【2023小升初】奇偶數(shù)問(wèn)題（思維提高）-小升初數(shù)學(xué)思維拓展卷（通用版）

奇偶數(shù)問(wèn)題

解答題(共30小題)

1.48、C三個(gè)同學(xué)爬香山，邊爬邊數(shù)臺(tái)階。爬了一會(huì)兒，三人拉開(kāi)了距離。A爬得最快，

B次之，C最慢。C發(fā)微信問(wèn)A、B當(dāng)前的位置，A說(shuō)自己當(dāng)前爬過(guò)的臺(tái)階比剩余的臺(tái)階

多了37級(jí)，B說(shuō)自己當(dāng)前爬過(guò)臺(tái)階比剩余的臺(tái)階少4級(jí)。C馬上說(shuō)A、8中至少有一個(gè)

數(shù)錯(cuò)了。已知C正確地計(jì)算出自己當(dāng)且爬過(guò)的臺(tái)階比剩余的臺(tái)階少34階。問(wèn)：C能肯定

A、B中誰(shuí)一定數(shù)錯(cuò)了？請(qǐng)說(shuō)明理由。

2.將自然數(shù)1,2,3,4,…，2020按照奇數(shù)、偶數(shù)分成兩組，分別計(jì)算這兩組數(shù)中的所有

數(shù)字的總和，哪組數(shù)的數(shù)字總和更大？大的比小的大多少？

3.如圖是某一個(gè)淺湖泊的平面圖，圖中曲線(xiàn)都是湖岸.

(1)若P點(diǎn)在岸上，則A點(diǎn)在岸上還是水中？

(2)某人過(guò)這湖泊，他下水時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋.若有一點(diǎn)B,他脫鞋的次數(shù)與穿鞋的

次數(shù)和是奇數(shù)，那么B點(diǎn)在岸上還是水中？說(shuō)明理由.

4.在黑板上寫(xiě)出3個(gè)整數(shù)分別是1,3,5,然后擦去一個(gè)換成其它兩數(shù)之和，這樣操作下

去,最后能否得到57,64,108?為什么?

5.甲、乙兩個(gè)哲人將正整數(shù)5至11分別寫(xiě)在7張卡片上.他們將卡片背面朝上，任意混合

之后，甲取走三張，乙取走兩張.剩下的兩張卡片?，他們誰(shuí)也沒(méi)看，就放到袋子里去了.甲

認(rèn)真研究了自己手里的三張卡片后對(duì)乙說(shuō):“我知道你的兩張卡片上的數(shù)的和是偶數(shù)”.試

問(wèn)：甲的三張卡片上寫(xiě)了哪些數(shù)？答案是否唯一.請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.從IOO1,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009中任意選出四個(gè)數(shù)，使它

們的和為偶數(shù)，則共有多少種不同的選法.

7.能否從0、1、2、…、13、14這15個(gè)數(shù)中選出10個(gè)不同的數(shù)，填入圓圈中，使每?jī)蓚€(gè)

用線(xiàn)相連的圓圈中的數(shù)所成的差(大減小)各不相同？如能，給出一種填法；如不能，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.我們都學(xué)過(guò)“貓吃老鼠”的問(wèn)題:

(/)如果按照吃一個(gè)、留一個(gè)的順序，那么當(dāng)老鼠排成一直線(xiàn)時(shí)，最后留下的是其中最

大的形如2"的數(shù).

(1)請(qǐng)問(wèn)：現(xiàn)在有30只老鼠排成一直線(xiàn)，按照吃2個(gè)、留1個(gè)的順序，最后留下哪一

只？

(2)如果有100只老鼠呢？

(3)你能得出什么結(jié)論嗎？

(II)如果仍然吃一個(gè)、留一個(gè)，而老鼠排成圓周，那么我們知道，如果老鼠的數(shù)量恰

為2時(shí)，留下的老鼠就是最后一只，如果老鼠的數(shù)量不是2,那么我們先吃掉一部分，將

剩余數(shù)量變?yōu)?,那么此時(shí)的最后一只就是最后留下來(lái)的一只.

例如，如果50只老鼠圍成一圈，那么我們先把數(shù)量變?yōu)?2只，先吃掉50-32=18只，

分別是1、3、5、，,,,、35只，現(xiàn)在只剩32老鼠，新的第一只是第37號(hào)老鼠，最后一只

是第36號(hào)老鼠，于是，剩下的老鼠是第36號(hào).

請(qǐng)問(wèn)：如果有101只老鼠圍成一圈，按照吃2個(gè)、留一個(gè)的順序，最后留下哪一只？為

什么？

9.大雄家所在街道的每棟房子都有一個(gè)門(mén)牌號(hào)碼，街道的一側(cè)編號(hào)為奇數(shù)，另一側(cè)編號(hào)為

偶數(shù).編號(hào)的方式為：假設(shè)大雄家是占地一個(gè)單位面積的房子且編號(hào)為1號(hào)，他的隔壁

是占地兩個(gè)單位面積的房子，編為3號(hào)，接下來(lái)的兩棟都是占地一個(gè)單位面積的房子則

分別編為7號(hào)、9號(hào)，如圖：

Ill3∣7∣9∣I

在大雄家所在這一側(cè)有四分之一的房子是占地兩個(gè)單位面積的房子.大雄的好友小安住

在這條街道的最后一棟房子，他的家占地兩個(gè)單位面積，門(mén)牌號(hào)碼為187.請(qǐng)問(wèn)大雄家所

在的這一側(cè)共有多少棟房子？

10.能否用540個(gè)圖所示的1X2的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)6X180的大長(zhǎng)方形，使得6X180的

長(zhǎng)方形的每一行、每一列都有奇數(shù)個(gè)星？請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.如圖，甲、乙、丙三個(gè)大小相同的杯子在桌面上一次排列，其中甲杯中盛滿(mǎn)水，乙和丙

是空杯.現(xiàn)把水全部倒入相鄰(左或右)的空杯中，那么，經(jīng)過(guò)55次倒水后，有水的是

杯.

甲乙丙

12.能否用500個(gè)如圖所示的1X2的小長(zhǎng)方形形成一個(gè)5×200的大長(zhǎng)方形，使得5X200

的長(zhǎng)方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個(gè)星？請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.黑板上有多個(gè)5和7.現(xiàn)在進(jìn)行如下操作：將黑板上任意兩個(gè)數(shù)的和寫(xiě)在黑板上，問(wèn)經(jīng)

過(guò)若干次操作后，黑板上能否出現(xiàn)23?

14.設(shè)某年中有一個(gè)月里有三個(gè)星期日的日期為奇數(shù)，則這個(gè)月的21日可能是星期幾？

15.如圖，從0點(diǎn)起每隔3米種一棵樹(shù).如果把3塊“愛(ài)護(hù)樹(shù)木”的小木牌分別掛在3棵樹(shù)

上，那么不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹(shù)之間的距離是偶數(shù)（以米為單位）.試說(shuō)明理由.

03691215182124

16.有8盞燈，從1到8編號(hào)，開(kāi)始時(shí)3、6、7編號(hào)的燈是亮的.如果一個(gè)小朋友按從1

到8,再?gòu)?到8,…的順序拉開(kāi)關(guān)，一共拉動(dòng)500次，問(wèn)此時(shí)哪幾個(gè)編號(hào)的燈是亮的？

17.2009年元旦游園活動(dòng)中，有一個(gè)游戲廳中亮著2009盞燈（每盞燈配一個(gè)開(kāi)關(guān)，每觸動(dòng)

一次開(kāi)關(guān)，滅或由滅變亮），現(xiàn)在2009個(gè)人參加一個(gè)游戲活動(dòng)：規(guī)定第一個(gè)人只能觸動(dòng)1

個(gè)開(kāi)關(guān)；第二個(gè)人只能觸動(dòng)2個(gè)開(kāi)關(guān)，第3個(gè)人只能觸動(dòng)3個(gè)開(kāi)關(guān)…第2009個(gè)人只能動(dòng)

2009個(gè)開(kāi)關(guān).問(wèn)：照此游戲規(guī)則，這2009個(gè)人能否將游戲廳中的燈全部關(guān)滅？請(qǐng)說(shuō)明理

由.

18.l+2×3×4×5×6+7×8×9×10×ll+12×13×14×15×16+—+497×498×499×500×

501是奇數(shù)還是偶數(shù)，為什么？

19.我國(guó)在使用公元紀(jì)年的同時(shí)，也一直沿用我國(guó)古代創(chuàng)立的干支紀(jì)年法，如甲午戰(zhàn)爭(zhēng)的甲

午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名稱(chēng).干支中的干是天干的簡(jiǎn)稱(chēng)，是指：甲乙丙丁戊

己庚辛壬癸；支是地支的簡(jiǎn)稱(chēng)，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.

在紀(jì)年時(shí)，干支同時(shí)分別從甲子開(kāi)始，不改變各自的順序，循環(huán)往復(fù)下去.一位叫“丁

寅”的同學(xué)想在“丁寅年”邀請(qǐng)同學(xué)聚會(huì)，他的愿望能實(shí)現(xiàn)嗎？若能實(shí)現(xiàn)，說(shuō)明是IW一

年？（2008年是“戊子年”）若不能實(shí)現(xiàn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.200至U500之間的奇數(shù)，百位、十位和個(gè)位上的數(shù)字都不相同的有幾個(gè)？

21.你能從1、3、5、7、9、…、2007、2009這1005個(gè)自然數(shù)中選出9個(gè)，使它們的和等

于2008嗎?為什么?

22.在棋盤(pán)中，如果兩個(gè)方格有公共點(diǎn)，就稱(chēng)為相鄰的.如圖中A有3個(gè)相鄰的方格，而B(niǎo)

有8個(gè)相鄰的方格.圖中每一個(gè)奇數(shù)表示與它相鄰的方格中偶數(shù)的個(gè)數(shù)（如3表示相鄰

的方格中有3個(gè)偶數(shù)），每個(gè)偶數(shù)表示與它相鄰的方格中奇數(shù)的個(gè)數(shù)（如4表示相鄰的方

格中有4個(gè)奇數(shù)）.請(qǐng)?jiān)谙旅娴?×4的棋盤(pán)中填數(shù)（至少有一個(gè)奇數(shù)），滿(mǎn)足上面的要求.

23.將1,3,5,7,9填入等號(hào)左邊的5個(gè)方框中，2,4,6,8填入等號(hào)右邊的4個(gè)方框

中，使等式成立，且等號(hào)兩邊的計(jì)算結(jié)果都是自然數(shù)，這個(gè)結(jié)果最小為.

π÷π+π+ππ=π÷π+ππ

24.如圖所示，在三個(gè)圓圈中各填入一個(gè)自然數(shù)，使每條線(xiàn)段兩端的兩個(gè)數(shù)之和均為奇數(shù).請(qǐng)

問(wèn)這樣的填法存在嗎？如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如存在，請(qǐng)寫(xiě)出一種填法.

25.能將1,2,3,4,5,6,7,8,9填在3X3的方格表中（如圖），使得橫向與豎向任意

相鄰兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)給出一種填法：如果不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由.

26,將1999表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和：1999=口+口，在口中填入質(zhì)數(shù).共有多少種表示法？

27,小地球儀上赤道大圓與過(guò)南北極的某大圓相交于4、B兩點(diǎn).有黑、白二蟻從A點(diǎn)同時(shí)

出發(fā)分別沿著這兩個(gè)大圓爬行.黑蟻爬赤道大圓一周要10秒鐘，白蟻爬過(guò)南北極的大圓

一周要8秒鐘.問(wèn)：在10分鐘內(nèi)黑、白二蟻在B點(diǎn)相遇幾次？為什么？

28.27名小運(yùn)動(dòng)員穿運(yùn)動(dòng)服的號(hào)碼是1,2,3,…27這27個(gè)自然數(shù).問(wèn)這些小運(yùn)動(dòng)員能否

站才一個(gè)圓圈，使得任意相鄰兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)？說(shuō)明理由.

29.現(xiàn)有11塊鐵，每塊的重量都是整數(shù)，任取其中10塊，都可以分成重量都等的兩組，每

組有5塊鐵，試說(shuō)明：這11塊鐵每塊的重量都相等.

30.有30個(gè)貳分硬幣和8個(gè)伍分硬幣，用這些硬幣不能構(gòu)成1分到1元之間的幣值有多少

種？

奇偶數(shù)問(wèn)題

參考答案與試題解析

一.解答題（共30小題）

1.A、8、C三個(gè)同學(xué)爬香山，邊爬邊數(shù)臺(tái)階。爬了一會(huì)兒，三人拉開(kāi)了距離。A爬得最快，

B次之，C最慢。C發(fā)微信問(wèn)4、8當(dāng)前的位置，4說(shuō)自己當(dāng)前爬過(guò)的臺(tái)階比剩余的臺(tái)階

多了37級(jí)，B說(shuō)自己當(dāng)前爬過(guò)臺(tái)階比剩余的臺(tái)階少4級(jí)。C馬上說(shuō)A、2中至少有一個(gè)

數(shù)錯(cuò)了。已知C正確地計(jì)算出自己當(dāng)且爬過(guò)的臺(tái)階比剩余的臺(tái)階少34階。問(wèn)：C能肯定

A、8中誰(shuí)一定數(shù)錯(cuò)了？請(qǐng)說(shuō)明理由。

【分析】本題根據(jù)奇偶性進(jìn)行判斷，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=

奇數(shù)。因?yàn)镃的計(jì)算是正確的，則總臺(tái)階數(shù)一定為偶數(shù)，從而可判斷A的說(shuō)法錯(cuò)誤。

【解答】解：C爬過(guò)的臺(tái)階比剩余的臺(tái)階少34階，所以總臺(tái)階數(shù)為：2XC剩余的臺(tái)階

數(shù)-34,

即總臺(tái)階數(shù)一定為偶數(shù)，

由奇偶性進(jìn)行判斷，

可得：每個(gè)人爬過(guò)的臺(tái)階數(shù)與剩余的臺(tái)階數(shù)之差一定為偶數(shù)，

所以A的說(shuō)法是錯(cuò)誤的。

答：C能肯定A數(shù)錯(cuò)了，因?yàn)锳當(dāng)前爬過(guò)的臺(tái)階比剩余的臺(tái)階多了37級(jí)是奇數(shù)，而實(shí)際

上多的一定為偶數(shù)。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查奇偶性的判斷，是比較簡(jiǎn)單的題型。

2.將自然數(shù)1,2,3,4,2020按照奇數(shù)、偶數(shù)分成兩組，分別計(jì)算這兩組數(shù)中的所有

數(shù)字的總和，哪組數(shù)的數(shù)字總和更大？大的比小的大多少？

【分析】本題先按照奇數(shù)組和偶數(shù)組對(duì)數(shù)列進(jìn)行分組，然后用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求

解，再比較大小。

【解答】解：自然數(shù)1,2,3,4,2020按照奇數(shù)、偶數(shù)分成兩組，

則奇數(shù)組為：1,3,5,7,2019,共IoIO項(xiàng)，

偶數(shù)組為：2,4,6,8,…，2020,共IolO項(xiàng)，

奇數(shù)組的和為：（l+2019）2x1010=1020100,

偶數(shù)組的和為：（2+2020）2XIOio=1021no,

顯然，偶數(shù)組數(shù)字總和更大，

大的比小的多：1021110-1020100=IOlOo

【點(diǎn)評(píng)】本題考查奇偶數(shù)及等差數(shù)列的求和公式：s=（首項(xiàng)）+末項(xiàng)2x項(xiàng)數(shù)=項(xiàng)數(shù)

X首項(xiàng)+項(xiàng)數(shù)義（項(xiàng)數(shù)-1）2X公差，兩個(gè)公式可以相互轉(zhuǎn)化。

3.如圖是某一個(gè)淺湖泊的平面圖，圖中曲線(xiàn)都是湖岸.

(1)若P點(diǎn)在岸上，則A點(diǎn)在岸上還是水中？

(2)某人過(guò)這湖泊，他下水時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋.若有一點(diǎn)8,他脫鞋的次數(shù)與穿鞋的

次數(shù)和是奇數(shù)，那么B點(diǎn)在岸上還是水中？說(shuō)明理由.

【分析】(1)本題可據(jù)數(shù)的奇偶性進(jìn)行分析，如圖從P點(diǎn)到A點(diǎn)的空白處標(biāo)上數(shù)字可發(fā)

現(xiàn)，奇數(shù)都處于岸上，偶數(shù)都處于水中，A點(diǎn)為6,是偶數(shù)，所以A點(diǎn)處于水中.

(2)某人進(jìn)入水中時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋，從每從水中到岸上，脫鞋與穿鞋次數(shù)和為2,

即脫鞋與穿鞋次數(shù)相加為偶數(shù)時(shí)，某人一定在岸上，脫鞋與穿鞋次數(shù)相加為奇數(shù)時(shí)，某

人一定在水中，在B點(diǎn)他脫鞋的次數(shù)與穿鞋的次數(shù)和是奇數(shù)，所以8點(diǎn)一定在水中.

【解答】解：(1)如圖，由于點(diǎn)P處于岸上且為1,所以奇數(shù)都處于岸上，偶數(shù)都處于

水中，A點(diǎn)為6,是偶數(shù)，所以A點(diǎn)處于水中.

答：A點(diǎn)處于水中.

(2)由于從進(jìn)入水中再到岸上，脫鞋與穿鞋次數(shù)和為2,

即脫鞋與穿鞋次數(shù)相加為偶數(shù)時(shí)，某人一定在岸上；

脫鞋與穿鞋次數(shù)相加為奇數(shù)時(shí)，某人一定在水中；

在B點(diǎn)他脫鞋的次數(shù)與穿鞋的次數(shù)和是奇數(shù)，

所以B點(diǎn)一定在水中.

答：B點(diǎn)一定在水中.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了通過(guò)數(shù)的奇偶性判斷位置的能力.

4.在黑板上寫(xiě)出3個(gè)整數(shù)分別是1,3,5,然后擦去一個(gè)換成其它兩數(shù)之和，這樣操作下

去，最后能否得到57,64,108?為什么？

【分析】由于一開(kāi)始是1、3、5,這三個(gè)均是奇數(shù)，擦去任意一個(gè)，改為剩下兩個(gè)奇數(shù)之

和應(yīng)是偶數(shù)，這樣三個(gè)數(shù)是兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，以后如果擦掉是偶數(shù)，換上的是偶數(shù)，

擦去一個(gè)奇數(shù)，換上的必是奇數(shù)，因而永遠(yuǎn)是兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，但是57、64、108是

一個(gè)奇數(shù)兩個(gè)偶數(shù)，所以無(wú)論如何無(wú)法得到這三個(gè)數(shù).

【解答】解：由分析可知：如果擦掉是偶數(shù)，換上的是偶數(shù)，擦去一個(gè)奇數(shù)，換上的必

是奇數(shù)，因而永遠(yuǎn)是兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；

所以不能；

答：最后不能得到57,64,108這三個(gè)數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】此題應(yīng)根據(jù)數(shù)的奇偶性特點(diǎn)進(jìn)行分析、探究，進(jìn)而得出問(wèn)題結(jié)論.

5.甲、乙兩個(gè)哲人將正整數(shù)5至11分別寫(xiě)在7張卡片上.他們將卡片背面朝上，任意混合

之后，甲取走三張，乙取走兩張.剩下的兩張卡片，他們誰(shuí)也沒(méi)看，就放到袋子里去了.甲

認(rèn)真研究了自己手里的三張卡片后對(duì)乙說(shuō):“我知道你的兩張卡片上的數(shù)的和是偶數(shù)”.試

問(wèn)：甲的三張卡片上寫(xiě)了哪些數(shù)？答案是否唯一.請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】由題意，這4張卡片上所寫(xiě)的數(shù)的奇偶性相同，亦即或者都是偶數(shù)，或者都是

奇數(shù).由于一共只有3張卡片上寫(xiě)的是偶數(shù)，所以它們不可能都是偶數(shù)，從而只能都是

奇數(shù)，可得3張寫(xiě)著偶數(shù)的卡片全都落入甲的手中.

【解答】解：甲手中的3張卡片上分別寫(xiě)了6,8和10.

甲知道其余4張卡片上分別寫(xiě)了哪些數(shù)，但不知道它們之中的哪兩張落到了乙的手中.

因此，只有在它們之中任何兩張卡片上的數(shù)的和都是偶數(shù)時(shí)，甲才能說(shuō)出自己的斷言.

而這就意味著，這4張卡片上所寫(xiě)的數(shù)的奇偶性相同，亦即或者都是偶數(shù)，或者都是奇

數(shù).

但是由于一共只有3張卡片上寫(xiě)的是偶數(shù)，所以它們不可能都是偶數(shù)，從而只能都是奇

數(shù).

于是3張寫(xiě)著偶數(shù)的卡片全都落入甲的手中.答案是唯一的.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查奇偶性問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

6.從IoOI,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009中任意選出四個(gè)數(shù)，使它

們的和為偶數(shù)，則共有多少種不同的選法.

【分析】首先分析如果結(jié)果是偶數(shù)可以分為0,2,4個(gè)奇數(shù)，把每一種結(jié)果加起來(lái)即可.

【解答】解：依題意可知：

根據(jù)四個(gè)數(shù)的結(jié)果是偶數(shù).那么必定是0個(gè)奇數(shù)，2個(gè)奇數(shù)或者是4個(gè)奇數(shù).

在IoOl,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009奇數(shù)的個(gè)數(shù)為5個(gè)，偶數(shù)

的個(gè)數(shù)為4個(gè).

當(dāng)。個(gè)奇數(shù)時(shí)有一種情況.

當(dāng)是2個(gè)奇數(shù)2個(gè)偶數(shù)時(shí)是C52C42=60種.

當(dāng)選擇4個(gè)奇數(shù)時(shí)有5種.

60+5+1=66(種)

答：共有66種選擇方法.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)奇偶性的理解和綜合運(yùn)用，同時(shí)關(guān)鍵是分類(lèi)中的排列組合.問(wèn)題解

決.

7.能否從0、1、2、…、13、14這15個(gè)數(shù)中選出10個(gè)不同的數(shù)，填入圓圈中，使每?jī)蓚€(gè)

用線(xiàn)相連的圓圈中的數(shù)所成的差(大減小)各不相同？如能，給出一種填法；如不能，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】首先分析15個(gè)數(shù)字構(gòu)成14個(gè)差而且不同那么差一定是1到14各一個(gè)數(shù)字.可

根據(jù)奇數(shù)偶數(shù)性質(zhì)來(lái)判斷即可.

【解答】解：依題意可知：

圖中共有14個(gè)差的和S=1+2+3+4+5+6+…+14=105是一個(gè)奇數(shù).

另一方面每個(gè)圓圈與偶數(shù)個(gè)圓相連，設(shè)填入的數(shù)字是。，那么“在S中出現(xiàn)偶數(shù)次，偶數(shù)

個(gè)“相加或相減結(jié)果為偶數(shù)，因此S是10個(gè)偶數(shù)的和，是偶數(shù).

所以S即是奇數(shù)又是偶數(shù)矛盾.

綜上所述：不存在.

【點(diǎn)評(píng)】本題是考察對(duì)奇偶性的理解和綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是找出分析兩次結(jié)果的對(duì)比的矛

盾一次是奇數(shù)一次是偶數(shù)矛盾.問(wèn)題解決.

8.我們都學(xué)過(guò)“貓吃老鼠”的問(wèn)題：

(/)如果按照吃一個(gè)、留一個(gè)的順序，那么當(dāng)老鼠排成一直線(xiàn)時(shí)，最后留下的是其中最

大的形如2/7的數(shù).

(1)請(qǐng)問(wèn)：現(xiàn)在有30只老鼠排成一直線(xiàn)，按照吃2個(gè)、留1個(gè)的順序，最后留下哪一

只？

(2)如果有100只老鼠呢？

(3)你能得出什么結(jié)論嗎？

(II)如果仍然吃一個(gè)、留一個(gè)，而老鼠排成圓周，那么我們知道，如果老鼠的數(shù)量恰

為2時(shí)，留下的老鼠就是最后一只，如果老鼠的數(shù)量不是2,那么我們先吃掉一部分，將

剩余數(shù)量變?yōu)?,那么此時(shí)的最后一只就是最后留下來(lái)的一只.

例如，如果50只老鼠圍成一圈，那么我們先把數(shù)量變?yōu)?2只，先吃掉50-32=18只，

分別是1、3、5、，,,,、35只，現(xiàn)在只剩32老鼠，新的第一只是第37號(hào)老鼠，最后一只

是第36號(hào)老鼠，于是，剩下的老鼠是第36號(hào).

請(qǐng)問(wèn)：如果有IOl只老鼠圍成一圈，按照吃2個(gè)、留一個(gè)的順序，最后留下哪一只？為

什么？

【分析】(/)如果按照吃一個(gè)、留一個(gè)的順序，即吃1,留2,吃3,留4,….即留下

的都是2的倍數(shù)，中可知一圈后留下的人是2的倍數(shù)的號(hào)；兩圈后留下的人分別是4的

倍數(shù)的號(hào)；三圈后留下的人是8的倍數(shù)的號(hào)；四圈后留下的人是16的倍數(shù)的號(hào)，…即只

有所以最后下的是開(kāi)如2”的數(shù).

(1)按照吃2個(gè)、留1個(gè)的順序，即吃1、2,留3,吃4、5,留6,….在嘗試中觀察，

探索規(guī)律，即最后留下的是最大的形如3"的數(shù).1-30中，則留下的是27號(hào).

(2)如果有100只老鼠，如果按照吃一個(gè)、留一個(gè)的順序，則最后剩下的是第64號(hào)老

鼠，按照吃2個(gè)、留1個(gè)的順序，則最后留下的是81號(hào)老鼠.

(3)由此可發(fā)現(xiàn)，第一次留下的是N號(hào)老鼠，則最后留下的即是這些數(shù)中的形如"的

數(shù).

(II)根據(jù)以上規(guī)律完成即可.

【解答】解：(1)按照吃2個(gè)、留1個(gè)的順序，即吃1、2,留3,吃4、5,留6,….即

3X1、3X2、3X3、3X4、3X5、3×6???,在嘗試中觀察，探索規(guī)律，最后留下的是最

大的形如3"的數(shù).

1-30中，則留下的是27號(hào).

(2)由I可知，按照吃一個(gè)、留一個(gè)的順序，那么當(dāng)老鼠排成一直線(xiàn)時(shí)，最后留下的是

其中最大的形如2n的數(shù)，1-100中，最大最大的形如2n的數(shù)是64,則留下的是64號(hào).

(3)由此可發(fā)現(xiàn)，第一次留下的是N號(hào)老鼠，則最后留下的即是這些數(shù)中的形如M的

數(shù).

(II)如果有101只老鼠圍成一圈，按照吃2個(gè)、留一個(gè)的順序，則留下的是其中最大

形如3”的數(shù).

I-IOI中，最大形如3”的數(shù)是81,則最后留下是81號(hào).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生總結(jié)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律解決問(wèn)題的能力.

9.大雄家所在街道的每棟房子都有一個(gè)門(mén)牌號(hào)碼，街道的一側(cè)編號(hào)為奇數(shù)，另一側(cè)編號(hào)為

偶數(shù).編號(hào)的方式為：假設(shè)大雄家是占地一個(gè)單位面積的房子且編號(hào)為1號(hào)，他的隔壁

是占地兩個(gè)單位面積的房子，編為3號(hào)，接下來(lái)的兩棟都是占地一個(gè)單位面積的房子則

分別編為7號(hào)、9號(hào)，如圖：

1I3∣7∣9∣

在大雄家所在這一側(cè)有四分之一的房子是占地兩個(gè)單位面積的房子.大雄的好友小安住

在這條街道的最后一棟房子，他的家占地兩個(gè)單位面積，門(mén)牌號(hào)碼為187.請(qǐng)問(wèn)大雄家所

在的這一側(cè)共有多少棟房子？

【分析】在編號(hào)1、3、7、9中發(fā)現(xiàn)：因?yàn)?號(hào)占有2個(gè)單位面積，所以3號(hào)實(shí)際包含了

3和5兩個(gè)奇數(shù)；又有四分之一的房子是占地兩個(gè)單位面積的房子；所以每5個(gè)連續(xù)的奇

數(shù)中，就會(huì)

有1個(gè)編號(hào)占2個(gè)面積單位，編號(hào)時(shí)就只遍4個(gè)號(hào)，也就是參與編碼的奇數(shù)和沒(méi)有參加

編碼的奇數(shù)的比是4：1；最后一棟房子門(mén)牌號(hào)碼為187,所以一共有奇數(shù)(包括未編碼

的奇數(shù))就是(188+1)÷2=94(個(gè))，最后一個(gè)編碼占兩個(gè)單位面積，所以一共就有

94+1=95個(gè)面積單位；把95按照4：1進(jìn)行分配即可求出占有2個(gè)面積單位的房子有多

少棟，進(jìn)而求出房子的總數(shù).

【解答】解：如果一個(gè)面積單位對(duì)應(yīng)一個(gè)編號(hào)，那么每4個(gè)編號(hào)中就會(huì)多出一個(gè)編號(hào)；

也就是參與編碼的奇數(shù)和沒(méi)有參加編碼的奇數(shù)的比是4：1：

(187+1)÷2+l

=94+1

=95

95÷(4+1)

=95÷5

=19；

19×4=76(棟)

答：大雄家所在的這一側(cè)共有76棟房子.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)給出的1、3、7,9這幾個(gè)編碼的特點(diǎn)，找出規(guī)律，再利用規(guī)律求解.

10.能否用540個(gè)圖所示的1X2的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)6X180的大長(zhǎng)方形，使得6X180的

長(zhǎng)方形的每一行、每一列都有奇數(shù)個(gè)星？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Ψ

【分析】540個(gè)這樣的小長(zhǎng)方形就有540個(gè)小星星：540是偶數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；

也就是說(shuō)偶數(shù)可以分成偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和；由此求解.

【解答】解：540個(gè)這樣的小長(zhǎng)方形就有540個(gè)小星星；

540可以分成6個(gè)奇數(shù)的和；也可以分成180個(gè)奇數(shù)的和，所以每一行或者每一列都可以

是奇數(shù)個(gè)星；

如：前五行各有89個(gè)，第六行有95個(gè)；每列都是3個(gè).

所以540個(gè)1X2能使得6×180的長(zhǎng)方形的每一行、每一列都有奇數(shù)個(gè)星.

【點(diǎn)評(píng)】本題根據(jù)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，這一規(guī)律進(jìn)行求解.

11.如圖，甲、乙、丙三個(gè)大小相同的杯子在桌面上一次排列，其中甲杯中盛滿(mǎn)水，乙和丙

是空杯.現(xiàn)把水全部倒入相鄰（左或右）的空杯中，那么，經(jīng)過(guò)55次倒水后，有水的是

乙_杯.

甲乙丙

【分析】由于乙處于中間，根據(jù)操作規(guī)則，甲杯中盛滿(mǎn)水，乙和丙是空杯.現(xiàn)把水全部

倒入相鄰（左或右）的空杯中，第一次：倒入乙中；此時(shí)水在乙中，如向左則第二次倒

入甲中，第三次再倒入乙中；（第二次入向右則坐倒入丙中，第三次只能倒入乙中）如此

循環(huán)，由此可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)谄鏀?shù)次倒入時(shí)，總是倒入乙中.55是奇數(shù)，因此，經(jīng)過(guò)55

次倒水，有水的是乙杯.

【解答】解：由于乙處在中間，

根據(jù)操作規(guī)則可知，

當(dāng)?shù)谄鏀?shù)次倒入時(shí)，總是倒入乙中.

55是奇數(shù)，因此，經(jīng)過(guò)55次倒水，有水的是乙杯.

故答案為：乙.

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)操作，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是完成本題的關(guān)鍵.

12.能否用500個(gè)如圖所示的1X2的小長(zhǎng)方形形成一個(gè)5X200的大長(zhǎng)方形，使得5X200

的長(zhǎng)方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個(gè)星？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】500個(gè)小長(zhǎng)方形就有500個(gè)小星星，500個(gè)星星平均分成5行，每行就有100個(gè)，

是偶數(shù)；500÷200=2（個(gè)）…100（個(gè)）；再把余下的100個(gè)平均分給50歹∣J,每列分2

個(gè)，這50列每列就是2+2=4（個(gè)），剩下的150列每列是2個(gè)，都是偶數(shù)，由此可解.

【解答】解：可以使5X200的長(zhǎng)方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個(gè)星，因?yàn)椋?/p>

500個(gè)小長(zhǎng)方形就有500個(gè)小星星，

5OO÷5=1OO（個(gè)）,

每行100個(gè)是偶數(shù)；

500÷200=2（個(gè)）-100（個(gè)）；

再把余下的100個(gè)平均分給50歹∣J,每列分2個(gè)，這50列每列就是2+2=4（個(gè)），剩下

的150列每列是2個(gè)，都是偶數(shù)；

所以可以使5X200的長(zhǎng)方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個(gè)星.

【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把按列分配時(shí)余下的小星星正確的分配，使每列都是偶數(shù)個(gè).

13.黑板上有多個(gè)5和7.現(xiàn)在進(jìn)行如下操作：將黑板上任意兩個(gè)數(shù)的和寫(xiě)在黑板上，問(wèn)經(jīng)

過(guò)若干次操作后，黑板上能否出現(xiàn)23?

【分析】黑板上有多個(gè)5和7,將黑板上任意兩個(gè)數(shù)的和寫(xiě)在黑板上，根據(jù)其操作規(guī)則可

知，每次操作后的結(jié)果應(yīng)是干個(gè)5與若干個(gè)7的和，5+7=12,12+5=17,17+5=22,12+7

=19,19+5=24,即無(wú)論怎么操作都不會(huì)出現(xiàn)23.

【解答】解：因?yàn)槊看魏诎迳铣霈F(xiàn)的數(shù)都應(yīng)該可以是若干個(gè)5與若干個(gè)7的和，

而23不是，所以不能出現(xiàn).

【點(diǎn)評(píng)】由于本題中23數(shù)值較小，因此通過(guò)試算就能得出結(jié)果.

14.設(shè)某年中有一個(gè)月里有三個(gè)星期日的日期為奇數(shù)，則這個(gè)月的21日可能是星期幾？

【分析】設(shè)這個(gè)月的第一個(gè)星期日是。日（IWaW7）,則這個(gè)月內(nèi)星期日的日期是7A+α,

k是整數(shù)，7Hα≤31.要求有三個(gè)奇數(shù).然后分當(dāng)α=l時(shí)，當(dāng)“=2時(shí)，當(dāng)α=3時(shí)，4

WαW7時(shí)，進(jìn)行討論，作出解答.

【解答】解：設(shè)這個(gè)月的第一個(gè)星期日是。日（I≤a≤7）,則這個(gè)月內(nèi)星期日的日期是

7k+a,k是整數(shù)，7H<J≤31.

當(dāng)α=l時(shí)，要使7k+l是奇數(shù)，k為偶數(shù)，即k可取0,2,4三個(gè)值，此時(shí)，7k+α=7k+l,

分別為1,15,29,這時(shí)21號(hào)是星期六.

當(dāng)α=2時(shí)，要使然+2是奇數(shù)，k為奇數(shù)，即k可取1,3兩個(gè)值，7A+2不可能有三個(gè)

奇數(shù).

當(dāng)α=3時(shí)，要使7&+3是奇數(shù)，k為偶數(shù)，即k可取0,2,4三個(gè)值，此時(shí)1k+a=7k+3,

分別為3,17,31,這時(shí)21號(hào)是星期四.

當(dāng)4≤α≤7B寸，7%+“不可能有三個(gè)奇數(shù).

故答案為：4或6.

【點(diǎn)評(píng)】此題分情況進(jìn)行討論，根據(jù)數(shù)的奇偶性，解答即可.

15.如圖，從0點(diǎn)起每隔3米種一棵樹(shù).如果把3塊“愛(ài)護(hù)樹(shù)木”的小木牌分別掛在3棵樹(shù)

上，那么不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹(shù)之間的距離是偶數(shù)（以米為單位）.試說(shuō)明理由.

03691215182124

【分析】相距最遠(yuǎn)的兩塊木牌的距離，等于它們分別與中間一塊木牌的距離之和.如果

三塊木牌間兩兩距離都是奇數(shù)，就會(huì)出現(xiàn)“奇+奇=奇”，這顯然不成立，所以必有兩塊

木牌的距離是偶數(shù).

【解答】解：相距最遠(yuǎn)的兩塊木牌的距離，等于它們分別與中間一塊木牌的距離之和.如

果三塊木牌間兩兩距離都是奇數(shù)，就會(huì)出現(xiàn)“奇+奇=奇”，這顯然不成立，所以必有兩

塊木牌的距離是偶數(shù).

答：不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹(shù)之間的距離是偶數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】此題屬于奇偶性問(wèn)題，考查了學(xué)生對(duì)奇偶性的判定能力.

16.有8盞燈，從1到8編號(hào)，開(kāi)始時(shí)3、6、7編號(hào)的燈是亮的.如果一個(gè)小朋友按從1

到8,再?gòu)?到8,…的順序拉開(kāi)關(guān)，一共拉動(dòng)500次，問(wèn)此時(shí)哪幾個(gè)編號(hào)的燈是亮的？

【分析】對(duì)于亮著的燈，只要拉動(dòng)偶數(shù)次開(kāi)關(guān)仍是亮的，拉動(dòng)奇數(shù)次開(kāi)關(guān)是滅的；對(duì)于

開(kāi)始關(guān)閉的燈，只要拉動(dòng)奇數(shù)次開(kāi)關(guān)燈就亮，拉動(dòng)偶數(shù)次開(kāi)關(guān)仍是滅的；因?yàn)?00÷8=

62余4,說(shuō)明這8盞燈各拉動(dòng)62次后，編號(hào)為1、2、3、4的燈又拉動(dòng)一次，由于62是

偶數(shù)，所以原來(lái)亮的燈仍是亮的，滅的燈仍是滅的，即編號(hào)是3、6、7的燈各拉動(dòng)62次

后仍是亮的，其余燈是滅的，接著編號(hào)是1、2、3、4的燈各拉動(dòng)一次，編號(hào)1、2、4的

燈亮了，編號(hào)3的燈滅了，所以這8盞燈最后是1、2、4、6、7這五盞燈是亮的.

【解答】解:500÷8=62???4,

即這8盞燈各拉動(dòng)62次后，編號(hào)為1、2、3、4的燈又拉動(dòng)一次，原來(lái)亮著的燈除3號(hào)

燈滅了，其余都亮著，又增加了1、2、4號(hào)燈；

所以這8盞燈最后是1、2、4、6、7這五盞燈是亮的.

答：1、2、4、6、7這五盞燈是亮的.

【點(diǎn)評(píng)】此題應(yīng)結(jié)合實(shí)際，又根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)的特點(diǎn)，進(jìn)行分析，即可得出結(jié)論.

17.2009年元旦游園活動(dòng)中，有一個(gè)游戲廳中亮著2009盞燈（每盞燈配一個(gè)開(kāi)關(guān)，每觸動(dòng)

一次開(kāi)關(guān)，滅或由滅變亮），現(xiàn)在2009個(gè)人參加一個(gè)游戲活動(dòng)：規(guī)定第一個(gè)人只能觸動(dòng)1

個(gè)開(kāi)關(guān)；第二個(gè)人只能觸動(dòng)2個(gè)開(kāi)關(guān)，第3個(gè)人只能觸動(dòng)3個(gè)開(kāi)關(guān)…第2009個(gè)人只能動(dòng)

2009個(gè)開(kāi)關(guān).問(wèn)：照此游戲規(guī)則，這2009個(gè)人能否將游戲廳中的燈全部關(guān)滅？請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【分析】首先根據(jù)題意，可得這2009個(gè)人觸動(dòng)開(kāi)關(guān)的總個(gè)數(shù)是：1+2+3+…+2009,再根

據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求出這2009個(gè)人觸動(dòng)開(kāi)關(guān)的總個(gè)數(shù)是多少；然后根據(jù)這2009

個(gè)人觸動(dòng)開(kāi)關(guān)的總個(gè)數(shù)如果是2009的偶數(shù)倍，則游戲廳中的燈全部是亮著的；如果這

2009個(gè)人觸動(dòng)開(kāi)關(guān)的總個(gè)數(shù)是2009的奇數(shù)倍，則游戲廳中的燈全部是關(guān)滅的，據(jù)此判斷

即可.

【解答】解：這2009個(gè)人觸動(dòng)開(kāi)關(guān)的總個(gè)數(shù)是：

1+2+3+—+2009

=（1+2009）×2009÷2

=2010×2009÷2

=1005X2009（個(gè)）

因?yàn)?005X2009是2009的奇數(shù)倍，而且游戲廳中的2009盞燈開(kāi)始時(shí)全是亮著的，

所以這2009個(gè)人能將游戲廳中的燈全部關(guān)滅.

答：這2009個(gè)人能將游戲廳中的燈全部關(guān)滅.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了奇偶性問(wèn)題的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：這2009個(gè)人觸

動(dòng)開(kāi)關(guān)的總個(gè)數(shù)如果是2009的偶數(shù)倍，則游戲廳中的燈全部是亮著的；如果這2009個(gè)

人觸動(dòng)開(kāi)關(guān)的總個(gè)數(shù)是2009的奇數(shù)倍，則游戲廳中的燈全部是關(guān)滅的.

18.1+2×3×4×5×6+7×8×9×10X11+12×13×14×15×16+???+497×498×499×500×

501是奇數(shù)還是偶數(shù)，為什么？

【分析】根據(jù)數(shù)的奇偶性可知，由于若干個(gè)奇數(shù)X若干個(gè)偶數(shù)=偶數(shù)，所以1+2X3X4

×5×6+7×8×9×10×ll+12×13×14×15×16+-+497×498×499×5OO×5O1=??+

偶數(shù)+偶數(shù)+…偶數(shù)，即在所有加數(shù)中的，只有一個(gè)是奇數(shù)，其它加數(shù)都是偶數(shù)，所以它

們的和只能是奇數(shù).

【解答】解：由于1+2X3X4X5X6+7X8X9X10X11+12X13X14X15X16+…+497義

498×499X500X501=奇數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)+…偶數(shù)，

即在所有加數(shù)中的，只有一個(gè)是奇數(shù)，其它加數(shù)都是偶數(shù)，所以它們的和只能是奇數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】明確若干個(gè)奇數(shù)義若干個(gè)偶數(shù)=偶數(shù)是完成本題的關(guān)鍵.

19.我國(guó)在使用公元紀(jì)年的同時(shí)，也一直沿用我國(guó)古代創(chuàng)立的干支紀(jì)年法，如甲午戰(zhàn)爭(zhēng)的甲

午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名稱(chēng).干支中的干是天干的簡(jiǎn)稱(chēng)，是指：甲乙丙丁戊

己庚辛壬癸；支是地支的簡(jiǎn)稱(chēng)，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.

在紀(jì)年時(shí)，干支同時(shí)分別從甲子開(kāi)始，不改變各自的順序，循環(huán)往復(fù)下去.一位叫“丁

寅”的同學(xué)想在“丁寅年”邀請(qǐng)同學(xué)聚會(huì)，他的愿望能實(shí)現(xiàn)嗎？若能實(shí)現(xiàn)，說(shuō)明是哪一

年？（2008年是“戊子年”）若不能實(shí)現(xiàn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】據(jù)題意可知，天干共10個(gè)，地支共12個(gè).天干和地支按順序組合形成年份，

因此可通過(guò)給天干和地支編號(hào)進(jìn)行組合分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出丁寅的愿望是否能夠?qū)崿F(xiàn).

【解答】解：若用Al,A2,A3…AlO表示10個(gè)天干，用Bl,82,…B12表示12個(gè)地

支，

則天干與地支的組合順序如下：AlBl,A2B2,A3B3,A4B4,-AlOBlO,AlBll,A2B?2,

A381,

由此可以發(fā)現(xiàn)，A和B的標(biāo)號(hào)總是奇偶交替出現(xiàn)，且每個(gè)組合中的標(biāo)號(hào)奇偶性相同，

因?yàn)槎?duì)應(yīng)A4,寅對(duì)應(yīng)B3,它們的標(biāo)號(hào)奇偶性不同，所以，兩者是不會(huì)組合到一塊，即

丁寅年是不存在的.

所以丁寅同學(xué)的愿望不能實(shí)現(xiàn).

【點(diǎn)評(píng)】完成本題主要根據(jù)給題中在要素進(jìn)行編號(hào)，借助數(shù)的奇偶性進(jìn)行分析解答的.

20.200到500之間的奇數(shù)，百位、十位和個(gè)位上的數(shù)字都不相同的有幾個(gè)？

【分析】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不同，且為奇數(shù)，所以，根據(jù)百位進(jìn)行分類(lèi)討論即可。

【解答】解：當(dāng)百位為2或4時(shí)，個(gè)位有5種選法，十位有8種選法，

共有2X5X8=80（個(gè)）

當(dāng)百位為3時(shí)，個(gè)位有4種選法，十位有8種選法，

共有4X8=32（個(gè)）

當(dāng)百位為5時(shí)一，沒(méi)有符合條件的數(shù)。

共有：80+32=112（個(gè)）

答：百位、十位和個(gè)位上的數(shù)字都不相同的有112個(gè)。

【點(diǎn)評(píng)】明確奇數(shù)的含義：自然數(shù)中，不是2的倍數(shù)的數(shù)，是奇數(shù)，是解答此題的關(guān)鍵.

21.你能從1、3、5、7、9、…、2007、2009這1005個(gè)自然數(shù)中選出9個(gè)，使它們的和等

于2008嗎？為什么?

【分析】由題意可知，1、3、5、7、9、…、2007,2009此數(shù)列中全是奇數(shù)，則從中選出

的9個(gè)數(shù)也一定是奇數(shù)，根據(jù)數(shù)和的奇偶性可知，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加的和仍然是奇數(shù)，2008

是偶數(shù)，所以不能使它們的和是2008.

【解答】解：由于中選出的9個(gè)數(shù)也一定是奇數(shù)，

奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加的和仍然是奇數(shù)，

2008是偶數(shù)，

所以不能使它們的和是2008.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生根據(jù)數(shù)和的奇偶性解決問(wèn)題的能力.

22.在棋盤(pán)中，如果兩個(gè)方格有公共點(diǎn)，就稱(chēng)為相鄰的.如圖中A有3個(gè)相鄰的方格，而8

有8個(gè)相鄰的方格.圖中每一個(gè)奇數(shù)表示與它相鄰的方格中偶數(shù)的個(gè)數(shù)（如3表示相鄰

的方格中有3個(gè)偶數(shù)），每個(gè)偶數(shù)表示與它相鄰的方格中奇數(shù)的個(gè)數(shù)（如4表示相鄰的方

格中有4個(gè)奇數(shù)）.請(qǐng)?jiān)谙旅娴?X4的棋盤(pán)中填數(shù)（至少有一個(gè)奇數(shù)），滿(mǎn)足上面的要求.

【分析】首先確定中間四個(gè)位置的數(shù)據(jù)全為4,由此可以確定與它相鄰的方格中奇數(shù)的個(gè)

數(shù)為4個(gè)，則偶數(shù)的個(gè)數(shù)也是4個(gè)，而在頂角的數(shù)字為一個(gè)偶數(shù)2,其余兩個(gè)只能為奇數(shù)

才能符合要求，得出第一種結(jié)論；同理首先確定中間四個(gè)位置的數(shù)據(jù)全為3得出另一種

【點(diǎn)評(píng)】解決此題注意奇數(shù)周?chē)紨?shù)的個(gè)數(shù)，偶數(shù)周?chē)鏀?shù)的個(gè)數(shù).

23.將1,3,5,7,9填入等號(hào)左邊的5個(gè)方框中，2,4,6,8填入等號(hào)右邊的4個(gè)方框

中，使等式成立，且等號(hào)兩邊的計(jì)算結(jié)果都是自然數(shù)，這個(gè)結(jié)果最小為51.

π÷π+π+ππ=π÷π+ππ

【分析】1,3,5,7,9全為奇數(shù)，根據(jù)數(shù)的奇偶性可知，則奇數(shù)米奇數(shù)為奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)

奇數(shù)相加為奇數(shù)，左邊的值必然為奇數(shù)；所以右邊的結(jié)果也為奇數(shù)，而右邊□口必為偶

數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，所則口÷□只能為奇數(shù)，故只能是6÷2,又要求結(jié)果最小，所

以可得9÷l+5+37=6÷2+48=51.

【解答】解：由奇偶性可以知道，左邊必然為奇數(shù)，

所以右邊的結(jié)果也為奇數(shù)，而右邊□口必為偶數(shù)，

故右邊的□÷口中只能是6÷2,又要求結(jié)果最小，

所以可以得到：9÷l+5+37=6÷2+48=51.

故答案為：51.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了學(xué)生根據(jù)數(shù)的奇偶性解決問(wèn)題的能力.

24.如圖所示，在三個(gè)圓圈中各填入一個(gè)自然數(shù)，使每條線(xiàn)段兩端的兩個(gè)數(shù)之和均為奇數(shù).請(qǐng)

問(wèn)這樣的填法存在嗎？如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如存在，請(qǐng)寫(xiě)出一種填法.

【分析】根據(jù)數(shù)和的奇偶性可知：奇數(shù)+(-)奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+(-)偶數(shù)=偶數(shù)，

奇數(shù)+(-)偶數(shù)=奇數(shù).設(shè)所填的分別數(shù)為a、b、c,如這種填法存在的話(huà)，則有：a+b

=奇數(shù).α+c=奇數(shù)，

8+c=奇數(shù).那么(a+?)+(.a+c)+(b+c)—2(α+?+c),(a+b)+(a+C)+(?+c)為

奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)；

2(α+6+c)為偶數(shù)，偶效W奇數(shù),所以不存在這樣的填法.

【解答】解：不存在這種填法，理由為：

設(shè)所填的數(shù)分別是α,4c,如圖所示.

假設(shè)“+/?=奇數(shù)，α+C=奇數(shù)，6+c=奇數(shù)；

三式相加：Ca+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c),

左邊=2(a+t>+c),是偶數(shù)，

右邊=三個(gè)奇數(shù)相加，是奇數(shù)，

而偶效金奇數(shù),

所以不存在這樣的填法.

【點(diǎn)評(píng)】本題要在了解數(shù)和的奇偶性的基礎(chǔ)上完成.

25.能將1,2,3,4,5,6,7,8,9填在3X3的方格表中（如圖），使得橫向與豎向任意

相鄰兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)給出一種填法：如果不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由.

ESH

0

HS

【分析】由于1,3,5,7,9中任意兩個(gè)奇數(shù)的和都是合數(shù)，所以1,3,5,7,9只能

填在表的四角和中心，而偶數(shù)2,4,6,8填在★處，中間所填的奇數(shù)要與2,4,6,8

橫向或豎向相鄰，即中間所填的奇數(shù)與2,4,6,8之和都要是質(zhì)數(shù)；再根據(jù)1+8=9是

合數(shù)，3+6=9,5+4=9,7+2=9,9+6=15,都是合數(shù)得出矛盾，從而得解.

【解答】解：奇數(shù)1,3,5,7,9中任兩個(gè)之和都大于2的偶數(shù)，因而是合數(shù)，所以在

填入3X3的表格時(shí)它們中任兩個(gè)橫向、豎向都不能相鄰.如果滿(mǎn)足題設(shè)條件的3X3表

格的填法存在，那么奇數(shù)1,3,5,7,9只能填在表的四角和中心，而偶數(shù)2,4,6,8

填在★處，于是中間所填的奇數(shù)要與2,4,6,8橫向或豎向相鄰，即中間所填的奇數(shù)與

2,4,6,8之和都要是質(zhì)數(shù).然而，這是不可能的，原因是：

1+8=9是合數(shù)，3+6=9是合數(shù)，5+4=9是合數(shù)，7+2=9是合數(shù)，9+6=15是合數(shù)，

所以在3X3表格中滿(mǎn)足題設(shè)要求的填法是不存在的.

【點(diǎn)評(píng)】先根據(jù)兩個(gè)不同時(shí)是1的奇數(shù)相加的和是大于2偶數(shù)，也是合數(shù)，找出奇數(shù)和

偶數(shù)在圖中的位置，再找出中間所填數(shù)與周?chē)紨?shù)的和都必須是質(zhì)數(shù)，從而得出矛盾進(jìn)

行求解.

26.將1999表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和：1999=口+口，在口中填入質(zhì)數(shù).共有多少種表示法？

【分析】利用奇數(shù)的性質(zhì)：奇數(shù)=奇數(shù)+偶數(shù)，和質(zhì)數(shù)的意義填空推斷即可.

【解答】解：因?yàn)閮蓚€(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)，所以將1999表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)

中必有一個(gè)是偶數(shù)，

因而也就是2,另一個(gè)是1999-2=1997即1999=2+1997,只有一種填法（我們將2+1997

與1997+2作為同一種）.

所以共有--種表示法.

【點(diǎn)評(píng)】解答注意特殊的質(zhì)數(shù)2,也是偶數(shù).

27.小地球儀上赤道大圓與過(guò)南北極的某大圓相交于4、8兩點(diǎn).有黑、白二蟻從A點(diǎn)同時(shí)

出發(fā)分別沿著這兩個(gè)大圓爬行.黑蟻爬赤道大圓一周要10秒鐘，白蟻爬過(guò)南北極的大圓

一周要8秒鐘.問(wèn)：在10分鐘內(nèi)黑、白二蟻在B