2022-2023學(xué)年河北省秦皇島市南園中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年河北省秦皇島市南園中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知實(shí)數(shù)列－1，x，y，z，－2成等比數(shù)列，則xyz等于()A.－4B.±4

C.－2

D.±2參考答案：C2.,，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C3.5名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識(shí)講座，每個(gè)同學(xué)可自由選擇，則不同的選擇種數(shù)是（

）

A．54

B．45

C．5×4×3×2

D．5×4參考答案：B略4.直線的傾斜角是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：Ｄ5.已知等比數(shù)列中，,，則

（

）

A．49

B．35

C．91

D．112參考答案：C6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出的P值為()A．2

B．3C．4

D．5參考答案：C7.直線過點(diǎn)，與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，斜率的取值范圍（

）A．

B．

C．D．參考答案：C8.下列函數(shù)中，值域是R+的是（

）A．y=

B．

x)C．

D．y=參考答案：D9.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若存在正整數(shù)m，n(m<n)，使得Sm＝Sn，則Sm＋n＝0.

類比上述結(jié)論，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，若存在正整數(shù)m，n(m<n)，使得Tm＝Tn，則Tm＋n等于()A.0

B.1

C.m＋n

D.mn參考答案：B10.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則它的體積為（A）

（B）

（C）20

（D）40參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最大值是_________.參考答案：2略12.設(shè)△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，則__________．參考答案：由余弦定理得，，又，聯(lián)立兩式得，，.13.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D為BB1的中點(diǎn)，則異面直線C1D與A1C所成角的余弦值為__________．參考答案：略14.滿足條件|z﹣i|=|1+i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y）的軌跡方程為

．參考答案：x2+（y﹣1）2=4【考點(diǎn)】A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】由題意可得z=x+yi，x，y∈R，由已知條件結(jié)合模長公式可得．【解答】解：由題意可得z=x+yi，x，y∈R∵|z﹣i|=|1+i|=2，∴|x+（y﹣1）i|=2，∴=2∴x2+（y﹣1）2=4故答案為：x2+（y﹣1）2=4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的模長公式，涉及軌跡方程的求解，屬基礎(chǔ)題．15.從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得為黑桃”，則概率P（A∪B）=．（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）參考答案：【考點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式．【分析】由題意知本題是一個(gè)古典概型和互斥事件，分別求兩個(gè)事件的概率是我們熟悉的古典概型，這兩個(gè)事件是不能同時(shí)發(fā)生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)古典概型和互斥事件，∵事件A為“抽得紅桃K”，∴事件A的概率P=，∵事件B為“抽得為黑桃”，∴事件B的概率是P=，∴由互斥事件概率公式P（A∪B）=．故答案為：．16.已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，P為左支上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)△PAF的周長最小時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為．參考答案：【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出左焦點(diǎn)H的坐標(biāo)，由雙曲線的定義可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|，求得2a+|AH|的值，即可求出△PAF周長的最小值，同時(shí)求出直線AH的方程，聯(lián)立雙曲線的方程，解方程可得P的坐標(biāo)．【解答】解：∵F是雙曲線的右焦點(diǎn)，∴a=1，b=2，c=3，F(xiàn)（3，0），左焦點(diǎn)為H（﹣3，0），由雙曲線的定義可得|PF|﹣|PH|=2a=2，（P在左支上），又點(diǎn)，|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=2+=2+15=17，∵|AF|==15，∴當(dāng)且僅當(dāng)A，P，H共線時(shí)，△PAF周長取得最小值為17+15=32．由直線AH：+=1，代入雙曲線，解得x=﹣2，y=2，即有P（﹣2，2），故答案為：（﹣2，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，把|PF|+|PA|化為2a+|PH|+|PA|是解題的關(guān)鍵．17.用數(shù)學(xué)歸納法證明：，當(dāng)時(shí)，左邊為__________．參考答案：等式的左邊是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，觀察當(dāng)時(shí)，等式左邊等于,故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知側(cè)面，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=.

(1)求證：C1B⊥平面ABC；

（2）設(shè)=l(0≤l≤1)，且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角

的大小為30°，試求l的值.參考答案：解：（1）因?yàn)閭?cè)面,側(cè)面，故,在中,由余弦定理得：，所以，

故,所以,而平面（2）由（1）可知，兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，,.所以,所以,則.

設(shè)平面的法向量為，則由,得,即，令，則是平面的一個(gè)法向量.

側(cè)面,是平面的一個(gè)法向量，.兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以=1或（舍去）略19.已知拋物線E的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在軸上，直線過F垂直于軸且與拋物線E交于AB兩點(diǎn)，若的面積等于4（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求拋物線E的方程。參考答案：略20.把半橢圓=1（x≥0）與圓弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲線稱作“曲圓”，其中F（c，0）為半橢圓的右焦點(diǎn)．如圖，A1，A2，B1，B2分別是“曲圓”與x軸、y軸的交點(diǎn)，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面積為．（1）求a，c的值；（2）過點(diǎn)F且傾斜角為θ的直線交“曲圓”于P，Q兩點(diǎn)，試將△A1PQ的周長L表示為θ的函數(shù)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)△A1PQ的周長L取得最大值時(shí)，試探究△A1PQ的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)求出面積的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由扇形FB1A1B2的面積為可得a，在△OFB2中，tan∠OFB2=tan60°=，又因?yàn)閏2+b2=a2，可得c．（2）分①當(dāng)θ∈（0，）；

②當(dāng)θ∈（）；

③當(dāng)θ∈（，）求出△A1PQ的周長；（3）在（2）的條件下，當(dāng)△A1PQ的周長L取得最大值時(shí)P、Q在半橢圓：（x≥0）上，利用弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式，表示面積，再利用單調(diào)性求出范圍．【解答】解：（1）∵扇形FB1A1B2的面積為=，∴a=2，圓?。▁﹣c）2+y2=a2（x＜0）與y軸交點(diǎn)B2（0，b），在△OFB2中，tan∠OFB2=tan60°=，又因?yàn)閏2+b2=a2，∴c=1．（2）顯然直線PQ的斜率不能為0（θ∈（0，π）），故設(shè)PQ方程為：x=my+1由（1）得半橢圓方程為：（x≥0）與圓弧方程為：（x﹣1）2+y2=4（x＜0），且A1（﹣1，0）恰為橢圓的左焦點(diǎn)．①當(dāng)θ∈（0，）時(shí)，P、Q分別在圓?。海▁﹣1）2+y2=4（x＜0）、半橢圓：（x≥0）上，△A1PO為腰為2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周長L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4sin，②當(dāng)θ∈（）時(shí)，P、Q分別在圓弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半橢圓：（x≥0）上，△A1PO為腰為2的等腰三角形|A1P|=4cos，△A1PQ的周長L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4cos，③當(dāng)θ∈（，）時(shí)，P、Q在半橢圓：（x≥0）上，△A1PO為腰為2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周長L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=4a=8（3）在（2）的條件下，當(dāng)△A1PQ的周長L取得最大值時(shí)P、Q在半橢圓：（x≥0）上，聯(lián)立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0y1+y2=，y1y2=．|PQ|=，點(diǎn)A1到PQ的距離d=．△A1PQ的面積s=|PQ|?d=12．令m2+1=t，t∈[1，]，s=12=12；∵g（t）=9t+在[1，+]上遞增，∴g（1）≤g（t）≤g（），；10≤g（t）≤，≤s≤3∴△A1PQ的面積不為定值，面積的取值范圍為：[]21.（本小題滿分12分）求使不等式成立的最小正整數(shù).參考答案： ……3分 ……8分

，又 ，故使不等式成立的最小正整數(shù)為75 ……12分22.已知展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22．（1）求n的值；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．參考答案：（1）6；（2）60；（3）.【分析】（1）利用公式展開得前三項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)和為22，