【2023小升初】奇偶數(shù)問題（思維提高）-小升初數(shù)學(xué)思維拓展卷（通用版）

奇偶數(shù)問題

解答題(共30小題)

1.48、C三個同學(xué)爬香山，邊爬邊數(shù)臺階。爬了一會兒，三人拉開了距離。A爬得最快，

B次之，C最慢。C發(fā)微信問A、B當(dāng)前的位置，A說自己當(dāng)前爬過的臺階比剩余的臺階

多了37級，B說自己當(dāng)前爬過臺階比剩余的臺階少4級。C馬上說A、8中至少有一個

數(shù)錯了。已知C正確地計(jì)算出自己當(dāng)且爬過的臺階比剩余的臺階少34階。問：C能肯定

A、B中誰一定數(shù)錯了？請說明理由。

2.將自然數(shù)1,2,3,4,…，2020按照奇數(shù)、偶數(shù)分成兩組，分別計(jì)算這兩組數(shù)中的所有

數(shù)字的總和，哪組數(shù)的數(shù)字總和更大？大的比小的大多少？

3.如圖是某一個淺湖泊的平面圖，圖中曲線都是湖岸.

(1)若P點(diǎn)在岸上，則A點(diǎn)在岸上還是水中？

(2)某人過這湖泊，他下水時脫鞋，上岸時穿鞋.若有一點(diǎn)B,他脫鞋的次數(shù)與穿鞋的

次數(shù)和是奇數(shù)，那么B點(diǎn)在岸上還是水中？說明理由.

4.在黑板上寫出3個整數(shù)分別是1,3,5,然后擦去一個換成其它兩數(shù)之和，這樣操作下

去,最后能否得到57,64,108?為什么?

5.甲、乙兩個哲人將正整數(shù)5至11分別寫在7張卡片上.他們將卡片背面朝上，任意混合

之后，甲取走三張，乙取走兩張.剩下的兩張卡片?，他們誰也沒看，就放到袋子里去了.甲

認(rèn)真研究了自己手里的三張卡片后對乙說:“我知道你的兩張卡片上的數(shù)的和是偶數(shù)”.試

問：甲的三張卡片上寫了哪些數(shù)？答案是否唯一.請說明理由.

6.從IOO1,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009中任意選出四個數(shù)，使它

們的和為偶數(shù)，則共有多少種不同的選法.

7.能否從0、1、2、…、13、14這15個數(shù)中選出10個不同的數(shù)，填入圓圈中，使每兩個

用線相連的圓圈中的數(shù)所成的差(大減小)各不相同？如能，給出一種填法；如不能，

請說明理由.

8.我們都學(xué)過“貓吃老鼠”的問題:

(/)如果按照吃一個、留一個的順序，那么當(dāng)老鼠排成一直線時，最后留下的是其中最

大的形如2"的數(shù).

(1)請問：現(xiàn)在有30只老鼠排成一直線，按照吃2個、留1個的順序，最后留下哪一

只？

(2)如果有100只老鼠呢？

(3)你能得出什么結(jié)論嗎？

(II)如果仍然吃一個、留一個，而老鼠排成圓周，那么我們知道，如果老鼠的數(shù)量恰

為2時，留下的老鼠就是最后一只，如果老鼠的數(shù)量不是2,那么我們先吃掉一部分，將

剩余數(shù)量變?yōu)?,那么此時的最后一只就是最后留下來的一只.

例如，如果50只老鼠圍成一圈，那么我們先把數(shù)量變?yōu)?2只，先吃掉50-32=18只，

分別是1、3、5、，,,,、35只，現(xiàn)在只剩32老鼠，新的第一只是第37號老鼠，最后一只

是第36號老鼠，于是，剩下的老鼠是第36號.

請問：如果有101只老鼠圍成一圈，按照吃2個、留一個的順序，最后留下哪一只？為

什么？

9.大雄家所在街道的每棟房子都有一個門牌號碼，街道的一側(cè)編號為奇數(shù)，另一側(cè)編號為

偶數(shù).編號的方式為：假設(shè)大雄家是占地一個單位面積的房子且編號為1號，他的隔壁

是占地兩個單位面積的房子，編為3號，接下來的兩棟都是占地一個單位面積的房子則

分別編為7號、9號，如圖：

Ill3∣7∣9∣I

在大雄家所在這一側(cè)有四分之一的房子是占地兩個單位面積的房子.大雄的好友小安住

在這條街道的最后一棟房子，他的家占地兩個單位面積，門牌號碼為187.請問大雄家所

在的這一側(cè)共有多少棟房子？

10.能否用540個圖所示的1X2的小長方形拼成一個6X180的大長方形，使得6X180的

長方形的每一行、每一列都有奇數(shù)個星？請說明理由.

11.如圖，甲、乙、丙三個大小相同的杯子在桌面上一次排列，其中甲杯中盛滿水，乙和丙

是空杯.現(xiàn)把水全部倒入相鄰(左或右)的空杯中，那么，經(jīng)過55次倒水后，有水的是

杯.

甲乙丙

12.能否用500個如圖所示的1X2的小長方形形成一個5×200的大長方形，使得5X200

的長方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個星？請說明理由.

13.黑板上有多個5和7.現(xiàn)在進(jìn)行如下操作：將黑板上任意兩個數(shù)的和寫在黑板上，問經(jīng)

過若干次操作后，黑板上能否出現(xiàn)23?

14.設(shè)某年中有一個月里有三個星期日的日期為奇數(shù)，則這個月的21日可能是星期幾？

15.如圖，從0點(diǎn)起每隔3米種一棵樹.如果把3塊“愛護(hù)樹木”的小木牌分別掛在3棵樹

上，那么不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹之間的距離是偶數(shù)（以米為單位）.試說明理由.

03691215182124

16.有8盞燈，從1到8編號，開始時3、6、7編號的燈是亮的.如果一個小朋友按從1

到8,再從1到8,…的順序拉開關(guān)，一共拉動500次，問此時哪幾個編號的燈是亮的？

17.2009年元旦游園活動中，有一個游戲廳中亮著2009盞燈（每盞燈配一個開關(guān)，每觸動

一次開關(guān)，滅或由滅變亮），現(xiàn)在2009個人參加一個游戲活動：規(guī)定第一個人只能觸動1

個開關(guān)；第二個人只能觸動2個開關(guān)，第3個人只能觸動3個開關(guān)…第2009個人只能動

2009個開關(guān).問：照此游戲規(guī)則，這2009個人能否將游戲廳中的燈全部關(guān)滅？請說明理

由.

18.l+2×3×4×5×6+7×8×9×10×ll+12×13×14×15×16+—+497×498×499×500×

501是奇數(shù)還是偶數(shù)，為什么？

19.我國在使用公元紀(jì)年的同時，也一直沿用我國古代創(chuàng)立的干支紀(jì)年法，如甲午戰(zhàn)爭的甲

午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名稱.干支中的干是天干的簡稱，是指：甲乙丙丁戊

己庚辛壬癸；支是地支的簡稱，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.

在紀(jì)年時，干支同時分別從甲子開始，不改變各自的順序，循環(huán)往復(fù)下去.一位叫“丁

寅”的同學(xué)想在“丁寅年”邀請同學(xué)聚會，他的愿望能實(shí)現(xiàn)嗎？若能實(shí)現(xiàn)，說明是IW一

年？（2008年是“戊子年”）若不能實(shí)現(xiàn)，請說明理由.

20.200至U500之間的奇數(shù)，百位、十位和個位上的數(shù)字都不相同的有幾個？

21.你能從1、3、5、7、9、…、2007、2009這1005個自然數(shù)中選出9個，使它們的和等

于2008嗎?為什么?

22.在棋盤中，如果兩個方格有公共點(diǎn)，就稱為相鄰的.如圖中A有3個相鄰的方格，而B

有8個相鄰的方格.圖中每一個奇數(shù)表示與它相鄰的方格中偶數(shù)的個數(shù)（如3表示相鄰

的方格中有3個偶數(shù)），每個偶數(shù)表示與它相鄰的方格中奇數(shù)的個數(shù)（如4表示相鄰的方

格中有4個奇數(shù)）.請?jiān)谙旅娴?×4的棋盤中填數(shù)（至少有一個奇數(shù)），滿足上面的要求.

23.將1,3,5,7,9填入等號左邊的5個方框中，2,4,6,8填入等號右邊的4個方框

中，使等式成立，且等號兩邊的計(jì)算結(jié)果都是自然數(shù)，這個結(jié)果最小為.

π÷π+π+ππ=π÷π+ππ

24.如圖所示，在三個圓圈中各填入一個自然數(shù)，使每條線段兩端的兩個數(shù)之和均為奇數(shù).請

問這樣的填法存在嗎？如不存在，請說明理由；如存在，請寫出一種填法.

25.能將1,2,3,4,5,6,7,8,9填在3X3的方格表中（如圖），使得橫向與豎向任意

相鄰兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)嗎？如果能，請給出一種填法：如果不能，請你說明理由.

26,將1999表示為兩個質(zhì)數(shù)之和：1999=口+口，在口中填入質(zhì)數(shù).共有多少種表示法？

27,小地球儀上赤道大圓與過南北極的某大圓相交于4、B兩點(diǎn).有黑、白二蟻從A點(diǎn)同時

出發(fā)分別沿著這兩個大圓爬行.黑蟻爬赤道大圓一周要10秒鐘，白蟻爬過南北極的大圓

一周要8秒鐘.問：在10分鐘內(nèi)黑、白二蟻在B點(diǎn)相遇幾次？為什么？

28.27名小運(yùn)動員穿運(yùn)動服的號碼是1,2,3,…27這27個自然數(shù).問這些小運(yùn)動員能否

站才一個圓圈，使得任意相鄰兩個運(yùn)動員號碼數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)？說明理由.

29.現(xiàn)有11塊鐵，每塊的重量都是整數(shù)，任取其中10塊，都可以分成重量都等的兩組，每

組有5塊鐵，試說明：這11塊鐵每塊的重量都相等.

30.有30個貳分硬幣和8個伍分硬幣，用這些硬幣不能構(gòu)成1分到1元之間的幣值有多少

種？

奇偶數(shù)問題

參考答案與試題解析

一.解答題（共30小題）

1.A、8、C三個同學(xué)爬香山，邊爬邊數(shù)臺階。爬了一會兒，三人拉開了距離。A爬得最快，

B次之，C最慢。C發(fā)微信問4、8當(dāng)前的位置，4說自己當(dāng)前爬過的臺階比剩余的臺階

多了37級，B說自己當(dāng)前爬過臺階比剩余的臺階少4級。C馬上說A、2中至少有一個

數(shù)錯了。已知C正確地計(jì)算出自己當(dāng)且爬過的臺階比剩余的臺階少34階。問：C能肯定

A、8中誰一定數(shù)錯了？請說明理由。

【分析】本題根據(jù)奇偶性進(jìn)行判斷，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=

奇數(shù)。因?yàn)镃的計(jì)算是正確的，則總臺階數(shù)一定為偶數(shù)，從而可判斷A的說法錯誤。

【解答】解：C爬過的臺階比剩余的臺階少34階，所以總臺階數(shù)為：2XC剩余的臺階

數(shù)-34,

即總臺階數(shù)一定為偶數(shù)，

由奇偶性進(jìn)行判斷，

可得：每個人爬過的臺階數(shù)與剩余的臺階數(shù)之差一定為偶數(shù)，

所以A的說法是錯誤的。

答：C能肯定A數(shù)錯了，因?yàn)锳當(dāng)前爬過的臺階比剩余的臺階多了37級是奇數(shù)，而實(shí)際

上多的一定為偶數(shù)。

【點(diǎn)評】本題考查奇偶性的判斷，是比較簡單的題型。

2.將自然數(shù)1,2,3,4,2020按照奇數(shù)、偶數(shù)分成兩組，分別計(jì)算這兩組數(shù)中的所有

數(shù)字的總和，哪組數(shù)的數(shù)字總和更大？大的比小的大多少？

【分析】本題先按照奇數(shù)組和偶數(shù)組對數(shù)列進(jìn)行分組，然后用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求

解，再比較大小。

【解答】解：自然數(shù)1,2,3,4,2020按照奇數(shù)、偶數(shù)分成兩組，

則奇數(shù)組為：1,3,5,7,2019,共IoIO項(xiàng)，

偶數(shù)組為：2,4,6,8,…，2020,共IolO項(xiàng)，

奇數(shù)組的和為：（l+2019）2x1010=1020100,

偶數(shù)組的和為：（2+2020）2XIOio=1021no,

顯然，偶數(shù)組數(shù)字總和更大，

大的比小的多：1021110-1020100=IOlOo

【點(diǎn)評】本題考查奇偶數(shù)及等差數(shù)列的求和公式：s=（首項(xiàng)）+末項(xiàng)2x項(xiàng)數(shù)=項(xiàng)數(shù)

X首項(xiàng)+項(xiàng)數(shù)義（項(xiàng)數(shù)-1）2X公差，兩個公式可以相互轉(zhuǎn)化。

3.如圖是某一個淺湖泊的平面圖，圖中曲線都是湖岸.

(1)若P點(diǎn)在岸上，則A點(diǎn)在岸上還是水中？

(2)某人過這湖泊，他下水時脫鞋，上岸時穿鞋.若有一點(diǎn)8,他脫鞋的次數(shù)與穿鞋的

次數(shù)和是奇數(shù)，那么B點(diǎn)在岸上還是水中？說明理由.

【分析】(1)本題可據(jù)數(shù)的奇偶性進(jìn)行分析，如圖從P點(diǎn)到A點(diǎn)的空白處標(biāo)上數(shù)字可發(fā)

現(xiàn)，奇數(shù)都處于岸上，偶數(shù)都處于水中，A點(diǎn)為6,是偶數(shù)，所以A點(diǎn)處于水中.

(2)某人進(jìn)入水中時脫鞋，上岸時穿鞋，從每從水中到岸上，脫鞋與穿鞋次數(shù)和為2,

即脫鞋與穿鞋次數(shù)相加為偶數(shù)時，某人一定在岸上，脫鞋與穿鞋次數(shù)相加為奇數(shù)時，某

人一定在水中，在B點(diǎn)他脫鞋的次數(shù)與穿鞋的次數(shù)和是奇數(shù)，所以8點(diǎn)一定在水中.

【解答】解：(1)如圖，由于點(diǎn)P處于岸上且為1,所以奇數(shù)都處于岸上，偶數(shù)都處于

水中，A點(diǎn)為6,是偶數(shù)，所以A點(diǎn)處于水中.

答：A點(diǎn)處于水中.

(2)由于從進(jìn)入水中再到岸上，脫鞋與穿鞋次數(shù)和為2,

即脫鞋與穿鞋次數(shù)相加為偶數(shù)時，某人一定在岸上；

脫鞋與穿鞋次數(shù)相加為奇數(shù)時，某人一定在水中；

在B點(diǎn)他脫鞋的次數(shù)與穿鞋的次數(shù)和是奇數(shù)，

所以B點(diǎn)一定在水中.

答：B點(diǎn)一定在水中.

【點(diǎn)評】本題主要考查了通過數(shù)的奇偶性判斷位置的能力.

4.在黑板上寫出3個整數(shù)分別是1,3,5,然后擦去一個換成其它兩數(shù)之和，這樣操作下

去，最后能否得到57,64,108?為什么？

【分析】由于一開始是1、3、5,這三個均是奇數(shù)，擦去任意一個，改為剩下兩個奇數(shù)之

和應(yīng)是偶數(shù)，這樣三個數(shù)是兩個奇數(shù)一個偶數(shù)，以后如果擦掉是偶數(shù)，換上的是偶數(shù)，

擦去一個奇數(shù)，換上的必是奇數(shù)，因而永遠(yuǎn)是兩個奇數(shù)一個偶數(shù)，但是57、64、108是

一個奇數(shù)兩個偶數(shù)，所以無論如何無法得到這三個數(shù).

【解答】解：由分析可知：如果擦掉是偶數(shù)，換上的是偶數(shù)，擦去一個奇數(shù)，換上的必

是奇數(shù)，因而永遠(yuǎn)是兩個奇數(shù)一個偶數(shù)；

所以不能；

答：最后不能得到57,64,108這三個數(shù).

【點(diǎn)評】此題應(yīng)根據(jù)數(shù)的奇偶性特點(diǎn)進(jìn)行分析、探究，進(jìn)而得出問題結(jié)論.

5.甲、乙兩個哲人將正整數(shù)5至11分別寫在7張卡片上.他們將卡片背面朝上，任意混合

之后，甲取走三張，乙取走兩張.剩下的兩張卡片，他們誰也沒看，就放到袋子里去了.甲

認(rèn)真研究了自己手里的三張卡片后對乙說:“我知道你的兩張卡片上的數(shù)的和是偶數(shù)”.試

問：甲的三張卡片上寫了哪些數(shù)？答案是否唯一.請說明理由.

【分析】由題意，這4張卡片上所寫的數(shù)的奇偶性相同，亦即或者都是偶數(shù)，或者都是

奇數(shù).由于一共只有3張卡片上寫的是偶數(shù)，所以它們不可能都是偶數(shù)，從而只能都是

奇數(shù)，可得3張寫著偶數(shù)的卡片全都落入甲的手中.

【解答】解：甲手中的3張卡片上分別寫了6,8和10.

甲知道其余4張卡片上分別寫了哪些數(shù)，但不知道它們之中的哪兩張落到了乙的手中.

因此，只有在它們之中任何兩張卡片上的數(shù)的和都是偶數(shù)時，甲才能說出自己的斷言.

而這就意味著，這4張卡片上所寫的數(shù)的奇偶性相同，亦即或者都是偶數(shù)，或者都是奇

數(shù).

但是由于一共只有3張卡片上寫的是偶數(shù)，所以它們不可能都是偶數(shù)，從而只能都是奇

數(shù).

于是3張寫著偶數(shù)的卡片全都落入甲的手中.答案是唯一的.

【點(diǎn)評】本題考查奇偶性問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

6.從IoOI,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009中任意選出四個數(shù)，使它

們的和為偶數(shù)，則共有多少種不同的選法.

【分析】首先分析如果結(jié)果是偶數(shù)可以分為0,2,4個奇數(shù)，把每一種結(jié)果加起來即可.

【解答】解：依題意可知：

根據(jù)四個數(shù)的結(jié)果是偶數(shù).那么必定是0個奇數(shù)，2個奇數(shù)或者是4個奇數(shù).

在IoOl,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009奇數(shù)的個數(shù)為5個，偶數(shù)

的個數(shù)為4個.

當(dāng)。個奇數(shù)時有一種情況.

當(dāng)是2個奇數(shù)2個偶數(shù)時是C52C42=60種.

當(dāng)選擇4個奇數(shù)時有5種.

60+5+1=66(種)

答：共有66種選擇方法.

【點(diǎn)評】本題考查對奇偶性的理解和綜合運(yùn)用，同時關(guān)鍵是分類中的排列組合.問題解

決.

7.能否從0、1、2、…、13、14這15個數(shù)中選出10個不同的數(shù)，填入圓圈中，使每兩個

用線相連的圓圈中的數(shù)所成的差(大減小)各不相同？如能，給出一種填法；如不能，

請說明理由.

【分析】首先分析15個數(shù)字構(gòu)成14個差而且不同那么差一定是1到14各一個數(shù)字.可

根據(jù)奇數(shù)偶數(shù)性質(zhì)來判斷即可.

【解答】解：依題意可知：

圖中共有14個差的和S=1+2+3+4+5+6+…+14=105是一個奇數(shù).

另一方面每個圓圈與偶數(shù)個圓相連，設(shè)填入的數(shù)字是。，那么“在S中出現(xiàn)偶數(shù)次，偶數(shù)

個“相加或相減結(jié)果為偶數(shù)，因此S是10個偶數(shù)的和，是偶數(shù).

所以S即是奇數(shù)又是偶數(shù)矛盾.

綜上所述：不存在.

【點(diǎn)評】本題是考察對奇偶性的理解和綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是找出分析兩次結(jié)果的對比的矛

盾一次是奇數(shù)一次是偶數(shù)矛盾.問題解決.

8.我們都學(xué)過“貓吃老鼠”的問題：

(/)如果按照吃一個、留一個的順序，那么當(dāng)老鼠排成一直線時，最后留下的是其中最

大的形如2/7的數(shù).

(1)請問：現(xiàn)在有30只老鼠排成一直線，按照吃2個、留1個的順序，最后留下哪一

只？

(2)如果有100只老鼠呢？

(3)你能得出什么結(jié)論嗎？

(II)如果仍然吃一個、留一個，而老鼠排成圓周，那么我們知道，如果老鼠的數(shù)量恰

為2時，留下的老鼠就是最后一只，如果老鼠的數(shù)量不是2,那么我們先吃掉一部分，將

剩余數(shù)量變?yōu)?,那么此時的最后一只就是最后留下來的一只.

例如，如果50只老鼠圍成一圈，那么我們先把數(shù)量變?yōu)?2只，先吃掉50-32=18只，

分別是1、3、5、，,,,、35只，現(xiàn)在只剩32老鼠，新的第一只是第37號老鼠，最后一只

是第36號老鼠，于是，剩下的老鼠是第36號.

請問：如果有IOl只老鼠圍成一圈，按照吃2個、留一個的順序，最后留下哪一只？為

什么？

【分析】(/)如果按照吃一個、留一個的順序，即吃1,留2,吃3,留4,….即留下

的都是2的倍數(shù)，中可知一圈后留下的人是2的倍數(shù)的號；兩圈后留下的人分別是4的

倍數(shù)的號；三圈后留下的人是8的倍數(shù)的號；四圈后留下的人是16的倍數(shù)的號，…即只

有所以最后下的是開如2”的數(shù).

(1)按照吃2個、留1個的順序，即吃1、2,留3,吃4、5,留6,….在嘗試中觀察，

探索規(guī)律，即最后留下的是最大的形如3"的數(shù).1-30中，則留下的是27號.

(2)如果有100只老鼠，如果按照吃一個、留一個的順序，則最后剩下的是第64號老

鼠，按照吃2個、留1個的順序，則最后留下的是81號老鼠.

(3)由此可發(fā)現(xiàn)，第一次留下的是N號老鼠，則最后留下的即是這些數(shù)中的形如"的

數(shù).

(II)根據(jù)以上規(guī)律完成即可.

【解答】解：(1)按照吃2個、留1個的順序，即吃1、2,留3,吃4、5,留6,….即

3X1、3X2、3X3、3X4、3X5、3×6???,在嘗試中觀察，探索規(guī)律，最后留下的是最

大的形如3"的數(shù).

1-30中，則留下的是27號.

(2)由I可知，按照吃一個、留一個的順序，那么當(dāng)老鼠排成一直線時，最后留下的是

其中最大的形如2n的數(shù)，1-100中，最大最大的形如2n的數(shù)是64,則留下的是64號.

(3)由此可發(fā)現(xiàn)，第一次留下的是N號老鼠，則最后留下的即是這些數(shù)中的形如M的

數(shù).

(II)如果有101只老鼠圍成一圈，按照吃2個、留一個的順序，則留下的是其中最大

形如3”的數(shù).

I-IOI中，最大形如3”的數(shù)是81,則最后留下是81號.

【點(diǎn)評】本題考查了學(xué)生總結(jié)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律解決問題的能力.

9.大雄家所在街道的每棟房子都有一個門牌號碼，街道的一側(cè)編號為奇數(shù)，另一側(cè)編號為

偶數(shù).編號的方式為：假設(shè)大雄家是占地一個單位面積的房子且編號為1號，他的隔壁

是占地兩個單位面積的房子，編為3號，接下來的兩棟都是占地一個單位面積的房子則

分別編為7號、9號，如圖：

1I3∣7∣9∣

在大雄家所在這一側(cè)有四分之一的房子是占地兩個單位面積的房子.大雄的好友小安住

在這條街道的最后一棟房子，他的家占地兩個單位面積，門牌號碼為187.請問大雄家所

在的這一側(cè)共有多少棟房子？

【分析】在編號1、3、7、9中發(fā)現(xiàn)：因?yàn)?號占有2個單位面積，所以3號實(shí)際包含了

3和5兩個奇數(shù)；又有四分之一的房子是占地兩個單位面積的房子；所以每5個連續(xù)的奇

數(shù)中，就會

有1個編號占2個面積單位，編號時就只遍4個號，也就是參與編碼的奇數(shù)和沒有參加

編碼的奇數(shù)的比是4：1；最后一棟房子門牌號碼為187,所以一共有奇數(shù)(包括未編碼

的奇數(shù))就是(188+1)÷2=94(個)，最后一個編碼占兩個單位面積，所以一共就有

94+1=95個面積單位；把95按照4：1進(jìn)行分配即可求出占有2個面積單位的房子有多

少棟，進(jìn)而求出房子的總數(shù).

【解答】解：如果一個面積單位對應(yīng)一個編號，那么每4個編號中就會多出一個編號；

也就是參與編碼的奇數(shù)和沒有參加編碼的奇數(shù)的比是4：1：

(187+1)÷2+l

=94+1

=95

95÷(4+1)

=95÷5

=19；

19×4=76(棟)

答：大雄家所在的這一側(cè)共有76棟房子.

【點(diǎn)評】根據(jù)給出的1、3、7,9這幾個編碼的特點(diǎn)，找出規(guī)律，再利用規(guī)律求解.

10.能否用540個圖所示的1X2的小長方形拼成一個6X180的大長方形，使得6X180的

長方形的每一行、每一列都有奇數(shù)個星？請說明理由.

Ψ

【分析】540個這樣的小長方形就有540個小星星：540是偶數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；

也就是說偶數(shù)可以分成偶數(shù)個奇數(shù)的和；由此求解.

【解答】解：540個這樣的小長方形就有540個小星星；

540可以分成6個奇數(shù)的和；也可以分成180個奇數(shù)的和，所以每一行或者每一列都可以

是奇數(shù)個星；

如：前五行各有89個，第六行有95個；每列都是3個.

所以540個1X2能使得6×180的長方形的每一行、每一列都有奇數(shù)個星.

【點(diǎn)評】本題根據(jù)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，這一規(guī)律進(jìn)行求解.

11.如圖，甲、乙、丙三個大小相同的杯子在桌面上一次排列，其中甲杯中盛滿水，乙和丙

是空杯.現(xiàn)把水全部倒入相鄰（左或右）的空杯中，那么，經(jīng)過55次倒水后，有水的是

乙_杯.

甲乙丙

【分析】由于乙處于中間，根據(jù)操作規(guī)則，甲杯中盛滿水，乙和丙是空杯.現(xiàn)把水全部

倒入相鄰（左或右）的空杯中，第一次：倒入乙中；此時水在乙中，如向左則第二次倒

入甲中，第三次再倒入乙中；（第二次入向右則坐倒入丙中，第三次只能倒入乙中）如此

循環(huán)，由此可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)谄鏀?shù)次倒入時，總是倒入乙中.55是奇數(shù)，因此，經(jīng)過55

次倒水，有水的是乙杯.

【解答】解：由于乙處在中間，

根據(jù)操作規(guī)則可知，

當(dāng)?shù)谄鏀?shù)次倒入時，總是倒入乙中.

55是奇數(shù)，因此，經(jīng)過55次倒水，有水的是乙杯.

故答案為：乙.

【點(diǎn)評】通過操作，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是完成本題的關(guān)鍵.

12.能否用500個如圖所示的1X2的小長方形形成一個5X200的大長方形，使得5X200

的長方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個星？請說明理由.

【分析】500個小長方形就有500個小星星，500個星星平均分成5行，每行就有100個，

是偶數(shù)；500÷200=2（個）…100（個）；再把余下的100個平均分給50歹∣J,每列分2

個，這50列每列就是2+2=4（個），剩下的150列每列是2個，都是偶數(shù)，由此可解.

【解答】解：可以使5X200的長方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個星，因?yàn)椋?/p>

500個小長方形就有500個小星星，

5OO÷5=1OO（個）,

每行100個是偶數(shù)；

500÷200=2（個）-100（個）；

再把余下的100個平均分給50歹∣J,每列分2個，這50列每列就是2+2=4（個），剩下

的150列每列是2個，都是偶數(shù)；

所以可以使5X200的長方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個星.

【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵是把按列分配時余下的小星星正確的分配，使每列都是偶數(shù)個.

13.黑板上有多個5和7.現(xiàn)在進(jìn)行如下操作：將黑板上任意兩個數(shù)的和寫在黑板上，問經(jīng)

過若干次操作后，黑板上能否出現(xiàn)23?

【分析】黑板上有多個5和7,將黑板上任意兩個數(shù)的和寫在黑板上，根據(jù)其操作規(guī)則可

知，每次操作后的結(jié)果應(yīng)是干個5與若干個7的和，5+7=12,12+5=17,17+5=22,12+7

=19,19+5=24,即無論怎么操作都不會出現(xiàn)23.

【解答】解：因?yàn)槊看魏诎迳铣霈F(xiàn)的數(shù)都應(yīng)該可以是若干個5與若干個7的和，

而23不是，所以不能出現(xiàn).

【點(diǎn)評】由于本題中23數(shù)值較小，因此通過試算就能得出結(jié)果.

14.設(shè)某年中有一個月里有三個星期日的日期為奇數(shù)，則這個月的21日可能是星期幾？

【分析】設(shè)這個月的第一個星期日是。日（IWaW7）,則這個月內(nèi)星期日的日期是7A+α,

k是整數(shù)，7Hα≤31.要求有三個奇數(shù).然后分當(dāng)α=l時，當(dāng)“=2時，當(dāng)α=3時，4

WαW7時，進(jìn)行討論，作出解答.

【解答】解：設(shè)這個月的第一個星期日是。日（I≤a≤7）,則這個月內(nèi)星期日的日期是

7k+a,k是整數(shù)，7H<J≤31.

當(dāng)α=l時，要使7k+l是奇數(shù)，k為偶數(shù)，即k可取0,2,4三個值，此時，7k+α=7k+l,

分別為1,15,29,這時21號是星期六.

當(dāng)α=2時，要使然+2是奇數(shù)，k為奇數(shù)，即k可取1,3兩個值，7A+2不可能有三個

奇數(shù).

當(dāng)α=3時，要使7&+3是奇數(shù)，k為偶數(shù)，即k可取0,2,4三個值，此時1k+a=7k+3,

分別為3,17,31,這時21號是星期四.

當(dāng)4≤α≤7B寸，7%+“不可能有三個奇數(shù).

故答案為：4或6.

【點(diǎn)評】此題分情況進(jìn)行討論，根據(jù)數(shù)的奇偶性，解答即可.

15.如圖，從0點(diǎn)起每隔3米種一棵樹.如果把3塊“愛護(hù)樹木”的小木牌分別掛在3棵樹

上，那么不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹之間的距離是偶數(shù)（以米為單位）.試說明理由.

03691215182124

【分析】相距最遠(yuǎn)的兩塊木牌的距離，等于它們分別與中間一塊木牌的距離之和.如果

三塊木牌間兩兩距離都是奇數(shù)，就會出現(xiàn)“奇+奇=奇”，這顯然不成立，所以必有兩塊

木牌的距離是偶數(shù).

【解答】解：相距最遠(yuǎn)的兩塊木牌的距離，等于它們分別與中間一塊木牌的距離之和.如

果三塊木牌間兩兩距離都是奇數(shù)，就會出現(xiàn)“奇+奇=奇”，這顯然不成立，所以必有兩

塊木牌的距離是偶數(shù).

答：不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹之間的距離是偶數(shù).

【點(diǎn)評】此題屬于奇偶性問題，考查了學(xué)生對奇偶性的判定能力.

16.有8盞燈，從1到8編號，開始時3、6、7編號的燈是亮的.如果一個小朋友按從1

到8,再從1到8,…的順序拉開關(guān)，一共拉動500次，問此時哪幾個編號的燈是亮的？

【分析】對于亮著的燈，只要拉動偶數(shù)次開關(guān)仍是亮的，拉動奇數(shù)次開關(guān)是滅的；對于

開始關(guān)閉的燈，只要拉動奇數(shù)次開關(guān)燈就亮，拉動偶數(shù)次開關(guān)仍是滅的；因?yàn)?00÷8=

62余4,說明這8盞燈各拉動62次后，編號為1、2、3、4的燈又拉動一次，由于62是

偶數(shù)，所以原來亮的燈仍是亮的，滅的燈仍是滅的，即編號是3、6、7的燈各拉動62次

后仍是亮的，其余燈是滅的，接著編號是1、2、3、4的燈各拉動一次，編號1、2、4的

燈亮了，編號3的燈滅了，所以這8盞燈最后是1、2、4、6、7這五盞燈是亮的.

【解答】解:500÷8=62???4,

即這8盞燈各拉動62次后，編號為1、2、3、4的燈又拉動一次，原來亮著的燈除3號

燈滅了，其余都亮著，又增加了1、2、4號燈；

所以這8盞燈最后是1、2、4、6、7這五盞燈是亮的.

答：1、2、4、6、7這五盞燈是亮的.

【點(diǎn)評】此題應(yīng)結(jié)合實(shí)際，又根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)的特點(diǎn)，進(jìn)行分析，即可得出結(jié)論.

17.2009年元旦游園活動中，有一個游戲廳中亮著2009盞燈（每盞燈配一個開關(guān)，每觸動

一次開關(guān)，滅或由滅變亮），現(xiàn)在2009個人參加一個游戲活動：規(guī)定第一個人只能觸動1

個開關(guān)；第二個人只能觸動2個開關(guān)，第3個人只能觸動3個開關(guān)…第2009個人只能動

2009個開關(guān).問：照此游戲規(guī)則，這2009個人能否將游戲廳中的燈全部關(guān)滅？請說明理

由.

【分析】首先根據(jù)題意，可得這2009個人觸動開關(guān)的總個數(shù)是：1+2+3+…+2009,再根

據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求出這2009個人觸動開關(guān)的總個數(shù)是多少；然后根據(jù)這2009

個人觸動開關(guān)的總個數(shù)如果是2009的偶數(shù)倍，則游戲廳中的燈全部是亮著的；如果這

2009個人觸動開關(guān)的總個數(shù)是2009的奇數(shù)倍，則游戲廳中的燈全部是關(guān)滅的，據(jù)此判斷

即可.

【解答】解：這2009個人觸動開關(guān)的總個數(shù)是：

1+2+3+—+2009

=（1+2009）×2009÷2

=2010×2009÷2

=1005X2009（個）

因?yàn)?005X2009是2009的奇數(shù)倍，而且游戲廳中的2009盞燈開始時全是亮著的，

所以這2009個人能將游戲廳中的燈全部關(guān)滅.

答：這2009個人能將游戲廳中的燈全部關(guān)滅.

【點(diǎn)評】此題主要考查了奇偶性問題的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：這2009個人觸

動開關(guān)的總個數(shù)如果是2009的偶數(shù)倍，則游戲廳中的燈全部是亮著的；如果這2009個

人觸動開關(guān)的總個數(shù)是2009的奇數(shù)倍，則游戲廳中的燈全部是關(guān)滅的.

18.1+2×3×4×5×6+7×8×9×10X11+12×13×14×15×16+???+497×498×499×500×

501是奇數(shù)還是偶數(shù)，為什么？

【分析】根據(jù)數(shù)的奇偶性可知，由于若干個奇數(shù)X若干個偶數(shù)=偶數(shù)，所以1+2X3X4

×5×6+7×8×9×10×ll+12×13×14×15×16+-+497×498×499×5OO×5O1=??+

偶數(shù)+偶數(shù)+…偶數(shù)，即在所有加數(shù)中的，只有一個是奇數(shù)，其它加數(shù)都是偶數(shù)，所以它

們的和只能是奇數(shù).

【解答】解：由于1+2X3X4X5X6+7X8X9X10X11+12X13X14X15X16+…+497義

498×499X500X501=奇數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)+…偶數(shù)，

即在所有加數(shù)中的，只有一個是奇數(shù)，其它加數(shù)都是偶數(shù)，所以它們的和只能是奇數(shù).

【點(diǎn)評】明確若干個奇數(shù)義若干個偶數(shù)=偶數(shù)是完成本題的關(guān)鍵.

19.我國在使用公元紀(jì)年的同時，也一直沿用我國古代創(chuàng)立的干支紀(jì)年法，如甲午戰(zhàn)爭的甲

午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名稱.干支中的干是天干的簡稱，是指：甲乙丙丁戊

己庚辛壬癸；支是地支的簡稱，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.

在紀(jì)年時，干支同時分別從甲子開始，不改變各自的順序，循環(huán)往復(fù)下去.一位叫“丁

寅”的同學(xué)想在“丁寅年”邀請同學(xué)聚會，他的愿望能實(shí)現(xiàn)嗎？若能實(shí)現(xiàn)，說明是哪一

年？（2008年是“戊子年”）若不能實(shí)現(xiàn)，請說明理由.

【分析】據(jù)題意可知，天干共10個，地支共12個.天干和地支按順序組合形成年份，

因此可通過給天干和地支編號進(jìn)行組合分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出丁寅的愿望是否能夠?qū)崿F(xiàn).

【解答】解：若用Al,A2,A3…AlO表示10個天干，用Bl,82,…B12表示12個地

支，

則天干與地支的組合順序如下：AlBl,A2B2,A3B3,A4B4,-AlOBlO,AlBll,A2B?2,

A381,

由此可以發(fā)現(xiàn)，A和B的標(biāo)號總是奇偶交替出現(xiàn)，且每個組合中的標(biāo)號奇偶性相同，

因?yàn)槎?yīng)A4,寅對應(yīng)B3,它們的標(biāo)號奇偶性不同，所以，兩者是不會組合到一塊，即

丁寅年是不存在的.

所以丁寅同學(xué)的愿望不能實(shí)現(xiàn).

【點(diǎn)評】完成本題主要根據(jù)給題中在要素進(jìn)行編號，借助數(shù)的奇偶性進(jìn)行分析解答的.

20.200到500之間的奇數(shù)，百位、十位和個位上的數(shù)字都不相同的有幾個？

【分析】因?yàn)槿齻€數(shù)位上的數(shù)字都不同，且為奇數(shù)，所以，根據(jù)百位進(jìn)行分類討論即可。

【解答】解：當(dāng)百位為2或4時，個位有5種選法，十位有8種選法，

共有2X5X8=80（個）

當(dāng)百位為3時，個位有4種選法，十位有8種選法，

共有4X8=32（個）

當(dāng)百位為5時一，沒有符合條件的數(shù)。

共有：80+32=112（個）

答：百位、十位和個位上的數(shù)字都不相同的有112個。

【點(diǎn)評】明確奇數(shù)的含義：自然數(shù)中，不是2的倍數(shù)的數(shù)，是奇數(shù)，是解答此題的關(guān)鍵.

21.你能從1、3、5、7、9、…、2007、2009這1005個自然數(shù)中選出9個，使它們的和等

于2008嗎？為什么?

【分析】由題意可知，1、3、5、7、9、…、2007,2009此數(shù)列中全是奇數(shù)，則從中選出

的9個數(shù)也一定是奇數(shù)，根據(jù)數(shù)和的奇偶性可知，奇數(shù)個奇數(shù)相加的和仍然是奇數(shù)，2008

是偶數(shù)，所以不能使它們的和是2008.

【解答】解：由于中選出的9個數(shù)也一定是奇數(shù)，

奇數(shù)個奇數(shù)相加的和仍然是奇數(shù)，

2008是偶數(shù)，

所以不能使它們的和是2008.

【點(diǎn)評】本題考查了學(xué)生根據(jù)數(shù)和的奇偶性解決問題的能力.

22.在棋盤中，如果兩個方格有公共點(diǎn)，就稱為相鄰的.如圖中A有3個相鄰的方格，而8

有8個相鄰的方格.圖中每一個奇數(shù)表示與它相鄰的方格中偶數(shù)的個數(shù)（如3表示相鄰

的方格中有3個偶數(shù)），每個偶數(shù)表示與它相鄰的方格中奇數(shù)的個數(shù)（如4表示相鄰的方

格中有4個奇數(shù)）.請?jiān)谙旅娴?X4的棋盤中填數(shù)（至少有一個奇數(shù)），滿足上面的要求.

【分析】首先確定中間四個位置的數(shù)據(jù)全為4,由此可以確定與它相鄰的方格中奇數(shù)的個

數(shù)為4個，則偶數(shù)的個數(shù)也是4個，而在頂角的數(shù)字為一個偶數(shù)2,其余兩個只能為奇數(shù)

才能符合要求，得出第一種結(jié)論；同理首先確定中間四個位置的數(shù)據(jù)全為3得出另一種

【點(diǎn)評】解決此題注意奇數(shù)周圍偶數(shù)的個數(shù)，偶數(shù)周圍奇數(shù)的個數(shù).

23.將1,3,5,7,9填入等號左邊的5個方框中，2,4,6,8填入等號右邊的4個方框

中，使等式成立，且等號兩邊的計(jì)算結(jié)果都是自然數(shù)，這個結(jié)果最小為51.

π÷π+π+ππ=π÷π+ππ

【分析】1,3,5,7,9全為奇數(shù)，根據(jù)數(shù)的奇偶性可知，則奇數(shù)米奇數(shù)為奇數(shù)，奇數(shù)個

奇數(shù)相加為奇數(shù)，左邊的值必然為奇數(shù)；所以右邊的結(jié)果也為奇數(shù)，而右邊□口必為偶

數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，所則口÷□只能為奇數(shù)，故只能是6÷2,又要求結(jié)果最小，所

以可得9÷l+5+37=6÷2+48=51.

【解答】解：由奇偶性可以知道，左邊必然為奇數(shù)，

所以右邊的結(jié)果也為奇數(shù)，而右邊□口必為偶數(shù)，

故右邊的□÷口中只能是6÷2,又要求結(jié)果最小，

所以可以得到：9÷l+5+37=6÷2+48=51.

故答案為：51.

【點(diǎn)評】本題主要考查了學(xué)生根據(jù)數(shù)的奇偶性解決問題的能力.

24.如圖所示，在三個圓圈中各填入一個自然數(shù)，使每條線段兩端的兩個數(shù)之和均為奇數(shù).請

問這樣的填法存在嗎？如不存在，請說明理由；如存在，請寫出一種填法.

【分析】根據(jù)數(shù)和的奇偶性可知：奇數(shù)+(-)奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+(-)偶數(shù)=偶數(shù)，

奇數(shù)+(-)偶數(shù)=奇數(shù).設(shè)所填的分別數(shù)為a、b、c,如這種填法存在的話，則有：a+b

=奇數(shù).α+c=奇數(shù)，

8+c=奇數(shù).那么(a+?)+(.a+c)+(b+c)—2(α+?+c),(a+b)+(a+C)+(?+c)為

奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)；

2(α+6+c)為偶數(shù)，偶效W奇數(shù),所以不存在這樣的填法.

【解答】解：不存在這種填法，理由為：

設(shè)所填的數(shù)分別是α,4c,如圖所示.

假設(shè)“+/?=奇數(shù)，α+C=奇數(shù)，6+c=奇數(shù)；

三式相加：Ca+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c),

左邊=2(a+t>+c),是偶數(shù)，

右邊=三個奇數(shù)相加，是奇數(shù)，

而偶效金奇數(shù),

所以不存在這樣的填法.

【點(diǎn)評】本題要在了解數(shù)和的奇偶性的基礎(chǔ)上完成.

25.能將1,2,3,4,5,6,7,8,9填在3X3的方格表中（如圖），使得橫向與豎向任意

相鄰兩數(shù)之和都是質(zhì)數(shù)嗎？如果能，請給出一種填法：如果不能，請你說明理由.

ESH

0

HS

【分析】由于1,3,5,7,9中任意兩個奇數(shù)的和都是合數(shù)，所以1,3,5,7,9只能

填在表的四角和中心，而偶數(shù)2,4,6,8填在★處，中間所填的奇數(shù)要與2,4,6,8

橫向或豎向相鄰，即中間所填的奇數(shù)與2,4,6,8之和都要是質(zhì)數(shù)；再根據(jù)1+8=9是

合數(shù)，3+6=9,5+4=9,7+2=9,9+6=15,都是合數(shù)得出矛盾，從而得解.

【解答】解：奇數(shù)1,3,5,7,9中任兩個之和都大于2的偶數(shù)，因而是合數(shù)，所以在

填入3X3的表格時它們中任兩個橫向、豎向都不能相鄰.如果滿足題設(shè)條件的3X3表

格的填法存在，那么奇數(shù)1,3,5,7,9只能填在表的四角和中心，而偶數(shù)2,4,6,8

填在★處，于是中間所填的奇數(shù)要與2,4,6,8橫向或豎向相鄰，即中間所填的奇數(shù)與

2,4,6,8之和都要是質(zhì)數(shù).然而，這是不可能的，原因是：

1+8=9是合數(shù)，3+6=9是合數(shù)，5+4=9是合數(shù)，7+2=9是合數(shù)，9+6=15是合數(shù)，

所以在3X3表格中滿足題設(shè)要求的填法是不存在的.

【點(diǎn)評】先根據(jù)兩個不同時是1的奇數(shù)相加的和是大于2偶數(shù)，也是合數(shù)，找出奇數(shù)和

偶數(shù)在圖中的位置，再找出中間所填數(shù)與周圍偶數(shù)的和都必須是質(zhì)數(shù)，從而得出矛盾進(jìn)

行求解.

26.將1999表示為兩個質(zhì)數(shù)之和：1999=口+口，在口中填入質(zhì)數(shù).共有多少種表示法？

【分析】利用奇數(shù)的性質(zhì)：奇數(shù)=奇數(shù)+偶數(shù)，和質(zhì)數(shù)的意義填空推斷即可.

【解答】解：因?yàn)閮蓚€奇數(shù)的和是偶數(shù)，所以將1999表示成兩個質(zhì)數(shù)的和，這兩個質(zhì)數(shù)

中必有一個是偶數(shù)，

因而也就是2,另一個是1999-2=1997即1999=2+1997,只有一種填法（我們將2+1997

與1997+2作為同一種）.

所以共有--種表示法.

【點(diǎn)評】解答注意特殊的質(zhì)數(shù)2,也是偶數(shù).

27.小地球儀上赤道大圓與過南北極的某大圓相交于4、8兩點(diǎn).有黑、白二蟻從A點(diǎn)同時

出發(fā)分別沿著這兩個大圓爬行.黑蟻爬赤道大圓一周要10秒鐘，白蟻爬過南北極的大圓

一周要8秒鐘.問：在10分鐘內(nèi)黑、白二蟻在B