離，先求出的坐標(biāo)，的中點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率為1，故直線(xiàn)為，由，解得，，所以，故，故選：A.5．B【解析】由向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)直接求解即可【詳解】解：因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底，所以，所以．故選：B.6．C【解析】由圓的圓心為，半徑為，又直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為4，可得直線(xiàn)過(guò)圓心，則，然后利用基本不等式中“1”的靈活運(yùn)用即可求解.【詳解】解：圓是以為圓心，以為半徑的圓，又直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，直線(xiàn)過(guò)圓心，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最小值為，故選：C．7．C【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線(xiàn)線(xiàn)角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，選C.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線(xiàn)面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.8．A【解析】根據(jù)橢圓的方程可得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，且，然后設(shè)雙曲線(xiàn)的方程，并求出漸近線(xiàn)方程，最后由焦點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離等于及雙曲線(xiàn)中即可求解.【詳解】解：因?yàn)闄E圓的方程為，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)在軸上，且，設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為，則有，其漸近線(xiàn)方程為，即，又焦點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離等于1，則有，所以，所以雙曲線(xiàn)C的方程為，故選：A.9．AD【解析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再由橢圓的幾何性質(zhì)可得選項(xiàng).【詳解】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為所以該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故C錯(cuò)誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確；長(zhǎng)軸長(zhǎng)是故B錯(cuò)誤因?yàn)樗噪x心率故A正確.故選：AD.10．ACD【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，然后利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.則，，，，，，，∴，，，，.∵，，..∴與不垂直的有、、，故選：ACD.11．BC【解析】由題意可得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，所以要直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，必須滿(mǎn)足，從而可求出斜率的取值范圍，進(jìn)而可得答案【詳解】由，得，因?yàn)樗?，解得，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)，，直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足：，即，得，故選：BC12．ABD【解析】根據(jù)直線(xiàn)和平面所成的夾角，點(diǎn)到平面的距離，異面直線(xiàn)所成的角以及異面直線(xiàn)距離的計(jì)算方法進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：由題意得：正方體的棱長(zhǎng)為2對(duì)于選項(xiàng)A：連接，設(shè)交于O點(diǎn)平面即為直線(xiàn)BC與平面所成的角，且，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：連接，設(shè)交于O點(diǎn)平面點(diǎn)到平面的距離為,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：連接、，由正方體性質(zhì)可知∥故異面直線(xiàn)和所成的角即為和所成的角又為等邊三角形故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：過(guò)作，過(guò)作，連接PQ為異面直線(xiàn)之間的距離，這時(shí)距離最??；設(shè)，為等腰直角三角形，則，也為等腰直角三角形，則為直角三角形故當(dāng)時(shí)，取最小值，故，故D正確；故選：ABD13．【解析】利用向量平行的充要條件列出關(guān)于x、y的方程組，解之即可求得x、y的值.【詳解】，，則，由，可得，解之得14．【解析】?jī)蓤A方程相減可得公共弦所在直線(xiàn)方程，利用垂徑定理即可得解.【詳解】由題意所在的直線(xiàn)方程為：，即，因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離為1，所以.故答案為：2【解析】求出在的投影即可.【詳解】由題可知點(diǎn)到平面的的距離即為在的投影，，，，，在的投影為．16．【解析】首先取的中點(diǎn)，連接．則，根據(jù)已知條件得到，從而得到，再求離心率即可.【詳解】如圖所示：取的中點(diǎn)，連接．則．由知，，又因?yàn)辄c(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，所以，即，又，代入化簡(jiǎn)得，即，解得或（舍去），故．故答案為：17．(1)；(2)或.【解析】（1）應(yīng)用向量線(xiàn)性關(guān)系坐標(biāo)運(yùn)算得，，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)公式求夾角余弦值；（2）首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)k.【詳解】（1）由題設(shè)，，所以.（2）由，，而，所以，可得或.18．(1)(2)或【解析】（1）由題意兩立方程組，求兩直線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩直線(xiàn)平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出的方程．（2）分類(lèi)討論直線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，用點(diǎn)斜式求直線(xiàn)的方程．【詳解】（1）解：由，解得，所以?xún)芍本€(xiàn)和的交點(diǎn)為．當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，設(shè)的方程為，把點(diǎn)代入求得，可得的方程為．（2）解：斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，滿(mǎn)足點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為5．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直限的方程為，即，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求得，故的方程為，即．綜上，直線(xiàn)的方程為或．19.（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CF∥平面A1DE．（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值．【詳解】證明：（1）以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），則，設(shè)平面A1DE的法向量是則，取，∴所以CF∥平面A1DE．解：（2）是面A1DA的法向量，∴即平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值為．20．（1）；（2）或【解析】（1）由題意可知，圓心應(yīng)在弦PQ的中垂線(xiàn)上，求出該直線(xiàn)方程，與圓心所在直線(xiàn)方程聯(lián)立求解，求得圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)P在圓上，求出半徑，進(jìn)而求出圓的方程；（2）分直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行討論，設(shè)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，由直線(xiàn)與圓相切可知，圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，求出直線(xiàn)的斜率，從而求出直線(xiàn)的方程．【詳解】解：（1）直線(xiàn)的斜率，中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以中垂線(xiàn)方程為，即，由得，圓心，所以，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）當(dāng)該直線(xiàn)斜率不存在，即直線(xiàn)方程為時(shí)，成立，當(dāng)該直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，即，因?yàn)樵撝本€(xiàn)與圓恰有1個(gè)公共點(diǎn)，所以圓心到直線(xiàn)距離，得.所以切線(xiàn)方程為或.21．(1)(2)【解析】（1）由拋物線(xiàn)定義有求參數(shù)，即可寫(xiě)出拋物線(xiàn)方程.（2）由題意設(shè)，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，結(jié)合韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)k，即可得直線(xiàn)l方程．【詳解】（1）由題設(shè)，拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程為，∴拋物線(xiàn)定義知：可得，故（2）由題設(shè)，直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，設(shè)聯(lián)立方程，得，整理得，則.又P是線(xiàn)段