概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ch2隨機(jī)變量及其分布課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ch2隨機(jī)變量及其分布課件CATALOGUE目錄隨機(jī)變量概述離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量隨機(jī)變量的函數(shù)變換01隨機(jī)變量概述在概率論中，隨機(jī)變量是一個(gè)定義在樣本空間上的函數(shù)，其每一個(gè)取值都伴隨著一個(gè)確定的概率。隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量只取可數(shù)個(gè)值，則稱為離散隨機(jī)變量。如果隨機(jī)變量的取值范圍是某個(gè)區(qū)間，并且可以取該區(qū)間內(nèi)任何一個(gè)值，則稱為連續(xù)隨機(jī)變量。030201隨機(jī)變量的定義其取值范圍是可數(shù)的，例如擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。離散型隨機(jī)變量其取值范圍是連續(xù)的，例如人的身高。連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的類型數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望也稱為均值，表示隨機(jī)變量取值的平均值。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望是所有可能取值的概率加權(quán)和；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望是概率密度函數(shù)在負(fù)無窮到正無窮上的積分。離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：E(X)=∑xp(x)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：E(X)=∫?∞∞xp(x)dx隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望02離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的取值范圍離散型隨機(jī)變量的取值范圍通常是一個(gè)可數(shù)集，即可以一一列舉出來的集合。離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布通常用一個(gè)概率質(zhì)量函數(shù)來表示，該函數(shù)定義了每個(gè)可能取值的概率。離散型隨機(jī)變量在一定范圍內(nèi)取有限個(gè)值的隨機(jī)變量，通常用大寫字母X表示。離散型隨機(jī)變量的定義在n次獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)中，成功的次數(shù)X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記為X~B(n,p)。二項(xiàng)分布在單位時(shí)間內(nèi)（或單位面積上），隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~P(λ)。泊松分布從有限個(gè)物件中抽出若干個(gè)（不放回）的抽樣分布，稱為超幾何分布。超幾何分布在n次獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)中，第一次成功之前失敗的次數(shù)X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為X~G(p)。幾何分布常見的離散型隨機(jī)變量及其分布數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）是所有可能取值的概率加權(quán)和，記為E(X)。方差離散型隨機(jī)變量的方差是每個(gè)可能取值的概率加權(quán)平方和與數(shù)學(xué)期望的差，記為D(X)。離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差03連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量如果一個(gè)隨機(jī)變量X的所有可能取值是某個(gè)區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)，并且X取這個(gè)區(qū)間內(nèi)任一實(shí)數(shù)值的概率不為0，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。概率密度函數(shù)描述連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)工具，其定義域?yàn)閷?shí)數(shù)軸上的區(qū)間，值域?yàn)閇0,∞)，表示隨機(jī)變量取某個(gè)值的概率。連續(xù)型隨機(jī)變量的定義指數(shù)分布適用于描述具有獨(dú)立增量的隨機(jī)現(xiàn)象，如壽命、反應(yīng)時(shí)間等。指數(shù)分布的概率密度函數(shù)呈遞減趨勢(shì)，均值和方差都是無限的。正態(tài)分布一種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量分布，其概率密度函數(shù)呈鐘形，對(duì)稱軸為均值μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ。正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象和社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中。泊松分布適用于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，如放射性衰變、單位時(shí)間內(nèi)的交通事故等。泊松分布的概率密度函數(shù)呈鐘形，均值和方差相等。常見的連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是所有可能取值的概率加權(quán)和，表示隨機(jī)變量的平均水平。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望是所有可能取值的概率乘以其對(duì)應(yīng)的值再求和。數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的方差是所有可能取值的概率加權(quán)平方和的平均值，表示隨機(jī)變量取值偏離數(shù)學(xué)期望的程度。方差的計(jì)算公式為E[(X-μ)^2]，其中μ為數(shù)學(xué)期望。方差連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差04多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量的定義多維隨機(jī)變量是隨機(jī)向量的概念，它是一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量的集合，每個(gè)隨機(jī)變量都有其概率分布。多維隨機(jī)變量可以用來描述多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的隨機(jī)現(xiàn)象，例如，在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中，常常需要研究多個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布。

常見的多維隨機(jī)變量及其分布二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布是一種常見的多維隨機(jī)變量分布，它由兩個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量組成，具有許多重要的性質(zhì)和應(yīng)用。多元正態(tài)分布多元正態(tài)分布是多維正態(tài)分布的推廣，它由多個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量組成，可以用來描述多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布。二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是一種離散型多維隨機(jī)變量的分布，它描述了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)。多維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù)向量，表示隨機(jī)變量的平均值或中心趨勢(shì)。多維隨機(jī)變量的協(xié)方差是一個(gè)實(shí)數(shù)矩陣，表示各個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度。多維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差協(xié)方差數(shù)學(xué)期望05隨機(jī)變量的函數(shù)變換隨機(jī)變量的函數(shù)變換的定義定義設(shè)$X$是一個(gè)隨機(jī)變量，$g$是一個(gè)實(shí)函數(shù)，如果對(duì)于每一個(gè)$x$都有$g(x)$是一個(gè)隨機(jī)變量，那么稱$g(X)$是一個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)變換。性質(zhì)如果$X$是一個(gè)隨機(jī)變量，$g$是一個(gè)實(shí)函數(shù)，那么$g(X)$也是一個(gè)隨機(jī)變量。$g(X)=X^2$如果$X$是連續(xù)型隨機(jī)變量，且其概率密度函數(shù)為$f(x)$，那么$g(X)=X^2$的概率密度函數(shù)為$f(x^2)$；如果$X$是離散型隨機(jī)變量，且其概率分布為$P(X=x_i)$，那么$g(X)=X^2$的概率分布為$P(X^2=x_i^2)$。$g(X)=X|$：如果$X$是連續(xù)型隨機(jī)變量，且其概率密度函數(shù)為$f(x)$，那么$g(X)=|X|$的概率密度函數(shù)為$frac{1}{2}f(|x|)$；如果$X$是離散型隨機(jī)變量，且其概率分布為$P(X=x_i)$，那么$g(X)=|X|$的概率分布為$frac{1}{2}P(|x_i|)$。$g(X)=X+c$其中$c$是一個(gè)常數(shù)。如果$X$是連續(xù)型隨機(jī)變量，且其概率密度函數(shù)為$f(x)$，那么$g(X)=X+c$的概率密度函數(shù)為$f(x-c)$；如果$X$是離散型隨機(jī)變量，且其概率分布為$P(X=x_i)$，那么$g(X)=X+c$的概率分布為$P(X=x_i-c)$。常見的隨機(jī)變量的函數(shù)變換及其分布VS對(duì)于隨機(jī)變量的函數(shù)變換$g(X)$，其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式為：E[g(X)]=∫?∞∞g(x)f(x)dxF[G(X)]=int_{-infty}^{infty}g(x)f(x)dxF[G(X)]=∫?∞∞g(x)f(x)dxF(x)?∞?∫?g(x)dxF?其中，f(x)f(x)f(x)是隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)。方差對(duì)于隨機(jī)變量的函數(shù)變換g(X)，其方差的計(jì)算公式為：D[g(X)]=∫?∞∞[g(x)?E[g(X)]]2f(x)dxF[G^2(X)]=int_