2023年重慶市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題（含解析）

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)/(x)=，-x(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間［-1,1］上的最大值是()

A.1+-B.1C.e+1D.e-1

e

2.已知函數(shù)g(x)=loga(x-3)+2(a>0,aWl)的圖象經(jīng)過定點M,若募函數(shù)f(x)=x°的圖象過點M,則a

的值等于()

-123

A.B.iC.D.

,_14x?1

3.設(shè)曲線y=￡及直線y=l所圍成的封閉圖形為區(qū)域。，不等式組八,所確定的區(qū)域為E，在區(qū)域E內(nèi)隨

0<y<l

機取一點，則該點恰好在區(qū)域。內(nèi)的概率為()

4.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解

本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過

《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的

學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

5.隨機變量X的概率分布為P(x=〃)=——(〃=1,2,3),其中。是常數(shù)，則力(aX)=()

n+〃

3860815252

A.B.-----C.-----D.—

8?72924327

6.在長方體ABCD—ABIGR中，AB=BC=\,例=2,則異面直線A9與。B1所成角的余弦值為

而R75?1nV2

A.

654

7.運用祖瞄原理計算球的體積時，構(gòu)造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，與半球(如圖一)放置在同一平面

上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐(如圖二)，用任何一個平行與底面的

22

平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此證明該幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓土+匕=1繞)’軸

49

旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體(如圖三)，類比上述方法，運用祖眶原理可求得其體積等于()

8.已知函數(shù)/(￡)=\rvc+(a-l)x+2-2a(a>0).若不等式/(%)>0的解集中整數(shù)的個數(shù)為3,則。的取值范圍是

()

A.(l-ln3,0]B.(l-ln3,2/n2]C.(l-In3,l-/n2]D.(0,l-ln2]

9.函數(shù)y=-ln(-x)的圖象大致為()

K,f(x)<K

10.設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為{x|x>0},若對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)力(x)=,則當(dāng)函數(shù)

K=1時，定積分]：￡(幻公的值為()

X4

A.21n2+2B.21n2-lC.2In2D.21n2+l

11.已知復(fù)數(shù)Z滿足(l+》Z=l-i,則Z的共振復(fù)數(shù)1=)

D.-i

D.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.用1,2,3,4,5,6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿足1不在左右兩端，2,4,6三個偶數(shù)中有且只有兩個偶數(shù)相

鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為.

2222

14.已知橢圓用：5+冬=13>〃>0),雙曲線N:二—5=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及

a~b~mn~

橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M與雙曲線N的離心率之積為.

15.已知函數(shù)=若存在互不相等實數(shù)以&c、d,有/(。)=/(0)=/(c)=/(d)，則

a+b+c+d的取值范圍是.

22

16.雙曲線二一與=1的虛軸長為2,其漸近線夾角為________.

3b2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x-l)e*+alnx.

(1)討論/*)的導(dǎo)函數(shù)/(%)零點的個數(shù)；

(2)若函數(shù)/0)存在最小值，證明：/0)的最小值不大于1.

18.(12分)如圖，直三棱柱ABC-A4G中，A5=AC且D,E分別為A4,的中點.

(1)證明：OE_L平面BCG；

(2)若直線4C與平面8c。所成的角的大小為30。，求銳二面角A-3。-。的正切值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x+l)(e*+a).

(1)當(dāng)。=0時，求Ax)的極值；

(2)是否存在實數(shù)“，使得f(x)與/'(%)的單調(diào)區(qū)間相同，若存在，求出”的值，若不存在，請說明理由;

(3)若/(0)=0,求證：/(x)N(e—l)lnx+2ex-2在xe[l,+8)上恒成立.

20.(12分)已知正四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的正方形，高為0,M為線段PC的中點，N為線段AP

的中點.

(1)求證：/%//平面MDB；

(2)求直線GV與平面MRD所成角的正弦值.

21.(12分)如圖，在放AA8C中，AB=3C=4,點E在線段AB上.過點E作EF/ABC交AC于點F，將AA￡F

沿EF折起到A/針的位置(點A與P重合)，使得NPEB=60.

(I)求證：EF±PB.

(II)試問：當(dāng)點E在線段A8上移動時，二面角P—bC—8的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出其定值；若

不是，說明理由.

22.(10分)如圖，在三棱錐尸-ABC中，AP=CP,。是AC的中點，PO=1,03=2,PB=y[5.

(1)證明：平面R4CJL平面ABC；

(2)若ACL8C,BC=6，。是A8的中點，求二面角P-CD-B的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

分析：先求導(dǎo)，再求函數(shù)在區(qū)間［T,l］上的最大值.

詳解：由題得八幻=，一1,令e*-l=0,，x=0.

因為/(—l)=eT+l=」+l,/(l)=/—l=e—l,/(0)=1—0=1.

e

所以函數(shù)在區(qū)間［T,1］上的最大值為e-1.

故答案為D.

點睛：(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)設(shè)y=.f(x)是定義在閉區(qū)間

句上的函數(shù)，y=/(x)在(。1)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，可以這樣求最值：

①求出函數(shù)在(。/)內(nèi)的可能極值點(即方程r(x)=0在(。,。)內(nèi)的根西,馬，，x.)；

②比較函數(shù)值/(a),/S)與/(內(nèi)),/(/)，，/(尤“)，其中最大的一個為最大值，

最小的一個為最小值.

2、B

【解析】

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到點M(4,2)在塞函數(shù)f(x)=x”的圖象上，由此先求出塞函數(shù)f(x),從而能求出a的值.

【詳解】

Vy=loga(x-3)+2(a>0,a^l)的圖象過定點M,

AM(4,2),

,點M(4,2)也在幕函數(shù)f(x)=x”的圖象上，

.".f(4)=4a=2,解得a-,

1

故選B.

【點睛】

本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的性質(zhì)的合理運用.

3、C

【解析】

分析：求出兩個區(qū)域的面積，由幾何概型概率公式計算可得.

詳解：由題意與=J(l—f)公=。一'為3)；=8,=1x2=2,

—1

4

P_§D_=3=2，

---

S￡23

故選C.

點睛：以面積為測度的幾何概型問題是幾何概型的主要問題，而積分的重要作用正是計算曲邊梯形的面積，這類問題

巧妙且自然地將新課標(biāo)新增內(nèi)容一一幾何概型與定積分結(jié)合在一起，是近幾年各地高考及模擬中的熱點題型.預(yù)計對

此類問題的考查會加大力度.

4、C

【解析】

根據(jù)題先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進而得解.

【詳解】

由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=10,則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為10X00=0.1.故選C.

【點睛】

本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.

5、B

【解析】

分析：由已知得0+=+4=1可得a值，在求出期望算方差即可.

2612

nnn413

詳解：因為隨機變量X的概率分布為尸(*=〃)=正三(〃=1,2,3),故］+7+五=1得故E(X)=§,

又。(aX)=a2p(x),而O(X)=(1—U)2*2+(2—U)2x2+(3_U)2xL故。(。乂)=〃。(X)=—,選B

9399997為

點睛：考查分布列的性質(zhì)和期望、方差的計算，熟悉公式即可，屬于基礎(chǔ)題.

6-A

【解析】

分析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線ADi與DBi

所成角的余弦值.

詳解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

?在長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC=1,AAi=2,

，A(1,0,0),Di(0,0,2),D(0,0,0),

Bi(1,1,2),

物=(-1,0,2),DB]=(1,1,2),

設(shè)異面直線ADi與DBi所成角為6,

ADDB

nI\\'\337301

貝!|COS0=?-------------r=~~f=7==--------=、

IADJ-IPB，!V5.V63010

.?.異面直線AD!與DBi所成角的余弦值為叵.

故答案為：A.

點睛：（1）本題主要考查異面直線所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化能力。）異面

直線所成的角的常見求法有兩種，方法一：（幾何法）找-作（平移法、補形法）一證（定義）-指一求（解三角

\m*n\

形）；方法二：（向量法）cosa^^-TT-l，其中e是異面直線〃4”所成的角，分別是直線加,〃的方向向量.

7、C

【解析】

根據(jù)橢圓方程，構(gòu)造一個底面半徑為2,高為3的圓柱，通過計算可知高相等時截面面積相等,因而由祖眠原理可得橄欖球

幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.

【詳解】

22

由橢圓方程工+二=1,構(gòu)造一個底面半徑為2,高為3的圓柱

49

在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點、上底面為底面的圓錐

當(dāng)截面與底面距離為〃（0W/IW3）時，截圓錐得到的截面小圓半徑為r

12/z

則一二—r,即Qrlr=——

323

所以截面面積為4萬-7rr2=4萬—竺二

9

把y=〃代入橢圓方程上+匯=1,可求得％=±2的/

493

所以橄欖球形狀幾何體的截面面積為"Y=4萬—如王

9

由祖胞原理可得橄欖球幾何體的體積為V=2柱一『錐)=214乃x3-gx4萬x31=16)

故選:C

【點睛】

本題考查了類比推理的綜合應(yīng)用，空間幾何體體積的求法,屬于中檔題.

8,D

【解析】

對/(X)>0進行變形，得至1J"(x-2)>-lnx+x—2,令〃(x)=a(x-2),g(x)=-lnx+x-2,即/z(x)>g(x)

的整數(shù)個數(shù)為3,再由g(x)的函數(shù)圖像和〃(x)的函數(shù)圖像，寫出限制條件，得到答案

【詳解】

/(%)>。

.,.lnx+(a-l)x+2—2a>0,即a(x-2)>-Inx+x—2

設(shè)〃(x)=a(x—2),g(x)=—lnx+x—2,

其中x=2時，/?(2)=0,g(2)=-ln2<0

x=3時，〃(3)=a>0,g(3)=—ln3<0

即x=2,x=3符合要求

1r_I

g，(x)=——+l=^—,所以XG(0,l)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減

XX

xe(l,-K>o),g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增，g⑴=T為極小值.

〃(x)>g(x)有三個整數(shù)解，則還有一個整數(shù)解為X=1或者是X=4

①當(dāng)解集包含x=l時，X.0時，-2a＜0,g（x）f+oo

a>0ftz>0

所以需要滿足〃（l）＞g（l）即一。＞一1,解得0vaWl—ln2

7i（4）＜g（4）2。二一In4+4—2

a＞0a>0

W）wg（i）-a<-1

②當(dāng)解集包含x=4時，需要滿足

h（4）＞g（4）2aIn4+4-2

〃（5）?g（5）3。4一ln5+5—2

a>0

a＞1

整理得a＞l-ln2,而土生＜1,所以無解集,即該情況不成立.

3

3

綜上所述，由①②得，。的范圍為（0,l—ln2]

故選D項.

【點睛】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像，兩個函數(shù)圖像的位置關(guān)系與解析式大小之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，題目較綜合，考

查內(nèi)容比較多，屬于難題.

9、C

【解析】

分析函數(shù)的定義域，利用排除法，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，函數(shù)y=Tn（—x）的定義域為（-8,0）,所以可排除A、B、D,

故選C.

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)圖象的識別問題，其中解答中合理使用函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了

判斷與識別能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

分析：根據(jù)的定義求出￡的表達式，然后根據(jù)定積分的運算法則可得結(jié)論.

fk（X）（X）

1,-<1[1,X>1

詳解：由題意可得，當(dāng)K=1時，/（司=（:,即<（x）=h

11?—,0<x*

21121

所以（”）公=J—公+J公=+x|；=/〃1一/〃一+2—1=1+2/〃2

21x144

44

故選D.

點睛：解答本題時注意兩點：一是根據(jù)題意得到函數(shù)￡,（x）的解析式是解題的關(guān)鍵；二是求定積分時要合理的運用定

積分的運算性質(zhì)，可使得計算簡單易行.

11、A

【解析】

由條件求出z,可得復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù).

【詳解】

Vz（1+i）=l-i,

.（1-1）?:.

,,z-i+r（i+z）（i-z）~“

.?.z的共輾復(fù)數(shù)為i,

故選A.

【點睛】

本題主要考查共施復(fù)數(shù)的基本概念，兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

根據(jù)定積分的意義和性質(zhì)，J：|x|必:=21以小，計算即可得出.

【詳解】

因為j：|x|dr=2j：xdx=2'x^x21｛）=1,

故選C.

【點睛】

本題主要考查了含絕對值的被積函數(shù)的定積分求值，定積分的性質(zhì)，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、288

【解析】

用排除法，先計算2,4,6三個偶數(shù)中有且只有兩個偶數(shù)相鄰的方法數(shù)，從2,4,6三個偶數(shù)中任意取出2個看作一

個整體，將“整體”和另一個偶數(shù)插在3個奇數(shù)形成的四個空中，減去1在左右兩端的情況，即可.

【詳解】

從2,4,6三個偶數(shù)中任意取出2個看作一個整體，方法有禺=6種，

先排三個奇數(shù)，有A；=6種，形成了4個空，將“整體”和另一個偶數(shù)插在3個奇數(shù)形成的四個空中，方法有12

種

根據(jù)分步計數(shù)原理求得此時滿足條件的六位數(shù)共有：6*6x12=432種

若1排在兩端，3個奇數(shù)的排法有8?8=4種，形成了3個空，將“整體”和另一個偶數(shù)中插在3個奇數(shù)形成的3

個空中，方法有8=6種，根據(jù)分步計數(shù)原理求得此時滿足條件的6位數(shù)共有6x4x6=144種

故滿足1不在左右兩端，2,4,6三個偶數(shù)中有且只有兩個偶數(shù)相鄰的六位數(shù)有432-144=288種

故答案為：288

【點睛】

本題考查了排列組合在數(shù)字排列中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

14、2(73-1)

【解析】

利用條件求出正六邊形的頂點坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出橢圓的離心率，利用漸近線的夾角求雙曲線的離心率，從而

得出答案。

【詳解】

如圖

正六邊形中，OA=AB=c,BD=&,直線即雙曲線的漸近線方程為y=屈，

c2

由橢圓的定義可得2a=A3+BO=(G+l)c,所以橢圓的離心率e=5=j古=/-1,

雙曲線的漸近線方程為y=^x,則丑=百，雙曲線的離心率2=

mm

所以橢圓M與雙曲線N的離心率之積為2(6-1)

【點睛】

本題考查橢圓的定義和離心率，雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于一般題。

【解析】

不妨設(shè)a/K0,c,d>0,根據(jù)二次函數(shù)對稱性求得a+力的值.根據(jù)絕對值的定義求得c,d的關(guān)系式，將4轉(zhuǎn)化為c來

表示，根據(jù)c的取值范圍，求得a+b+c+d的取值范圍.

【詳解】

不妨設(shè)a/40,c,">0,畫出函數(shù)/(力的圖像如下圖所示.二次函數(shù)y=一2/1的對稱軸為％=一1,所以

。+〃=一2.不妨設(shè)e<d,則由|2+lnc|=|2+lnd|得一2-lnc=2+Ind,得cd=e'd=/，結(jié)合圖像可知

C

l<|2+lnc-|<2,解得ce(eY,e-3],所以a+A+c+dn—Z+c+^ketTe-s]),由于y=_2+》+藍在

CX

(-4,6[上為減函數(shù)，故-2+。+^—G4+，一2,二一11.

【點睛】

本小題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查二次函數(shù)的圖像，考查含有絕對值函數(shù)的圖像，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思

想方法，屬于中檔題.

16、60°.

【解析】

計算出。的值，得出漸近線的斜率，得出兩漸近線的傾斜角，從而可得出兩漸近線的夾角.

【詳解】

22

由題意知，雙曲線土一與=1的虛軸長為4=2,得匕=1,

3h2

所以，雙曲線的漸近線方程為〉=±立；0兩條漸近線的傾斜角分別為30、150,

3

因此，兩漸近線的夾角為60，故答案為60.

【點睛】

本題考查雙曲線漸近線的夾角，解題的關(guān)鍵就是求出漸近線方程，根據(jù)漸近線的傾斜角來求解，考查運算求解能力，

屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)條件求出/(X),然后通過構(gòu)造函數(shù)g(x)=7*(x>l),進一步得到/(x)的零點個數(shù)；(2)由題意可

知時，函數(shù)/(x)無最小值，則只需討論當(dāng)時，/(x)是否存在最小值即可.

【詳解】

2x

/八￡，/、A-axe+〃

(1)f(x)=xe+—=-------(x>0),

xx

令g(x)=x2ex(x>0)g'(九)=(x?+2x^ex>0,

故g(x)在(0,y)上單調(diào)遞增,且g(0)=0.

當(dāng)a..0時,導(dǎo)函數(shù)f\x)沒有零點，

當(dāng)。<0時,導(dǎo)函數(shù)/'(X)只有一個零點.

⑵證明：當(dāng)a.0時.>0.則函數(shù)/(幻無最小值.

故a<0時,則必存在正數(shù)小使得+a=0.

函數(shù).f(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(％,一)上單調(diào)遞增，

—Q(11、

/(x)min=/(Xo)=(XoT)e'"+alnXo=d(Xo—l)+alnx()=aIn/---+—,

*0\*0工0J

A.]7\i11..,112爐+x—2(x—l)(x+2)

nrzx

令人(x)=lnx——+一■.則A(x)=-+——?=--------=-——與——-

XXXXXXX

令〃'(兄)=0,則X=1,所以函數(shù)力(幻在(0,1)上單調(diào)遞減,在(L”)上單調(diào)遞增，

所以/?(%)../7(1)=0,即/.(%),,0.所以/(X)的最小值不大于1.

【點睛】

本題考查了函數(shù)零點個數(shù)的判斷和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了函數(shù)思想和分類討論思想，屬中檔題.

18、(1)詳見解析(2)也

【解析】

(D由已知條件可得加話是平行四邊形，從而AF〃DE,由已知條件能證明平面8CG，由此能證明。

平面BC&；(2)以A為坐標(biāo)原點，AB,AC,分別為x,>,2軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=AC=2,

M=2m,求出面BOC的一個法向量為日=1,1,2),根據(jù)線面角可求出朋=2機=2夜，在△ADB中求出

2

AG=耳，在AGC即可求出結(jié)果.

【詳解】

(1)取8C中點尸，連接則從而EF?A,

=2-

連接AF,則ADEE為平行四邊形，從而A尸〃DE.

?.?直三棱柱中，CC|，平面ABC,AFu面ABC,:.AF1CQ,

VAB^AC,F是3c的中點，,AFL3C,

,:BCCCC[=C,；.Ab上面BCG

故OEJ?平面BCC]

(2)以A為坐標(biāo)原點，AB，AC,AA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由條件：不妨設(shè)AB=AC=2,AAi=2m,

A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（0,2,0）,4（0,0,2m）,￡）（0,0,m）,B｝（2,0,2m）

=（-2,2,0）,8D=（—2,0,加），4c=（—2,2,—2/n）

設(shè)平面8DC的一個法向量為〃=(x,y,z),

n-BD=0-2x+mz=0

=>,可取〃=為一個法向量

n-BC=Q-2x+2y=0

|cos<B[C,n>|=sin30°=>m2=2=>A4,=2m=2-^2,

過A作AGLBD,連CG,則NAGC為二面角A—3。一。的平面角,

2

在△A￡>8中，BDAG=ADAB=>AG=-^=,

2ACr-

在一AGC中，AC=2,AG=7,則tan/AGC=——=6

J3AG

【點睛】

本題主要考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用，屬于中檔題.

19、(1)/(x)極小值為-士，無極大值(2)不存在滿足題意的實數(shù)(3)見證明

e

【解析】

(1)當(dāng)。=0時,可求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而確定極值；

(2)先求出了'(X)的單調(diào)區(qū)間，假設(shè)存在，發(fā)現(xiàn)推出矛盾，于是不存在；

⑶若/(0)=0,41g(x)=(x+l)(e'-l)-(e-l)lnx-2ex+2,求g(x)的單調(diào)性即可證明不等式成立.

【詳解】

解：(1)當(dāng)a=0時，f(x)=(x+l)eA,f'(x)=(x+2)eA,

ff(x)>0=>x>-2,fr(x)<0=>x<-2

/(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞減，在(—2,+8)上單調(diào)遞增

當(dāng)x=—2時，/(X)極小值為/(—2)=-十，無極大值

(2)f\x)=(x+2)ex+a,令g(x)=/'(x)

則g'(x)=(x+3)e',g(x)在(-8,-3)上單調(diào)遞減，在(-3,+8)上單調(diào)遞增

若存在實數(shù)。，使得f(x)與/'(%)的單調(diào)區(qū)間相同，

則/(-3)=0na=4，

e

21

此時/'(-4)=-F+方>0,與/(X)在(f),一3)上單調(diào)遞減矛盾，

ee

所以不存在滿足題意的實數(shù)。.

(3),f(0)=0na=-l,記g(x)=(x+D(e"-l)-(e-l)lnx-2cx+2.

g'(x)=(x+2)e，—l—；—2e,又g(x)在上單調(diào)遞增，且g'⑴=0

知g(x)在xe[l,+oo)上單調(diào)遞增，故g(x)2g⑴=0.

因此(x+l)(e“一l)2(e—l)lnx+2ex—2Nflnx+2ex—2,得證.

【點睛】

本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)工具解決極值問題，單調(diào)性問題，不等式恒成立問題等，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，邏輯推

理能力，分析能力及計算能力，綜合性強.

20、(1)見證明；(2)還

5

【解析】

(1)要證明PA//平面MD3,利用中位線可先證明OM//AP即可；

(2)找出直線CN與平面所成角為NMEC,利用正弦定理即可得到所成角的正弦值.

【詳解】

解：(1)證明：在四棱錐P—ASCD中，連結(jié)AC交8。于點。，連結(jié)。用，

因為在AR4c中，”為PC的中點，。為AC的中點，

所以O(shè)M為AR4C的中位線，得OM//AP,

又因為APZ平面MDB,OMu平面MDB,

所以Q4//平面

(2)沒NCcMO=E,由題意得BP=BC=DP=2,

因為“為PC的中點，所以PC_L8M,PC1DM,

故PC_L平面

所以直線CN在平面內(nèi)的射影為直線OM,

/MEC為直線CN與平面所成的角，

又因為OM//B4,所以NPNC=/MEC.

由條件可得P0=J5，AC=2V2?PA=PC=2,C0=A0=6,所以PC_LQ4.

在RtACPN中,CP=2,NP=l,所以NC=y[i

PC2r-

所以sinZMEC=sinZPNC=-=-yJ5

NC59

故直線CN與平面3MD所成角的正弦值為—.

5

【點睛】

本題主要考查線面平行的判定，線面所成角的相關(guān)計算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計算能力，難度中等.

21、（I）證明見解析；（II）答案見解析.

【解析】

分析：（D由已知條件，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可得到砂

（2）過點P作貝lEb,BE,PD兩兩垂直，以B為坐標(biāo)原點，以后尸，BE0P的方向分別為犬軸，,

軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PE=x（0<x<4）,應(yīng)用空間向量，分別求得兩平面的法向量勺,內(nèi)，計算

兩平面法向量夾角，證明點E在線段上移動時，二面角P-%-3的平面角的余弦值為定值，且定值為姮.

5

詳解：證明：（I）在MAABC中，

因為EF//BC,所以所以EF上EP,

又因為EBcEP=E,EB,EPu平面PEB,所以EFL平面PEB.

又因為PBu平面所以￡F_LPB.

（II）在平面FEB內(nèi)，過點P作PD上BE于點D,

由（I）知EF_L平面FEB,所以EF工PD,

又因為B