概率論與數(shù)理統(tǒng)計ch2隨機變量及其分布課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計ch2隨機變量及其分布課件CATALOGUE目錄隨機變量概述離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量多維隨機變量隨機變量的函數(shù)變換01隨機變量概述在概率論中，隨機變量是一個定義在樣本空間上的函數(shù)，其每一個取值都伴隨著一個確定的概率。隨機變量離散隨機變量連續(xù)隨機變量如果隨機變量只取可數(shù)個值，則稱為離散隨機變量。如果隨機變量的取值范圍是某個區(qū)間，并且可以取該區(qū)間內(nèi)任何一個值，則稱為連續(xù)隨機變量。030201隨機變量的定義其取值范圍是可數(shù)的，例如擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)。離散型隨機變量其取值范圍是連續(xù)的，例如人的身高。連續(xù)型隨機變量隨機變量的類型數(shù)學期望：數(shù)學期望也稱為均值，表示隨機變量取值的平均值。對于離散型隨機變量，數(shù)學期望是所有可能取值的概率加權和；對于連續(xù)型隨機變量，數(shù)學期望是概率密度函數(shù)在負無窮到正無窮上的積分。離散型隨機變量的數(shù)學期望：E(X)=∑xp(x)連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望：E(X)=∫?∞∞xp(x)dx隨機變量的數(shù)學期望02離散型隨機變量離散型隨機變量的取值范圍離散型隨機變量的取值范圍通常是一個可數(shù)集，即可以一一列舉出來的集合。離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布通常用一個概率質(zhì)量函數(shù)來表示，該函數(shù)定義了每個可能取值的概率。離散型隨機變量在一定范圍內(nèi)取有限個值的隨機變量，通常用大寫字母X表示。離散型隨機變量的定義在n次獨立重復的伯努利試驗中，成功的次數(shù)X服從參數(shù)為n和p的二項分布，記為X~B(n,p)。二項分布在單位時間內(nèi)（或單位面積上），隨機事件發(fā)生的次數(shù)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~P(λ)。泊松分布從有限個物件中抽出若干個（不放回）的抽樣分布，稱為超幾何分布。超幾何分布在n次獨立重復的伯努利試驗中，第一次成功之前失敗的次數(shù)X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為X~G(p)。幾何分布常見的離散型隨機變量及其分布數(shù)學期望離散型隨機變量的數(shù)學期望（均值）是所有可能取值的概率加權和，記為E(X)。方差離散型隨機變量的方差是每個可能取值的概率加權平方和與數(shù)學期望的差，記為D(X)。離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差03連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量如果一個隨機變量X的所有可能取值是某個區(qū)間上的所有實數(shù)，并且X取這個區(qū)間內(nèi)任一實數(shù)值的概率不為0，則稱X為連續(xù)型隨機變量。概率密度函數(shù)描述連續(xù)型隨機變量的數(shù)學工具，其定義域為實數(shù)軸上的區(qū)間，值域為[0,∞)，表示隨機變量取某個值的概率。連續(xù)型隨機變量的定義指數(shù)分布適用于描述具有獨立增量的隨機現(xiàn)象，如壽命、反應時間等。指數(shù)分布的概率密度函數(shù)呈遞減趨勢，均值和方差都是無限的。正態(tài)分布一種常見的連續(xù)型隨機變量分布，其概率密度函數(shù)呈鐘形，對稱軸為均值μ，標準差為σ。正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象和社會經(jīng)濟活動中。泊松分布適用于描述單位時間內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)，如放射性衰變、單位時間內(nèi)的交通事故等。泊松分布的概率密度函數(shù)呈鐘形，均值和方差相等。常見的連續(xù)型隨機變量及其分布連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望是所有可能取值的概率加權和，表示隨機變量的平均水平。對于離散型隨機變量，數(shù)學期望是所有可能取值的概率乘以其對應的值再求和。數(shù)學期望連續(xù)型隨機變量的方差是所有可能取值的概率加權平方和的平均值，表示隨機變量取值偏離數(shù)學期望的程度。方差的計算公式為E[(X-μ)^2]，其中μ為數(shù)學期望。方差連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望和方差04多維隨機變量多維隨機變量的定義多維隨機變量是隨機向量的概念，它是一個或多個隨機變量的集合，每個隨機變量都有其概率分布。多維隨機變量可以用來描述多個相互關聯(lián)的隨機現(xiàn)象，例如，在物理學、工程學、經(jīng)濟學等領域中，常常需要研究多個隨機變量的聯(lián)合概率分布。

常見的多維隨機變量及其分布二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布是一種常見的多維隨機變量分布，它由兩個正態(tài)分布的隨機變量組成，具有許多重要的性質(zhì)和應用。多元正態(tài)分布多元正態(tài)分布是多維正態(tài)分布的推廣，它由多個正態(tài)分布的隨機變量組成，可以用來描述多個相互關聯(lián)的隨機變量的聯(lián)合概率分布。二項分布二項分布是一種離散型多維隨機變量的分布，它描述了n次獨立重復試驗中成功的次數(shù)。多維隨機變量的數(shù)學期望是一個實數(shù)向量，表示隨機變量的平均值或中心趨勢。多維隨機變量的協(xié)方差是一個實數(shù)矩陣，表示各個隨機變量之間的線性相關程度。多維隨機變量的數(shù)學期望和協(xié)方差協(xié)方差數(shù)學期望05隨機變量的函數(shù)變換隨機變量的函數(shù)變換的定義定義設$X$是一個隨機變量，$g$是一個實函數(shù)，如果對于每一個$x$都有$g(x)$是一個隨機變量，那么稱$g(X)$是一個隨機變量的函數(shù)變換。性質(zhì)如果$X$是一個隨機變量，$g$是一個實函數(shù)，那么$g(X)$也是一個隨機變量。$g(X)=X^2$如果$X$是連續(xù)型隨機變量，且其概率密度函數(shù)為$f(x)$，那么$g(X)=X^2$的概率密度函數(shù)為$f(x^2)$；如果$X$是離散型隨機變量，且其概率分布為$P(X=x_i)$，那么$g(X)=X^2$的概率分布為$P(X^2=x_i^2)$。$g(X)=X|$：如果$X$是連續(xù)型隨機變量，且其概率密度函數(shù)為$f(x)$，那么$g(X)=|X|$的概率密度函數(shù)為$frac{1}{2}f(|x|)$；如果$X$是離散型隨機變量，且其概率分布為$P(X=x_i)$，那么$g(X)=|X|$的概率分布為$frac{1}{2}P(|x_i|)$。$g(X)=X+c$其中$c$是一個常數(shù)。如果$X$是連續(xù)型隨機變量，且其概率密度函數(shù)為$f(x)$，那么$g(X)=X+c$的概率密度函數(shù)為$f(x-c)$；如果$X$是離散型隨機變量，且其概率分布為$P(X=x_i)$，那么$g(X)=X+c$的概率分布為$P(X=x_i-c)$。常見的隨機變量的函數(shù)變換及其分布VS對于隨機變量的函數(shù)變換$g(X)$，其數(shù)學期望的計算公式為：E[g(X)]=∫?∞∞g(x)f(x)dxF[G(X)]=int_{-infty}^{infty}g(x)f(x)dxF[G(X)]=∫?∞∞g(x)f(x)dxF(x)?∞?∫?g(x)dxF?其中，f(x)f(x)f(x)是隨機變量X的概率密度函數(shù)。方差對于隨機變量的函數(shù)變換g(X)，其方差的計算公式為：D[g(X)]=∫?∞∞[g(x)?E[g(X)]]2f(x)dxF[G^2(X)]=int_