第22講　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（原卷版）

第22講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式基礎(chǔ)知識1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)=.

(2)公式C(α±β):cos(α±β)=.

(3)公式T(α±β):tan(α±β)=.

2.兩角和與差的正切公式的變形tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ).3.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=.

(2)公式C2α:cos2α===.

(3)公式T2α:tan2α=.

分類探究探究點一和、差、倍角公式的簡單應(yīng)用例1(1)已知α為銳角,sin（π3-α）=33,則cosα= (A.66-32 B.6C.66+12 D.6(2)設(shè)α,β滿足tan（α+3π4）=3,tan（β+π4）=2,則tan(α+β)= (A.-1 B.-1C.17 (3)已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,則sinα= ()A.53 B.23 C.13 [總結(jié)反思]兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣,可用α,β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù),在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時,首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律,特別要注意角與角之間的關(guān)系,完成統(tǒng)一角和角與角之間互相轉(zhuǎn)換的目的.變式題(1)已知角α的終邊在直線y=43x上,則tan(π4-α)= (A.17 B.-17 C.7 (2)已知2tanθ-tan(θ+π4)=7,則tanθ= (A.-2 B.-1 C.1 D.2(3)若sin(45°+α)=55,則sin2α=探究點二和、差、倍角公式的逆用與變形例2(1)cos42°cos18°-cos72°sin42°=()A.32 B.1C.-12 D.-(2)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,且a=4,b+c=5,tanA+tanB+3=3tanA·tanB,則△ABC的面積為 ()A.32 B.33C.332 (3)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,則sin(α+β)=.

[總結(jié)反思]在利用兩角和與差的三角函數(shù)公式或二倍角的三角函數(shù)公式進行恒等變形時,記住一些常見變形可起到事半功倍的效果.變式題(1)若cosα=-45,α是第三象限角,則1-tanα21+tanαA.2 B.12C.-2 D.-1(2)(1+tan19°)·(1+tan26°)=.

探究點三角的變換問題例3(1)已知sinα=255,sin(β-α)=-1010,α,β均為銳角,則β= A.5π12 B.π3 C.π4 (2)已知sin(π5-α)=14,則cos(2α+3π5)= A.-78 B.C.18 D.-[總結(jié)反思]常見的角的變換:π2±2α=2(π4±α),2α=(α+β)+(α-β),α=α+β2+α-β2,π3+α=π2-(π6-α),α=(α+β)-β=(α-β)+β,(變式題(1)若tan(α+β)=3,tanβ=2,則sin(32π-α)sin(π+α)=A.17 B.7 C.-17(2)若sin(α+π4)=35,且α∈(-π4,π4),則cosα的值為A.210 B.C.5210 同步作業(yè)1.若sinα=-13,α∈(-π2,0),則sin2α= (A.-429 C.89 D.-2.cos70°sin50°-cos200°sin40°的值為 ()A.-32 B.-C.12 D.3.已知角α的頂點與坐標(biāo)原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,若點P(2,-1)在角α的終邊上,則sin(π2-2α)= (A.-45 B.4C.-35 D.4.若tanα=3,tan(2α-β)=-1,則tan(α-β)= ()A.2 B.-2 C.3 D.-35.設(shè)a=sin18°cos44°+cos18°sin44°,b=2sin29°cos29°,c=cos30°,則有 ()A.c<a<b B.b<c<aC.a<b<c D.b<a<c6.已知θ∈(0,π),cos2θ+cos22θ=1,則θ= ()A.π6,5π6 B.πC.π6,π3,π2 D.π67.1-tan105°8.已知sin(α+π2)=-13,則cos2α= (A.-79 B.C.-89 D.9.已知α為銳角,且sin(3π8-α)=255,則tan(3π4-2α)的值為A.34 B.-C.-43 D.-34或10.設(shè)sin2α-sinα=0,α∈(-π2,0),則tan2α的值是 (A.3 B.-3C.33 D.-11.若sin(θ-π6)=2sin(θ+π3),則tanθ= (A.-33 B.8-53C.8+53 D.-8-5312.設(shè)α為第二象限角,若tan(α-π4)=2,則sin2α=.13.若tanα+tanβ=-tan(α+β)=3,則tanαtanβ=.

14.已知sinα=513,α∈(π2,3π2),則tan(π4+α)=,15.如圖K22-1,已知點A(1,0),P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P(cos(α+β),sin(α+β)).(1)證明:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;(2)利用(1)的結(jié)果證明cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β)],并計算cos37.5°cos37.5°的值圖K22-116.已