中考數學一輪復習考點（精講精練）復習專題36 幾何最值之費馬點問題（教師版）

專題36幾何最值之費馬點問題專題36幾何最值之費馬點問題方法技巧方法技巧問題分析“費馬點”指的是位于三角形內且到三角形三個頂點距高之和最短的點。主要分為兩種情況：（1）當三角形三個內角都小于120°的三角形，通常將某三角形繞點旋轉60度，從而將“不等三爪圖”中三條線段轉化在同一條直線上，利用兩點之間線段最短解決問題。（2）當三角形有一個內角大于120°時，費馬點就是此內角的頂點.費馬點問題解題的核心技巧：旋轉60°構造等邊三角形將“不等三爪圖”中三條線段轉化至同一直線上利用兩點之間線段最短求解問題模型展示：如圖，在△ABC內部找到一點P，使得PA＋PB＋PC的值最小.當點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120o，則PA＋PB＋PC的值最小，P點稱為三角形的費馬點.特別地，△ABC中，最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費馬點就是最大角的頂點A（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）費馬點的性質：1．費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。2．費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°。最值解法：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為最小值。證明過程：將△APC邊以A為頂點逆時針旋轉60°，得到AQE，連接PQ，則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，當B、P、Q、E四點共線時取得最小值BE題型精講題型精講【例1】如圖，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】將△BMN繞點B順時針旋轉60度得到△BNE，∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM∵MC=NE∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當A、M、N、E四點共線時取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=SKIPIF1<0AB=3，AH=SKIPIF1<0BH=SKIPIF1<0，∴AE=2AH=SKIPIF1<0．故答案為SKIPIF1<0．【例2】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.EEADBCNM（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）①當M點在何處時，AM＋CM的值最??；②當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；（3）當AM＋BM＋CM的最小值為SKIPIF1<0時，求正方形的邊長.【答案】（1）△AMB≌△ENB，證明略。（2）①當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小.②連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，圖略（3）SKIPIF1<0【解析】解：⑴∵△ABE是等邊三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）⑵①當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最?、谌鐖D，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，FFEADBCNMAM＋BM＋CM的值最小理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等邊三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM根據“兩點之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長⑶過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.設正方形的邊長為x，則BF＝SKIPIF1<0x，EF＝SKIPIF1<0.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（SKIPIF1<0）2＋（SKIPIF1<0x＋x）2＝SKIPIF1<0解得，x＝SKIPIF1<0（舍去負值）.∴正方形的邊長為SKIPIF1<0提分作業(yè)提分作業(yè)1．如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______．【分析】依然構造60°旋轉，將三條折線段轉化為一條直線段．分別以AD、AM為邊構造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，易證△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF過F作FH⊥BC交BC于H點，線段FH的長即為所求的最小值．2．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD（不含B點）上任意一點，將△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到△EBF，當AG+BG+CG取最小值時EF的長（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據“兩點之間線段最短”，∴當G點位于BD與CE的交點處時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長，過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2SKIPIF1<0，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4SKIPIF1<0．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=SKIPIF1<0CE=SKIPIF1<0，故選：D．3．如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______．【解析】依然構造60°旋轉，將三條折線段轉化為一條直線段．分別以AD、AM為邊構造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，易證△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF過F作FH⊥BC交BC于H點，線段FH的長即為所求的最小值SKIPIF1<0．4．已知正方形ABCD內一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為SKIPIF1<0，求正方形的邊長．【解析】如圖，連接AC，把△AEC繞點C順時針旋轉60°，得到△GFC，連接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等邊三角形，則EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE=BE+EF+FG．∵點B、點G為定點（G為點A繞C點順時針旋轉60°所得）．∴線段BG即為點E到A、B、C三點的距離之和的最小值，此時E、F兩點都在BG上．設正方形的邊長為SKIPIF1<0，那么BO=CO=SKIPIF1<0，GC=SKIPIF1<0,GO=SKIPIF1<0．∴BG=BO+GO=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0．∵點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0=2．5．已知：△ABC是銳角三角形，G是三角形內一點。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求證：GA+GB+GC的值最小.【解析】證明：將△BGC逆時針旋轉60°，連GP,DB.則△CGB≌△CPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD,BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等邊三角形。∵∠AGC=120°,∠CGP=60°.∴A、G、P三點一線?！摺螩PD=120°,∠CPG=60°.∴G、P、D三點一線?！郃G、GP、PD三條線段同在一條直線上?！逩A+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴G點是等腰三角形內到三個頂點的距離之和最小的那一點6．若點P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．（1）若P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，則PB的值為；（2）如圖，在銳角△ABC的外側作等邊△ACB′，連結BB′．求證：BB′過△ABC的費馬點P，且BB′＝PA＋PB＋PC．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）見解析【解析】（1）∵∠PAB＋∠PBA＝180o－∠APB＝60o，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60o，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120o，∴△ABP∽△BCP，SKIPIF1<0；（2）設點P為銳角△ABC的費馬點，即∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°如圖，把△ACP繞點C順時針旋轉60°到△B′CE，連結PE，則△EPC為正三角形．∵∠B′EC＝∠APC＝120°，∠PEC＝60°，∴∠B′EC＋∠PEC＝180°，即P、E、B′三點在同一直線上，∵∠BPC＝120°，∠CPE＝60°，∴∠BPC＋∠CPE＝180°，即B、P、E三點在同一直線上∴B、P、E、B′四點在同一直線上，即BB′過△ABC的費馬點P．又PE＝PC，B′E＝PA，∴BB′＝EB′＋PB＋PE＝PA＋PB＋PC．7．在正方形ABCD中，點E為對角線AC（不含點A）上任意一點，AB=SKIPIF1<0；（1）如圖1，將△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補充完整（無需寫畫法）；②求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．【答案】（1）①補圖見解析；②SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【詳解】（1）①如圖△DCF即為所求；②∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2SKIPIF1<0，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∴AC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0AB＝4，∵△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，設AE＝CF＝x，EF2＝y(tǒng)，則EC＝4?x，∴y＝（4?x）2＋x2＝2x2?8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x?2）2＋8，∵2＞0，∴x＝2時，y有最小值，最小值為8，當x＝4時，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．（2）如圖中，將△ABE繞點A順時針旋轉60°得到△AFG，連接EG，DF．作FH⊥AD于H．由旋轉的性質可知，△AEG是等邊三角形，∴AE＝EG，∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值為線段DF的長．在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝SKIPIF1<0=AF，∴FH＝SKIPIF1<0AF＝SKIPIF1<0，AH＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，在Rt△DFH中，DF＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴BE＋AE＋ED的最小值為SKIPIF1<0．8．已知，如圖，二次函數SKIPIF1<0圖象的頂點為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(SKIPIF1<0點在SKIPIF1<0點右側)，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0對稱.(1)求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點的坐標，并證明點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上；(2)求二次函數解析式；(3)過點B作直線SKIPIF1<0交直線SKIPIF1<0于K點，M、N分別為直線AH和直線SKIPIF1<0上的兩個動點，連結HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0點坐標為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0點坐標為SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)8【詳解】(1)依題意,得ax2+2ax?3a=0(a≠0)，兩邊都除以a得：即x2+2x?3=0，解得x1=?3,x2=1，∵B點在A點右側，∴A點坐標為(?3,0),B點坐標為(1,0)，答：A.

B兩點坐標分別是(?3,0),(1,0).證明：∵直線l:y=SKIPIF1<0，