數(shù)列題型分類歸納(第一版)

數(shù)列題型分類歸納等差數(shù)列題型、等差數(shù)列的性質(zhì)1、〔整體求解思想〕一個只有有限項的等差數(shù)列，它的前5項的和為34，最后5項的和為146，所有項的和為234，求2、在等差數(shù)列中，假設(shè)，是數(shù)列前項的和，那么等于〔〕A.48B.54C3、兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，那么使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是〔〕A.2B.3C高考題1、〔2012求公差、等差中項〕.福建2等差數(shù)列中，，那么數(shù)列的公差為〔〕A．1B．2C2、〔2012江西12〕〔等差中項、整體代換〕.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列，假設(shè)a1+b1=7，a3+b3=21，那么a5+b5=___________3、(2009安徽卷文〕為等差數(shù)列，，那么等于A.-1 B.1 4、〔2009湖南卷文〕設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，，，那么等于()A．13B．35C．49D．635、〔求公差、待定系數(shù)法〕〔2009福建卷理〕等差數(shù)列的前n項和為，且=6，=4，那么公差d等于A．1BC.-2D36、〔求公差〕〔2009遼寧卷文〕為等差數(shù)列，且－2＝－1,＝0,那么公差d＝A.－2B.－C.D.27、〔2009寧夏海南卷文〕等差數(shù)列的前n項和為，，,那么A.38B.20C.10D.98、〔2009全國卷Ⅰ理〕設(shè)等差數(shù)列的前項和為，假設(shè),那么=9、〔2009全國卷Ⅱ理〕設(shè)等差數(shù)列的前項和為，假設(shè)那么10、〔2009遼寧卷理〕等差數(shù)列的前項和為，且那么題型、等差數(shù)列的通項公式1、〔2012〕.廣東11.遞增的等差數(shù)列滿足，那么題型、等差數(shù)列的求和1、〔2012數(shù)列、三角函數(shù)的周期性〕.福建14.數(shù)列的通項公式，前項和為，那么___________?！?018】2、〔2012全國卷大綱版5．〕〔裂項求和〕等差數(shù)列的前項和為，那么數(shù)列的前100項和為A．B．C．D．3、〔等比中項、等差數(shù)列的求和〕〔2009江西卷文〕公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.假設(shè)是的等比中項,,那么等于A.18B.24C.60D.904、〔等比中項、等差數(shù)列求和〕〔2009四川卷文〕等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，那么數(shù)列的前10項之和是A.90B.100C.145D.1905、〔求公差、求和公式的直接運(yùn)用〕〔2009重慶卷文〕設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，那么的前項和=〔〕A． B． C． D．題型、等差數(shù)列的通項公式和求和1、〔2012求和、通項公式〕.北京10．等差數(shù)列為其前n項和。假設(shè)，，那么=_______。2、〔此題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式，是簡單題〕〔2012江西16.〕〔本小題總分值12分〕數(shù)列{an}的前n項和,且Sn的最大值為8.〔1〕確定常數(shù)k，求an；〔2〕求數(shù)列的前n項和Tn。等差數(shù)列的綜合題1、〔2012等差數(shù)列、通項公式、不等式〕.廣東19.(本小題總分值14分)設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足，且成等差數(shù)列?！?〕求的值；〔2〕求數(shù)列的通項公式?！?〕證明：對一切正整數(shù)，有2、〔等差數(shù)列、等比數(shù)列、證明等差數(shù)列、命題〕等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.(Ⅰ)假設(shè)Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列，證明am，am＋2，am＋1成等差數(shù)列；(Ⅱ)寫出(Ⅰ)的逆命題，判斷它的真?zhèn)?，并給出證明.3、〔求通項、最值〕數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=－13，〔Ⅰ〕設(shè)的通項公式；〔Ⅱ〕求n為何值時，最小〔不需要求的最小值〕等比數(shù)列題型、等比數(shù)列的性質(zhì)1、〔無視公比的符號〕一個等比數(shù)列前四項之積為，第二、三項的和為，求這個等比數(shù)列的公比．2、〔求公比〕等比數(shù)列中，假設(shè)，，那么的值

〔A〕是3或－3〔B〕是3〔C〕是－3〔D〕不存在3、〔求公比1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第〔21〕題〕設(shè)等比數(shù)列的全項和為.假設(shè)，求數(shù)列的公比.高考題1〔.2012安徽4.〕公比為等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，那么〔〕2、〔此題考察等比數(shù)列性質(zhì)及函數(shù)計算〕.〔2012〕.湖北7．定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，那么稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：①；②；③；④.那么其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為①② B．③④ C．①③ D．②④3.〔等比數(shù)列、概率〕〔2012江蘇6．〕〔2012年江蘇省5分〕現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項，為公比的的概率是▲．4、(2009年廣東卷文)等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，那么=A.B.C.D.25、〔2009浙江理〕設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，那么6、〔2009北京文〕假設(shè)數(shù)列滿足：，那么；前8項的和.〔用數(shù)字作答〕7、〔2009全國卷Ⅱ文〕設(shè)等比數(shù)列{}的前n項和為。假設(shè)，那么=×題型、等比數(shù)列的通項公式1、〔此題主要考查等比數(shù)列的通項公式及方程思想，是簡單題〕〔2012遼寧14〕.等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，那么數(shù)列的通項公式____________題型、等比數(shù)列的求和1、〔無視等比數(shù)列的前n項和公式的使用條件〕求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋…＋(an－n).等比數(shù)列的綜合題等差、等比數(shù)列的綜合題1、〔2012〕.湖北18．〔本小題總分值12分〕等差數(shù)列前三項的和為，前三項的積為.〔Ⅰ〕求等差數(shù)列的通項公式；〔Ⅱ〕假設(shè)，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.2〔等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證〕〔2012湖南19〕〔本小題總分值12分〕數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記A〔n〕=a1+a2+……+an，B〔n〕=a2+a3+……+an+1，C〔n〕=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……假設(shè)a1=1，a2=5，且對任意n∈N﹡，三個數(shù)A〔n〕，B〔n〕，C〔n〕組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式.證明：數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個數(shù)A〔n〕，B〔n〕，C〔n〕組成公比為q的等比數(shù)列.3、〔證明等差數(shù)列、待定系數(shù)法、不等式、反證法〕〔2012.江蘇20〕．〔2012年江蘇省16分〕各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，，〔1〕設(shè)，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；〔2〕設(shè)，，且是等比數(shù)列，求和的值．通項公式最根本的方法：1、公式法例題：數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，假設(shè)函數(shù)f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；練1.等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且=48，=12，那么數(shù)列的通項公式是〔〕(A)(B)(C)(D)練2.等比數(shù)列的首項，公比，設(shè)數(shù)列的通項為，求數(shù)列的通項公式。點評：當(dāng)數(shù)列為等差或等比數(shù)列時，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項公式，只需求得首項及公差公比。2、Sn法利用(≥2)對于一般數(shù)列，假設(shè)條件為，求通項的方法，除了用“嘗試——猜測——探求——發(fā)現(xiàn)”〔最后用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格證明〕思維模式外，還有其他的處理方法，由首先推出，解除的大小，接著常有兩個思考方向：當(dāng)時，，問題轉(zhuǎn)化為與〔〕的關(guān)系問題〔前面已求出〕，求出后，可用，〔〕求出數(shù)列的通項；利用遞推關(guān)系作差技巧，由得〔〕，而〔〕，兩式相減即得，于是我們就把問題轉(zhuǎn)化為與之間的問題了〔一般情況下，轉(zhuǎn)化到這一步問題就比擬容易解決了〕。例題：以下兩數(shù)列的前n項和sn的公式，求的通項公式?！?〕?！?〕注意：要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗證能否統(tǒng)一。1、數(shù)列{an}的前n項和Sn，求通項公式an：〔1〕Sn＝5n2＋3n；〔2〕Sn＝－2；2、〔等差中項、等比中項〕設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項和為，并且對于所有的自然數(shù)，與2的等差中項等于與2的等比中項?！?〕寫出數(shù)列的前3項；〔2〕求數(shù)列的通項公式3、〔等差數(shù)列、Sn法、不等式〕各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和滿足，且，，〔1〕求的通項公式；〔2〕設(shè)數(shù)列滿足，并記為的前項和，求證：，.高考題1、〔2009浙江文〕設(shè)為數(shù)列的前項和，，，其中是常數(shù)．〔I〕求及；〔II〕假設(shè)對于任意的，，，成等比數(shù)列，求的值．利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項的九種類型及解法類型一.型〔累加法〕規(guī)律：,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項.=1\*GB3①假設(shè)f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;=2\*GB3②假設(shè)f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;=3\*GB3③假設(shè)f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;=4\*GB3④假設(shè)f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。例題1.〔2003天津文〕數(shù)列｛an｝滿足,證明練習(xí)1、數(shù)列的首項為1，且寫出數(shù)列的通項公式.練習(xí)2數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項公式.練習(xí)3、數(shù)列中,且,求數(shù)列的通項公式.〔注：此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來求解.〕練習(xí)4：數(shù)列6，9，14，21，30，…求此數(shù)列的一個通項。練習(xí)5假設(shè)在數(shù)列中，，，求通項。1、〔遷移能力、累加法、等比數(shù)列、求通項〕在數(shù)列中〔是常數(shù)，〕，且成公比不為1的等比數(shù)列，〔1〕求的值，〔2〕求的通項.類型二.型〔累乘法〕例題1.設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且〔=1，2，3，…〕，那么它的通項公式是=________.(注：此題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過因式分解〔一般情況時用求根公式〕得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.)練習(xí)1.,求數(shù)列{an}的通項公式.〔注：此題解題的關(guān)鍵是把原來的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為假設(shè)令,那么問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項公式.〕練習(xí)2、在數(shù)列｛｝中，=1,(n+1)·=n·，求的表達(dá)式。練習(xí)3、數(shù)列中，，前項和與的關(guān)系是，試求通項公式?！颤c評：一般地，對于型如=(n)·類的通項公式，當(dāng)?shù)闹悼梢郧蟮脮r，宜采用此方法?！愁愋腿?型〔1〕假設(shè)〔d為常數(shù)〕，那么數(shù)列{}為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論;〔2〕假設(shè)f(n)為n的函數(shù)〔非常數(shù)〕時，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項;或用逐差法(兩式相減)得，，分奇偶項來分求通項.例題1.數(shù)列{}滿足,,求數(shù)列{an}的通項公式.分析：構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，結(jié)果要復(fù)原成n的表達(dá)式.練習(xí)1.〔2005江西卷〕數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn－Sn－2=3求數(shù)列{an}的通項公式.類型四.型〔1〕假設(shè)(p為常數(shù))，那么數(shù)列{}為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論;〔2〕假設(shè)f(n)為n的函數(shù)〔非常數(shù)〕時，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項來分求通項.例題1.數(shù)列,求此數(shù)列的通項公式.類型五．,其中)型〔1〕假設(shè)c=1時，數(shù)列{}為等差數(shù)列;〔2〕假設(shè)d=0時，數(shù)列{}為等比數(shù)列;〔3〕假設(shè)時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.方法如下：設(shè),例1．?dāng)?shù)列中，求通項.分析：兩邊直接加上,構(gòu)造新的等比數(shù)列。可用迭代法或歸納法。用三種方法來解題，體會并比擬它們的不同.1、知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項.類型六.型(1)假設(shè)(其中k,b是常數(shù)，且)方法：相減法例題1、在數(shù)列中，求通項.練習(xí)1.在數(shù)列中，,求通項.(2)假設(shè)(其中q是常數(shù)，且n0,1)=1\*GB3①假設(shè)p=1時，即：，累加即可.=2\*GB3②假設(shè)時，即：，求通項方法有以下三種方向：=1\*romani.兩邊同除以.=2\*romanii.兩邊同除以.轉(zhuǎn)化為類型5來解，=3\*romaniii.待定系數(shù)法：例1.〔2003天津理〕設(shè)為常數(shù)，且．證明對任意≥1，；(評注：此題的關(guān)鍵是兩邊同除以3，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為類型5，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而將求一般數(shù)列的通項問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項問題.也可用待定系數(shù)法或數(shù)學(xué)歸納法)規(guī)律：類型共同的規(guī)律為：兩邊同除以，累加求和，只是求和的方法不同.類型七.型〔1〕即(倒數(shù)法)例題1.數(shù)列中，，，求通項公式。練習(xí)1.〔湖北卷〕不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列的各項為正，且滿足〔Ⅰ〕證明分析：此題看似是不等式問題，實質(zhì)就是求通項問題.評注：此題結(jié)合不等式的性質(zhì)，從兩邊取倒數(shù)入手，再通過裂項求和即可證得.(2〕.型〔不動點法〕我們設(shè),由方程求得二根x,y,由有同理,兩式相除有,從而得,再解出即可.例1.設(shè)數(shù)列｛an｝滿足,求｛an｝的通項公式.分析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.類型八.(其中p,q為常數(shù))型〔1〕當(dāng)p+q=1時用轉(zhuǎn)化法例題.數(shù)列中，假設(shè),且滿足,求.1、〔求通項、最值〕數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=－13，〔Ⅰ〕設(shè)的通項公式；〔Ⅱ〕求n為何值時，最小〔不需要求的最小值〕〔2〕當(dāng)時用待定系數(shù)法.例2.數(shù)列滿足，且,且滿足,求.(評注：形如的遞推數(shù)列,我們通常采用兩次類型(5)的方法來求解,但這種方法比擬復(fù)雜,我們采用特征根的方法:設(shè)方程的二根為,設(shè),再利用的值求得p,q的值即可.)類型九(其中p,r為常數(shù))型〔1〕p>0，(對數(shù)法)例1.設(shè)正項數(shù)列滿足，〔n≥2〕.求數(shù)列的通項公式.練習(xí)1數(shù)列中，，〔n≥2〕，求數(shù)列的通項公式.答案：〔2〕p<0時〔迭代法〕練習(xí)2、〔2005江西卷〕數(shù)列，〔1〕證明〔2〕求數(shù)列的通項公式an.〔方法1、歸納-猜測-證明，也很簡捷，請試一試.方法2、設(shè)c，那么c,轉(zhuǎn)化為上面類型〔1〕來解.〕求前n項和一、利用常用的求和公式求和1、等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：[例1]，求的前n項和.練習(xí)1、設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.練習(xí)2、練習(xí)3、練習(xí)4、求數(shù)列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n項和練習(xí)5、等比數(shù)列的前項和Sｎ＝2ｎ－１，那么＝_____；二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例題1、求和：練習(xí)1、求數(shù)列前n項的和練習(xí)2、〔2008年全國Ⅰ第19題第〔2〕小題，總分值6分〕，求數(shù)列｛an｝的前n項和Sn.練習(xí)3、數(shù)列，求前n項和。練習(xí)4、設(shè)為等比數(shù)列，，，，①求數(shù)列的首項和公比；②求數(shù)列的通項公式.；三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列〔反序〕，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.例題1、求的值練習(xí)1、求證：練習(xí)2、函數(shù)〔1〕證明：；〔2〕求的值.四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，假設(shè)將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例題1、求數(shù)列的前n項和：，…練習(xí)1、求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項和.練習(xí)2、求和：練習(xí)3、求和：五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項〔通項〕分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終到達(dá)求和的目的.通項分解〔裂項〕如：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕(6)；(7)，；(8)(9). 例題1、求數(shù)列的前n項和.練習(xí)1、在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項的和.練習(xí)2、計算：練習(xí)3、求和練習(xí)4、求和：；練習(xí)5、在數(shù)列中，，且Sｎ＝９，那么n＝_____；

六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例題1、求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.練習(xí)1、數(shù)列{an}：，求S2002.練習(xí)2、在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，假設(shè)的值。七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例題1、求之和.解：由于練習(xí)1、數(shù)列{an}：的值.數(shù)列與不等式1、〔2012等差數(shù)列、通項公式、不等式〕.廣東19.(本小題總分值14分)設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足，且成等差數(shù)列?！?〕求的值；〔2〕求數(shù)列的通項公式。〔3〕證明：對一切正整數(shù)，有2、〔此題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的根本性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．此題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.〕〔2009北京文〕設(shè)數(shù)列的通項公式為.數(shù)列定義如下：對于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.〔Ⅰ〕假設(shè)，求；〔Ⅱ〕假設(shè)，求數(shù)列的前2m項和公式；〔Ⅲ〕是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由.數(shù)列與函數(shù)題型、數(shù)列與單調(diào)性1、〔2012安徽21〕〔本小題總分值13分〕數(shù)列滿足：〔I〕證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是〔II〕求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。2、〔數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)〕函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(1,1)成中心對稱，且f'(1)=0．〔Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；〔Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}滿足條件：a1∈(1,2)，an+1=f(an)求證：(a1－a2)