2024年深圳市高三年級第一次調(diào)研數(shù)學(xué)考試

2024年深圳市高三年級第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué) 2024.2本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生請務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若角的終邊過點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】A【解析】，選A.2．已知為虛數(shù)單位，若，則A． B． C． D．【答案】B【解析】，，選B.3．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且對任意，，均有成立，則下列函數(shù)中符合條件的是A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，，A不選.對于C，，C不選.對于B，為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，不滿足條件對于D，為偶函數(shù)且滿足條件，選D.4．已知，是夾角為的兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則A． B． C． D．【答案】A【解析】在上投影向量為，則，，，，，選A.5．由，，組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為，，即，，，，若，則A． B． C． D．【答案】B【解析】一位數(shù)有個，兩位數(shù)有個，三位數(shù)有個，.，，，，，，選B.6．已知某圓臺的上、下底面半徑分別為，，且，若半徑為的球與圓臺的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺的體積為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖作截面，，，，.，，，，選C.7．已知數(shù)列滿足，，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則A． B． C． D．【答案】C【解析】為偶數(shù)時即，，為奇數(shù)時，，，，.8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，且雙曲線的離心率為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，則，，，，中，，，選D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．“體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”.為備戰(zhàn)年巴黎奧運(yùn)會，已知運(yùn)動員甲特訓(xùn)的成績分別為：，，，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的A．眾數(shù)為 B．平均數(shù)為 C．中位數(shù)為 D．第百分位數(shù)為【答案】BC【解析】排序：，，，，，，，，，，眾數(shù)為，A錯.，B對.中位數(shù)，C對.，第個數(shù)，D錯，選BC.10．設(shè)，，且，則下列關(guān)系式可能成立的是A． B． C． D．【答案】AC【解析】，令，，，在有且僅有一個零點(diǎn)，A對.，，時，在無零點(diǎn)，B錯.，，在有且僅有一個零點(diǎn)，C對.時，，則，，D錯.11．如圖，八面體的每一個面都是邊長為的正三角形，且頂點(diǎn)在同一個平面內(nèi).若點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，為的中點(diǎn)，則A．當(dāng)為的中點(diǎn)時，異面直線與所成角為B．當(dāng)平面時，點(diǎn)的軌跡長度為C．當(dāng)時，點(diǎn)到的距離可能為D．存在一個體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)【答案】ACD【解析】方法一：如圖建系，.則，，，，，.對于A，，，，與夾角為.分別為中點(diǎn)，則為中位線，，與夾角為，A對.取的中點(diǎn)，分別為，面平面，點(diǎn)軌跡，，B錯.，，，，，以為直徑的圓.，到的距離，，到的距離可能為，C對.方法二：對于A，當(dāng)為中點(diǎn)時，四邊形為平行四邊形，而，與所成角即為與所成角，，A正確.對于B，當(dāng)面時，分別取中點(diǎn)，連接，，，平面平面，，的軌跡長度為，B錯.對于C，設(shè)在面上的射影點(diǎn)為，當(dāng)時，即在以為直徑的圓上，到距離，，故點(diǎn)到的距離可能為，C正確.對于D，題意即存在一體積為的圓柱可整體放入四棱錐中，設(shè)圓柱上下圓心分別為，為中點(diǎn)，連接，圓柱與交于點(diǎn).，設(shè)圓柱底面半徑為，高為，，，，時取“”，，，故D正確.選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則__________.【答案】【解析】，，，，，，，.13．設(shè)點(diǎn)，，，若動點(diǎn)滿足，且，則的最大值為__________.【答案】【解析】設(shè)，，則.，，，，在上，令，，.14．已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為__________.【答案】【解析】，，，，則在與之間.不妨設(shè)，令，，，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，且為等差數(shù)列，（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列：（2）若數(shù)列滿足，且，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，集合，求（用列舉法表示）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即①，因?yàn)?，所以由，得?由①、②解得，，所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，上式也成立，所以，因?yàn)楫?dāng)時，，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由（1）可知，當(dāng)時，，因?yàn)闈M足上式，所以.，因?yàn)楫?dāng)時，，所以.16.（15分）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點(diǎn)在上，且，，.（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）不妨設(shè)，，，，，，由余弦定理得，在中，，，平面平面，平面平面，平面，平面.平面，，四邊形是菱形，，又，且平面，平面，平面.（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，平面平面，平面平面，平面，又四邊形是菱形，，，均為等邊三角形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，及過點(diǎn)平行于的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，，由（1）平面，為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則即令，可得，，平面與平面的夾角的余弦值為.17.（15分）在某數(shù)字通信中，信號的傳輸包含發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié).每次信號只發(fā)送和中的某個數(shù)字.由于隨機(jī)因素干擾，接收到的信號數(shù)字有可能出現(xiàn)錯誤.已知發(fā)送信號時，接收為和的概率分別為，；發(fā)送信號時，接收為和的概率分別為，.假設(shè)每次信號的傳輸相互獨(dú)立.（1）當(dāng)連續(xù)三次發(fā)送信號均為時，設(shè)其相應(yīng)三次接收到的信號數(shù)字均相同的率為，求的最小值；（2）當(dāng)連續(xù)四次發(fā)送信號均為時，設(shè)其相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為，記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機(jī)變量（中任意相鄰的數(shù)字均不相同時，令），若，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）由題意可知，因?yàn)椋援?dāng)時，的最小值為.（2）由題設(shè)知，的可能取值為.①當(dāng)時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為或.因此，，②當(dāng)時，相應(yīng)四次接收到信號數(shù)字依次為，或，或，或，或，或，或，或.因此，.③當(dāng)時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為，或，或，或.因此，.④當(dāng)時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為，或.因此，.所以的分布列為因此，的數(shù)學(xué)期望.18.（17分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）討論函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)；（3）當(dāng)函數(shù)無極值點(diǎn)時，求證：.【解析】（1）當(dāng)時，，則，令，則，因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以使得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此，在上的最小值是與兩者中的最小者.因?yàn)?，，所以函?shù)在上的最小值為.（2），由，解得，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?，由，解得，設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.根據(jù)時，，，得的大致圖象如圖所示.因此有：（i）當(dāng)時，方程無解，即無零點(diǎn)，沒有極值點(diǎn)；（ii）當(dāng)時，，利用，得，此時沒有極值點(diǎn)；（iii）當(dāng)時，方程有兩個解，即有兩個零點(diǎn)，有兩個極值點(diǎn)；（iv）當(dāng)時，方程有一個解，即有一個零點(diǎn)，有一個極值點(diǎn).綜上，當(dāng)時，有一個極值點(diǎn)；當(dāng)時，有兩個極值點(diǎn)；當(dāng)時，沒有極值點(diǎn).（3）先證明當(dāng)時，.設(shè)，則，記，則，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，則在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時，不等式成立.由（2）知，當(dāng)函數(shù)無極值點(diǎn)時，，則，在不等式中，取，則有，即不等式成立.19.（17分）已知動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù).其中，，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程，并說明軌跡的形狀；（2）設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn).（i）當(dāng)，時，求證：的值及的周長均為定值；（ii）當(dāng)時，記的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當(dāng)時，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.設(shè)點(diǎn)，，，其中且，，（i）法一：由（1）可知的方程為，，，因?yàn)?，所以，因此，三點(diǎn)共線，且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，則，，由（1）可知，，所以（定值）.設(shè)，則有，解得，同理由，解得，所以（定值）.由橢圓定義，得，，，解得，同理可得，所以.因?yàn)?，?/p>