中考數(shù)學(xué)壓軸題練習(xí) 21旋轉(zhuǎn)模型綜合問(wèn)題（教師版）

【壓軸必刷】中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題21旋轉(zhuǎn)模型綜合問(wèn)題

典例題

【例I】.如圖(1),P為AABC所在平面上一點(diǎn)，且NAP8=NBPC=NC%=120°,則點(diǎn)P叫做AABC

的費(fèi)馬點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)P為銳角448C的費(fèi)馬點(diǎn)，且NABC=60°.

①求證：AABPsABCP；

②若B4=3,PC=4,則PB=2、伍.

(2)已知銳角AABC,分別以AB、AC為邊向外作正AABE和正44CZλCE和8。相交于P點(diǎn).如圖

(2)

①求NCPo的度數(shù)；

②求證：P點(diǎn)為AABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【分析】(1)①根據(jù)題意，利用內(nèi)角和定理及等式性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用兩角相等的三角形相似即

可得證；

②由三角形A8P與三角形8CP相似，得比例，將力與PC的長(zhǎng)代入求出P8的長(zhǎng)即可；

(2)①根據(jù)三角形ABE與三角形ACo為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，兩個(gè)角

為60°,利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACE與三角形ABD全等，利用全等三角

形的對(duì)應(yīng)角相等得到Nl=∕2,再由對(duì)頂角相等，得到/5=/6,即可求出所求角度數(shù)；

②由三角形4。尸與三角形CPF相似，得到比例式，變形得到積的恒等式，再由對(duì)頂角相等，利用兩邊

成比例，且?jiàn)A角相等的三角形相似得到三角形A”與三角形CfD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得

到/APF為60°,由NAao+/OPG求出/APC為120°,進(jìn)而確定出/APB與N8PC都為120°,

即可得證.

【解答】（1）證明：①?.?N∕?8+NP8A=180°-ZAPB=60o，ZPBC+ZPBA=ZABC=60°,

?'.NPAB=NPBC,

又INAPB=NBPC=120°，

：.XABPs4BCP,

②解：?：XABPs[?BCP'

?PA=PB

"PBPC,

J.PBλ=PA?PC=?2,

.,.PB=2√3;

故答案為：2√j

(2)解：①；△48E與AACO都為等邊三角形，

二NBA￡=/CAQ=60°,AE=AB,AC=AD,

：.ZBAE+ZBAC^ZCAD+ZBAC,即NEAC=NBAD,

在AACE和aABO中，

,AC=AD

<ZEAC=ZBAD-

EA=AB

Λ?4CE^?ABD(SAS),

ΛZ1=Z2,

VZ3=Z4,

，/CPD=/6=/5=60°；

②證明：方法一：<XADFs∕?CFP,

...迎=雪

"cpPF,

.?.AF?PF=DF?CP,

,.?NAFP=NCFD,

Λ?Λ∕7P∞?CDF.

.*.ZAPF=ZACD=6Q,',

ΛZAPC=ZCPD+ZAPF=120°,

/.ZBPC=120",

ΛZΛPB=360°-NBPC-NAPC=I20：

P點(diǎn)為AABC的費(fèi)馬點(diǎn).

方法二：由①知：ZCPD=60o,

ΛZBPC=180o-ZCPD=120°,

由①知：Nl=∕2,

ΛA,P,C,。共圓，

ΛZAPC+ZADC=ISOo,

.?.NAPC=180°-ZADC=120°,

ΛZΛPB=360°-ZBPC-ZAPC=\20°,

二產(chǎn)點(diǎn)為AABC的費(fèi)馬點(diǎn).

圖2

【例2】.如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM.以AB為一邊向外作等邊三

角形AABE,將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BM連接EM

(1)求證：AAMB當(dāng)LENB;

(2)若4M+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為aABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)M為aABC的費(fèi)馬點(diǎn)，試求此時(shí)N

AMB.NBMC、NeMA的度數(shù)；

(3)小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖②，分別以AABC的AB、AC

為一邊向外作等邊aABE和等邊AAC凡連接CE、BF,設(shè)交點(diǎn)為M,則點(diǎn)/即為AABC的費(fèi)馬點(diǎn).試

說(shuō)明這種作法的依據(jù).

【分析】(1)結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證

(2)連接MN,由(1)的結(jié)論證明WN為等邊三角形，所以BM=MN,即AM+BM+CM=EN+MN+CM,

所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AΛ7+8M+CM的值最小，從而可求此時(shí)/AM8、ZBMC,NaWA的度

數(shù)；

（3）根據(jù)（2）中費(fèi)馬點(diǎn)的定義，又aABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上.因此線段EC

與8尸的交點(diǎn)即為AABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【解析】（1）證明：YZXABE為等邊三角形，

C.AB=BE,NABE=60°.

而NMBV=60°，

NABM=NEBN.

在與aENB中，

'AB=BE

,?,<ZABM=ZEBN-

BI=BN

：.叢AMBm叢ENB（SAS）.

（2）連接MM由（1）知，AM=EN.

?：NMBN=60°,BM=BN,

.?.△8MN為等邊三角形.

IBM=MN.

.?AM+BM+CM=EN+MN+CM.

當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AA/+8M+CM的值最小.

此時(shí)，ZBMC=1800-ZWfi=I20°；

ZAMB=ZENB=180°-ZBW=120°；

NAWC=360°-ZBMC-ZAMB=120°.

（3）由（2）知，AABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上.

因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為aABC的費(fèi)馬點(diǎn).

B

圖1

【例3].如圖(1),P為AABC所在平面上一點(diǎn)，且NAP8=NBPC=NC%=120°,則點(diǎn)P叫做AABC

的費(fèi)馬點(diǎn).

(1)若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是(填是或不是)該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

(2)如果點(diǎn)P為銳角448C的費(fèi)馬點(diǎn)，且N4BC=6O°.求證：AABPsABCP;

(3)已知銳角4A8C,分別以AB、AC為邊向外作正AABE和正AACZ),CE和BQ相交于P點(diǎn).如圖

(2)

①求NCPO的度數(shù)；

②求證：P點(diǎn)為AABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【分析】(1)依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知：A/8平分N48C,則∕4BP=30°,同理∕8AP=30°,

則NAP8=120°,同理可求得乙4PC,NB尸C的度數(shù)，然后可作出判斷；

(2)由費(fèi)馬點(diǎn)的定義可知NB4B=NPBC,然后再證明N∕?8=NP8C即可；

(3)如圖2所示：①首先證明CE絲Z?A8O,則/1=/2,由/3=/4可得到/CTO=N5；②由/

Cra=60o可證明NBPC=120°,然后證明△4￡＞尸S由相似三角形的性質(zhì)和判定定理再證明△

AFPSXCDF,故此可得到NAPF=NAC0=60°,然后可求得NAPC=I20°,接下來(lái)可求得/"B=

120°.

【解析】(1)如圖1所示：

.?.MB平分/A8C.

同理：AN平分N8AC,PC平分NBC4.

;△ABC為等邊三角形，

.?.∕A8P=30°,NBAP=30°.

二/APB=120°.

同理：NAPC=I20°,NBPC=I20；

P是448C的費(fèi)馬點(diǎn).

故答案為：是.

(2)'：ZPAB+ZPBA=-NAPB=60°,APBC+APBA=ZABC=60°,

：./FAB=NPBC,

又YNA尸B=NB尸C=120°,

,??ABP^?BCP.

(3)如圖2所示:

①,/AABE與AACD都為等邊三角形,

ΛZfiAE=ZCAD=60o,AE=AB,AC=AD,

：.ZBAE+ZBAC=ZCAD+ZBAC,即ZEAC=ZBAD,

"AC=AD

在和AA8o中，，ZEAC=ZBAD

EA=AB

ΛΛACE^∕?ABD(SAS),

.?.Z1=Z2,

?.?∕3=N4,

ΛZCPD=Z6=Z5=60o；

②證明：,:叢ADFSXCFP,

J.AF?CF=DF?PF,

??ZAFP=ZCFD,

:.XAFPSXCDF.

.?.NAPF=/AC。=60°,

ΛZAPC=ZCPD+ZAPF=}2Q°,

ΛZfiPC=120o,

.?.∕APB=360°-ZBPC-ZAPC=I20o,

二P點(diǎn)為AABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【例4】.【方法呈現(xiàn)1

(1)已知，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連布、PB、PC將△/?B繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△「'

CB的位置(如圖1),設(shè)AB的長(zhǎng)為小P8的長(zhǎng)為b(?<α),求△曲B旋轉(zhuǎn)到△「'CB的過(guò)程中邊南

所掃過(guò)區(qū)域(圖1中陰影部分)的面積；

【實(shí)際運(yùn)用工

(2)如圖2,點(diǎn)P是等腰RtZXABC內(nèi)一點(diǎn)，AB=BC,連接a,PB,PC.若∕?=2,PB=4,PC=6,

求NAPB的大??；

【拓展延伸】：

(3)如圖3,點(diǎn)P是等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，∕?=3,PB=4,PC=5,則4APC的面積是2返+3(直

―4-

接填答案)

【分析】(1)依題意，將△「'CB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可與△/?B重合，此時(shí)陰影部分面積=扇形8AC的

面積一扇形8PP的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，兩個(gè)扇形的中心角都是90°,可據(jù)此求出陰影部分的面

積.

(2)連接尸P',求出APBP'是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得PP=4炳，NBP'

2=45°,再利用勾股定理逆定理求出NCPP=90°,然后計(jì)算即可得解；

(3)根據(jù)全等三角形的面積相等求出aAPB鼻XAPC的面積之和等于四邊形APCP?的面積，然后根據(jù)

等邊三角形的面積與直角三角形的面積列式計(jì)算即可得解，同理求出AABP和PC的面積的和，ZkAPC

和ABPC的面積的和，從而求出aABC的面積，然后根據(jù)aBPC的面積=A48C的面積-AAPB

APC的面積的和計(jì)算即可得解.

【解析】(1)；將△/?8繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△「'CB的位置，

：./\PABm/\P'CB,

：?SAPAB=S&FCB,

S陰婷=S?niSΛC-SH}KBPP=2Σ-(,a2-?2);

4

(2)如圖2,連接PP'.

：將△/?8繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,與△P'C8重合，

ΛΔ∕?B^?P,CB,ZPBP1=90°,

.'.BP=BP',NAPB=NCP'B,AP=CP'=2,

.?.∕?PBP'是等腰直角三角形，

.".PP'=√2∕,β=4√2-NBP'P=45°.

在ACPP'中，VPP'=4√21CP'=2,PC=6,

：.PP'2+CP'2=PC2,

.".ΛCP'尸是直角三角形，ZCP'P=90o,

.?.∕CP'B=NBP'P+ZCP'P=45°+90°=135°；

(3)如圖3①，將4∕?B繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到APiAC,連接PPi,

ΛAPB^?AP?C,

：.AP=APi,Z∕?Pι=60o,CPI=BP=4,

∕?PAP?是等邊三角形，

.?.PP1=A尸=3,

VCP=5,Cp=4,PPI=3,

.,.PP12+CP∣2=CP2.

ZsCPi尸是直角三角形，ZCPlP=90°,

???S"ppι=?λx3X??^=?^5,SC=JLX3X4=6,

2242

S四邊形APCQl=Sz?APPl+SAPPIC=用;

.Ws

?,?S>ABP^S4APC=S四邊形APCPl=二'‘一+6;

4_

如圖3②，同理可求：AABP和aBPC的面積的和=JLX4X生巨+JιX3X4=4√^+6,

_222

∕?APC和aBPC的面積的和=2X5X芻返+■1×3×4=皆返+6,

2224

,△ABC的面積=JL（2&+6+4百÷6+”返+6）="返+9,

2444__

AAPC的面積=AABC的面積-A4P8與48PC的面積的和=（生返+9）-（4√3+6）=2^1+3.

44

故答案為2返+3.

圖3①

優(yōu)訓(xùn)練

1.如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且％=6,PB=8,PC=10.若將△/?C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得

到AB.

(I)求點(diǎn)尸與點(diǎn)P之間的距離；

(2)求/APB的度數(shù).

【分析】(1)由已知△/?C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到AB,可得△/?C嶺△「'AB,PA=P'4,

旋轉(zhuǎn)角NP'AP=NJR4C=60°,所以AAPP'為等邊三角形，即可求得PP'；

(2)由AAPP'為等邊三角形，得∕4PP'=60°,在△尸P'8中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出

直角三角形，得出NPP8=90°,可求NAP8的度數(shù).

【解析】(1)連接尸尸'，由題意可知8P'=PC=IO,AP1=AP,

ZPAC=ZPfAB,而/∕?C+NBAP=60°,

所以NA?P=60度.故為等邊三角形，

所以PP'=AP=AP'=6；

(2)利用勾股定理的逆定理可知：

PP'2+BP2=BPI2,所以ABPP'為直角三角形，且NBPP=90°

可求NAP5=90°+60°=150°.

2.(原題初探)(1)小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1,P是正方形ABe。內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)

PA,PB,PC現(xiàn)將△/?B繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的CB,連接尸P'.若PA=?,PB=3,Z

APB=I35°,則PC的長(zhǎng)為2遙，正方形ABCE）的邊長(zhǎng)為

（變式猜想）（2）如圖2,若點(diǎn)P是等邊AABC內(nèi)的一點(diǎn)，且B4=3,PB=4,PC=5,請(qǐng)猜想NAP8的

度數(shù)，并說(shuō)明理由.

（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過(guò)上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問(wèn)題：

如圖3,在四邊形ABC。中,AQ=3,CO=2,NABC=/ACB=NAOC=45°,則BQ的長(zhǎng)度為'成.

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得8尸=BP'=3,尸'C=PA=ENPBP'=90°,NBP'C=/APB=135°,

則ABPP'為等腰直角三角形，再由勾股定理得PC=2√^,過(guò)點(diǎn)A作AEj_BP交8P的延長(zhǎng)線于E,則

△AEP是等腰直角三角形，得AE=PE=1,得BE=4,然后由勾股定理即可求解；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ABPP'是等邊三角形，則PP'=BP=4,ZBPP'=60°,AP=3,AP'=PC

=5,再由勾股定理得逆定理得AAPP為直角三角形，即可求解；

（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AK=A￡>=3,CK=8/）,∕KAO=90°,則4ZMK是等腰直角三角形，得?！?3近，

NAZ）K=45°,再證∕CQK=90°,即可解決問(wèn)題.

【解析】（1）V?PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△「'CB,

：.BP=BP'=3,P'C=∕?=V2>NPBP'=90°,NBP'C=ZAPB=135°,

JABPP'為等腰直角三角形，

：.NBP'P=45°,PP'=?PB=3近,

.".ZPP'C=135o-45°=90°，

在RtZSPP'C中，由勾股定理得：PC={pF，2+p,*=q（如V+（近產(chǎn)2遍,

過(guò)點(diǎn)A作AELBP交BP的延長(zhǎng)線于E,如圖1所示：

VZAPB=135°,

ΛZAPS=180°-135°=45°,

.?.aAEP是等腰直角三角形，

：.AE=PE=返隙=返XM=1,

22

.?BE=PB+PE=3+?=4,

在中，由勾股定理得：∣

RtZ?AE8AB=^AE2+BE2=y~^~^2=√iγ.

故答案為：2，石，?/17：

(2)NAPB的度數(shù)為150°,理由如下：

「△ABC是等邊三角形，

.?.A8=BC,NABC=60°,

將aBPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到尸'A,連接PP',如圖2所示:

則ABPP'是等邊三角形，

.,.PP'=BP=4,NBPP'=60°,

'：AP=3,AP1=PC=5,

.'.P'P1+AP2=AP,2,

.?.?APP'為直角三角形，

ΛZAPP1=90°,

：.ZAPB^ZAPP'+ZBPP'=900+60°=150°；

(3)：乙4BC=NAeB=/4。C=45°,

...△8AC是等腰直角三角形，

；.NBAC=90°,AB=AC,

將AABO繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到aACK,連接OK,如圖3所示：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AK=AD=3,CK=BD,NK40=90°,

...△D4K是等腰直角三角形，

ΛDλr=√24D=3√2-N4DK=45°,

；.NCDK=NADC+NADK=45°+45°=90°,

...△CQK是直角三角形，

?,?CK=VDK2-K：D2=V(3√2)2+22=Λ?22,

.?.βz)=√22,

故答案為：√22?

.?gκ

C

圖3

圖1

3.問(wèn)題：如圖1,在等邊AABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,已知Z?=3,PB=4,PC=5,求N4P8的度數(shù)？

(1)請(qǐng)寫(xiě)出常見(jiàn)四組勾股數(shù)：3,4,5、5,⑵13、7,24,25、6,8,10.

(2)解決方法：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)以，PB,PC的長(zhǎng)度符合勾股數(shù)，但由于用，PB,PC不在一個(gè)三角形

中，想法將這些條件集中在一個(gè)三角形，于是可將AABP繞4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到4AP'C,此時(shí)AABP

^ΛACP',這樣利用等邊三角形和全等三角形知識(shí)，便可求出NAPB=150。.請(qǐng)寫(xiě)出解題過(guò)程.

(3)應(yīng)用：請(qǐng)你利用(2)題的思路，解答下面的問(wèn)題：

如圖2,在aABC中，ZCAB=90o,AB=AC,E,尸為BC的點(diǎn)，且∕E4F=45°,若BE=m,FC=〃,

請(qǐng)求出線段EF的長(zhǎng)度(用加、〃的代數(shù)式表示).

圖1圖2

【分析】(1)根據(jù)勾股數(shù)的定義解決問(wèn)題即可.

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC,NBAC=60°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出aACP^ΛABP,求出BA=

P'A=3,PB=P'C=4,ZBAP^ZCAP',求出/P'AP=NBAC=60°,推出△/?P'是等邊三角

形，求出PP'=P1A=3,根據(jù)勾股定理的逆定理求出NPP'C=90°,即可得出答案；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出aACE'^∕?ABE,根據(jù)全等得出AE=4E',BE=CE1,ZE'AC='BAE,求出

AFAE'=NEAF,根據(jù)全等三角形的判定推出AAEF絲F,推出FE=FE；根據(jù)勾股定理求出

E'尸即可.

【解析】(1)勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13,7,24,25；6,8,10；

故答案為:3,4,5；5,12,13,7,24,25；6,8,10；

(2)如圖1,將AABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AACP'處，則4ACP'AABP,

???三角形48C是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

.".PA=P1A=3,PB=P'C=4,NBAP=NCAP',

：.ZP'AP=ZPAC+ZCAP'=ZPAC+ZBAP=ZBAC=60°,

.?.?PAP'是等邊三角形，

.".PP'=P'A=3,

在∕?pp,C中，PP2+P'C2=9+I6=25=PC2,

:APP'C是直角三角形,

ΛAPP'C=90o,

ΛAAPB=ΛAP'C=60°+90°=150°.

故答案為150°.

(3)如圖2中，將AABE繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到aACE'處，則AACE'^?ABE,

A

圖2

：.AE=AE1,BE=CE',ZE'AC=ZBAE,

；NBAC=90°,NEAF=45°，

.?.NBAE+NC4F=45°,

ZFAE'=ZE1AC+ZFAC=ZBAE+ZFAC=45a=ZEAF,

在aAEF和4AE'F中，

fAE=AE7

JZEAF=ZEyAF-

∣AF=AF

Λ∕?AEF^ΛAE'F(SAS),

.?FE=FE',

VZfiAC=90",AB=AC,

ΛZβ=ZACB=45o,

ΛZE,CA=/8=45°,

,NE'CF=450+45°=90°,

在Rt△￡：'FC中，E'd+Fd=E'F1,

：.EF2-BE2+CF2=m2+n2,

ΛEF=ΛW?

4.(1)如圖1,點(diǎn)尸是等邊aABC內(nèi)一點(diǎn)，已知∕?=3,PB=4,PC=5,求/AP8的度數(shù).

分析：要直接求NAPB的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋

轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi).

解：如圖2,作N∕?f>=60°使AO=AP,連接PD,CD,則ABAO是等邊三角形.

ΛPD=ΛD=AP=3,NADP=N∕?D=60°

「△ABC是等邊三角形

：.AC=AB,NBAC=60°ΛZBAP=ZCAD

：.XABP安XACD

.?.BP=CQ=4,NAPB=ZADC

；在aPCQ中，PD=3,PC=5,Cr)=4,PD1+cbλ=PC1

：.ZPDC=90°

.?.ZAPB^ZADC^ZADP+ZPDC=60°+90°=150°

(2)如圖3,在AABC中，AB=BC,NABC=90°,點(diǎn)P是BC內(nèi)一點(diǎn)，PA=↑,PB=2,PC=3,

求/APB的度數(shù).

(3)拓展應(yīng)用.如圖(4),Z?ABC中，∕ABC=30°,AB=4,BC=5,P是AABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，

連接叫PB,PC,則∕?+PB+PC的最小值為

【分析】U)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

(2)如圖3中，把△尸8C繞8點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到aOBA,利用勾股定理的逆定理證明NAPD=90°

即可解決問(wèn)題.

(3)如圖4中，先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AABP絲Z?O8E,ZABP=ZDBE,BD=AB=4,NPBE=6?！?

BE=PE,AP=DE,再證明NDBC=90°,然后在RtABCD中，由勾股定理求出CD的長(zhǎng)度，即為

∕?+P8+PC的最小值：

【解析】(1)如圖2,作N∕?D=60°使AQ=AP,連接P￡>,CQ,則△/?。是等邊三角形.

二PO=AD=AP=3,NAoP=N∕?C=60°

「△ABC是等邊三角形

：.AC=AB,N8AC=6()°,

："BAP=ZCAD,

.?ΛABP^∕?ACD(SAS)

.?BP=CD=4,NAPB=NADC

；在APCZ)中，PD=3,PC=5,Cn=4,PD2+CD2=PC2

NPDC=90"

：.ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=^60c,+90°=150°

故答案為：PD,ZCAD,NAPB,90.

(2)解：'：ZABC=90o,BC=AB,

把APBC繞8點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△。區(qū)4,如圖,

圖3

.'.AD=PC=3,BD=BP=2,

:NPBD=90°

：.DP=近PB=2點(diǎn),NDPB=45°,

在PD中，AQ=3,PD=2α,弘=1,

Vl2+(2√2)2=32,

.".AP2+PD2^BD2,

.^.?APD為直角三角形，

NAPO=90°,

；.NAPB=NAPD+NDPB=90°+45°=135°.

(3)解：如圖4中，將AABP繞著點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到連接EP,CD,

圖4

.,.?ABP^?DBE

：.NABP=NDBE,BZ)=AB=4,ZPBE=60°,BE=PE,AP=DE,

.?.△8PE是等邊三角形

：.EP=BP

：.AP+BP+PC=PC+EP+DE

，當(dāng)點(diǎn)。，點(diǎn)E,點(diǎn)P,點(diǎn)C共線時(shí)，Λ4+P3+PC有最小值Co

VZABC=30o=NABP+NPBC

.?ZDBE+ZPBC=30o

，NOBC=90°

?'?CD=√BD2+BC2=V52+42^^,

故答案為C41?

5.如圖1,D、E、尸是等邊三角形ABC中不共線三點(diǎn)，連接A。、BE、CF,三條線段兩兩分別相交于。、

E、F.已知AF=BO,NEDF=60°.

(1)證明：EF=DF-,

(2)如圖2,點(diǎn)M是Ef)上一點(diǎn)，連接CM,以CM為邊向右作aCMG,連接EG.若EG=EC+EM,

CM=GM,ZGMC=ZGEC,證明：CG=CM.

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時(shí)，若CCA。，GD=4,請(qǐng)問(wèn)在AACO內(nèi)部是否

存在點(diǎn)尸使得尸到AACO三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出距離之和的最小值；若不存在，試

說(shuō)明理由.

(2)在EF上截取EN=EM,連接Λ∕N,可推出aEMN是等邊三角形，可證ANCM^aEGM,然后推出

△CMG是等邊三角形，從而問(wèn)題得證；

(3)先求得AD=邛③，將△￡)PC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ADQG,連接AG,可得aPCQ是等邊三

角形，≠?AP+PD+CP=AP+PQ+QG,故當(dāng)A、P、。、G共線時(shí)，AP+PQ+CP最小=AG,最后解斜三

角形AOG,從而求得.

【解答】（I）證明：如圖1,

A

「△ABC是等邊三角形，

.?.AC=A8,

NAC8=60°,

.?ZCAF+ZDAB=60°,

VZEDF=60°,

ΛΛDAB+ZABD=W0,

ΛZCAF=ZABD,

"：AF=BD,

J.∕?ACF^∕?BAD(SAS),

：.EF=DF;

EF=DF,NEO尸=60°,

...△OEF是等邊三角形，

ΛZDEF=60°,

在E尸上截取EN=EM,連接MM

.?.CN=CE+EN=CE+EM=EG,

???ZSEMN是等邊三角形，

ΛZC7VM=60o,

?：NGMC=NGEC,Zα=Zβ,

"NCM=NEGM,

YCM=GM,

JANCM烏∕?EGM(SAS),

：?NMEG=NCNM=60°，

：.ZCEG=1800-ZMEG-ZFED=60o,

：.ZGME=ZGEC=60o,

YCM=GM,

工ACMG是等邊三角形,

ICG=CM;

(3)解：如圖3,

由(1)(2)知，

XDEF和aSG是等邊三角形，

ΛZCFD=60o,CO=GO=4,

VCD±AD,

,NCO尸=90°,

.,.AD=CF=—ɑ?—=，

sin6003

將aOPC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ZQG,連接AG,

：.AD=DQyCP=QG9

/?∕?PDQ是等邊三角形，

：.PD=PQf

：.AP+PD+CP=AP+PQ+QG,

，當(dāng)A、P、Q、G共線時(shí)，AP+PD+CP最小=4G,

作GHYAD于H,

在Rt△￡>GH中，

GH=?lθG=2,

2

DH=與DG=2M'

：.AH-AD+DH--^?+2√3=???,

ΛΛC=√GH2+AH2

-√(^1)2÷22

——2屈-1

3—

J.AP+PD+CP的最小值是2J點(diǎn)..

3

6.如圖①，P為AABC所在平面上一點(diǎn)，且NAPB=NBPC=NC∕?=120°,則點(diǎn)P叫做AABC的費(fèi)馬點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)P為銳角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且NABC=60°.

①求證：XABPsXBCP;

②若∕?=3,PC=4,求PB的長(zhǎng).

(2)已知銳角三角形ABC,分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形AC￡>,CE和B。相交

于P點(diǎn)，連結(jié)AP,如圖②.

①求NCP。的度數(shù)；

【分析】(1)①由三角形內(nèi)角和定理可求∕PBA+N∕?B=60°,可證NP8C=N8AP,可得結(jié)論;

②由相似三角形的性質(zhì)可得弛里，即可求解；

PBPC

(2)①由“S4S”可證CE絲Z?AOB,可得∕1=N2,即可求解；

②通過(guò)證明△4￡＞尸SaCFP,可得至1口1,可證AAFPSACDF,可得∕APF=∕ACD=60°,可得結(jié)

CPPF

論.

【解答】(1)①證明：Y點(diǎn)/＞為銳角三角形A8C的費(fèi)馬點(diǎn)，

二∕AP8=NBPC=NcB4=120°,

.?.ZPBA+Z7?B=60o,

VZΛBC=60°,

ΛZABP+ZPBC=60°,

：.ZPBC^ZBAP,

XVZAPB=ZBPC,

：.△AW5S△BfP,

②解：VΔABP^ΔBCP,

???P一A?二P'B一,

PBPC

又?.?%=3,PC=A,

???3一'-=P'B-，

PB4

ΛPB=2√3;

(2)①解：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)于F,

如圖，：ZXABE與aACQ都為等邊三角形，

N84E=NCAO=60°,AE=AB,AC=AD,

.?.ABAE+ABAC=ΛCAD+ZBAC,即NEAC=ZBAD,

在aACE和AADB中，

,AC=AD

＜NEAC=NBAD，

EA=AB

Λ∕?ACE^?ADB(SAS),

ΛZ1=Z2,

VZ3=Z4,

二/CPC=/6=/5=60°；

②證明：VZ1=Z2,Z5=Z6,

：.XNDFsχcFP,

?AFDF

"cp"PF'

J.AF?PF=DF?CP,

'：NAFP=NCFD,

：.XAFPsXCDF,

：.ZAPF^ZACD=60°,

.?./APC=ZCPD+ZΛPF=120o,

：.NBPC=I20°,

.,./A尸B=360°-ZSPC-ZAPC=120°,

,P點(diǎn)為^A8C的費(fèi)馬點(diǎn).

7.【問(wèn)題情境】

如圖1,在aABC中，NA=120°,AB=AC,BC=5M,則^ABC的外接圓的半徑值為5.

【問(wèn)題解決】

如圖2,點(diǎn)尸為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且N8PC=90°,若AB=4,求AP的最小值.

【問(wèn)題解決】

如圖3,正方形ABCf）是一個(gè)邊長(zhǎng)為3?CTM的隔離區(qū)域設(shè)計(jì)圖，CE為大門(mén)，點(diǎn)E在邊BC上，CE=M

Cm,點(diǎn)P是正方形ABe。內(nèi)設(shè)立的一個(gè)活動(dòng)崗哨，到8、E的張角為120°,即NBPE=I20°,點(diǎn)A、

。為另兩個(gè)固定崗哨.現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個(gè)補(bǔ)水供給點(diǎn)Q，使得。到A、D、P三個(gè)崗哨的距離

和最小，試求QA+Q。+。尸的最小值.（保留根號(hào)或結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)次心1.7,10.52=110.25）.

【分析】（I）作出三角形的外接圓。，證明AOBA是等邊三角形，利用三線合一性質(zhì)計(jì)算即可：

（2）點(diǎn)P在以BC為直徑的圓上，根據(jù)圓心，P,A三點(diǎn)共線時(shí)AP最小，計(jì)算即可；

（3）如圖3,設(shè)/6PE所在圓的圓心為點(diǎn)0,根據(jù)（1）可得/2PE所在圓的半徑，以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，

將4O0A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到aOFN,當(dāng)N,F,Q,P,。共線時(shí)，QA+QO+QP最小，構(gòu)造直角三

角形求解即可.

【解析】（1）如圖1,作AABC的外接圓。，作直徑AO,連接。8,

'：AB=AC,

：.AOVBC,ZBAO=GOa,

'：OA=OB,

ΔOBA是等邊三角形,

：.AB=OA=OB,

設(shè)A。與BC交于點(diǎn)E,BE=JLBC=旦旦,

22

在直角三角形ABE中,

「SinNBAO=里

AB

5√3

Λsin60o=，—=叵

AB2

.?.A8=5,

：.0A=5,

故答案為:5；

(2)如圖2,

?：NBPC=90°,

.?.點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)。,

則0P=λBC=2,

2

：.O,P,A三點(diǎn)線時(shí)AP最小，

在直角三角形ABO中，

A°=?AB2?H）B2=2√^,

?.?Po=2,

.?.AP的最小值為：AO-PO=2√5-2;

2√3

_2

（3）如圖3,設(shè)Z8∕>E所在圓的圓心為點(diǎn)0,根據(jù)（1）可得NBPE所在圓的半徑為一L=2,以點(diǎn)。

√3

2

為旋轉(zhuǎn)中心，將AQQA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到aOFM當(dāng)MF,Q,P,。共線時(shí)，QA+QQ+QP最小，

過(guò)點(diǎn)N作NGLAB交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AN,則AANO是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)。作OMLGN于M

交BC于點(diǎn)、H,連接。8,

；四邊形A8C。是正方形,

：.AD//BC//GN,

.,.OH±BC,

?.?βE=2√3,

：.BH=M,

■■-0//=VOB2-BH2=1,

'：AD=DN,NADN=6Q°,

.?.△ANZ)是等邊三形，且4V=3?,∕M4O=60°,

NGAN=30°,

.?.GN=4Λ?in30°=-?β,AG=ANcos30°=且，

22_

OΛ∕=O∕∕+4B+AG=-θ+l+3√3=-ll+3√3.MN=GN-BHwy=昱,

22________22

???ON=yloM2+MN2=^(-γ+3√3)2+(?)",

.?.QA+QQ+QP最小值為：Il-2=9(cm).

8.問(wèn)題提出

(1)如圖，點(diǎn)/、N是直線/外兩點(diǎn)，在直線/上找一點(diǎn)K,使得MK+NK最小.

問(wèn)題探究

(2)在等邊三角形48C內(nèi)有一點(diǎn)P,且∕?=3,PB=4,PC=5,求NAPB度數(shù)的大小.

問(wèn)題解決

(3)如圖，矩形ABC。是某公園的平面圖，Aβ=3O√3τK,8C=60米，現(xiàn)需要在對(duì)角線8。上修一涼亭

E,使得到公園出口A、B,C的距離之和最小.問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)E?

若存在，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)E的位置，并求出E4+EB+EC的和的最小值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

CW:D

1九三

NABb'rI

【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短，連接點(diǎn)M、N是,與直線/交于點(diǎn)K,點(diǎn)K即為所求；

(2)把AAPB繞點(diǎn)A逆時(shí)針?shù)鲛D(zhuǎn)60°得到AACP',由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知APP'是等邊三角形，所以/

AP1P=60°,由勾股定理逆定理可知NPP'C=為直角，從而求得/AP'C為150°,所以NAP8為

150°；

(3)把a(bǔ)ABE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到4A,5E',由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，A,B=AB=300BE'=BE,

A,E'=AE,XE/BE=60°,4BA=60°,所以8E是等邊三角形，

根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短，可知當(dāng)E4+E8+EC=WC時(shí)最短，連接4C,與BD的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)￡即為所求，

此時(shí)EA+EB+EC最短，最短距離為A,C的長(zhǎng)度，然后過(guò)點(diǎn)A作A'G±BC,利用勾股定理求出A'C的長(zhǎng)度，

即求得EA+EB+EC的和的最小值.

【解析】(1)如圖1，連接點(diǎn)M、N,與直線/交于點(diǎn)K,點(diǎn)K即為所求.

%

?κ

Y\T

?

N

圖1

(2)如圖2,把AAPB繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到C,

圖2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P'A=∕?=3,P'C=PB=4,ZPAP1=60°,

.'.?APP,是等邊三角形，

.,.PPl=∕?=3,ZAP'P=60°,

`:PP'2+P'C2=32+42=25,PC1=52=25,

.".PP'2+P'C2PC2,

.?ZPP'C=90o,

ΛZAP'C=NA尸'P+NPP'C=600+90°=150°；

^ZAPB=ZAP'C=150°；

(3)如圖3,把AABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到44BE',

AD

圖3

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，A1B=ΛB=3O√3>BE'=BE,A'E'=AE,XE/BE=60°，ZA,BA=60°,

.?.?f,BE是等邊三角形，

：.BE=EE,

.?EA+EB+EC=A'E'+EE+EC,

根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短，可知當(dāng)￡A+￡8+￡C=4C時(shí)最短，連接4C,與BD的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E即為所求，

此時(shí)E4+EB+EC最短，最短距離為AC的長(zhǎng)度.

過(guò)點(diǎn)4作4GJ_BC交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,則∕A'8G=90°-ZA1BA=90°-60°=30°.

A'G=JLA,B=AAB=A×30√3=15√3.G8=V§A'G=?X15?=45,GC=GB+8C=45+60=105,

222

在Rt44GC中，A'C=G2-KJC2=7(15√3)2+1052=

因此EA+EB+EC的和的最小值30√13?

9.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=αr2+?x-8的圖象與X軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線y

=fcv+5(k≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與拋物線交于另一點(diǎn)R,已知OC=2。4,OB=304.

3

(1)求拋物線與直線的解析式；

(2)如圖1,若點(diǎn)P是X軸下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸做PHLAR于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)尸做PQ〃X軸交拋物

線于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)P做尸"'J_x軸于點(diǎn)H',K為直線PH'上一點(diǎn)，且PK=2，1。，點(diǎn)/為第四象限內(nèi)

一點(diǎn)，且在直線PQ上方，連接/P、IQ,IK,記/=11pH/PQ，m=lP+IQ+IK,當(dāng)/取得最大值時(shí)，

24

求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出此時(shí)機(jī)的最小值.

(3)如圖2,將點(diǎn)A沿直線AR方向平移13個(gè)長(zhǎng)度單位到點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M做MNLX軸，交拋物線于點(diǎn)N,

動(dòng)點(diǎn)。為X軸上一點(diǎn)，連接M。、DN,再將AMDN沿直線MO翻折為aMQN'(點(diǎn)M、MD、N'在

同一平面內(nèi))，連接AMAN'、NN',當(dāng)AANN'為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

y八y個(gè)

圖1圖2

【分析】(1)令二次函數(shù)x=0,解出C點(diǎn)坐標(biāo)(0,-8),根據(jù)已知條件可知點(diǎn)A(-4,0)點(diǎn)B(12,

0).代入解析式從而求得拋物線和直線解析式.

(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為p,求出對(duì)稱軸為直線x=4,根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，從而求出PQ的

長(zhǎng)度，延長(zhǎng)PK交直線AR與點(diǎn)利用一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，PM線段長(zhǎng)可表示，利用△

PHMSZ?4E0,求出尸”的長(zhǎng)度，則/可用點(diǎn)P的代數(shù)式表示，從而求得最大值，點(diǎn)P坐標(biāo)也可求出，

由m=lP+IQ+lK求其最小