蘇科版七年級數(shù)學下冊《高分突破 培優(yōu)新方法》 專題08 三角形角度計算經(jīng)典模型（含答案）

專題08三角形角度計算經(jīng)典模型解題思路解題思路【考點1“8字”模型】【結(jié)論】∠A+∠B=∠D+∠E.【考點2飛鏢模型】【結(jié)論】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【考點3“風箏”模型】【結(jié)論】∠PBD+∠PCD=∠A+∠P【典例分析】【考點1“8字”模型】【典例1】(2023春?鼓樓區(qū)校級月考）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（3）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．【變式1-1】(2023?柯橋區(qū)模擬）如圖所示，∠α的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【變式1-2】(2023春?敘州區(qū)期末）如圖，BP平分∠ABC交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【變式1-3】(2023春?渝中區(qū)校級期中）如圖，五角星的五個角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180° B．90° C．270° D．240°【變式1-4】(2023春?玄武區(qū)期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°．【變式1-5】(2023秋?平輿縣期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝°．【變式1-6】(2023秋?正陽縣期末）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【考點2飛鏢模型】【典例2】(2023秋?建平縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學習用品一圓規(guī)，我們，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖（1）觀察“規(guī)形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下問題：①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°．②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．【變式2-1】(2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠A＝30°，D為CB延長線上的一點，DE⊥AB于點E，∠D＝40°，則∠C為（）A．20° B．15° C．30° D．25°【變式2-2】(2023?東昌府區(qū)一模）如圖，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度數(shù)是（）A．33° B．23° C．27° D．37°【變式2-3】(2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，點C是∠BAD內(nèi)一點，連CB、CD，∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．130° D．150°【變式2-4】(2023?碑林區(qū)校級二模）如圖，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，則∠A＝．【考點3“風箏”模型】【典例3】(2023秋?五華區(qū)期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．118° C．100° D．90°【變式3-1】(2023秋?潮陽區(qū)期中）如圖，在△ABC中，將△ABC沿直線m翻折，點B落在點D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．32° C．35° D．60°【變式3-2】(2023?聊城）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β【典例4】(2023春?高州市期末）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點N，將紙片沿著BN對折一次使得點A落在A′處后，再將紙片沿著BA′對折一次，使得點C落在BN上的C′處，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（）A．87° B．84° C．75° D．72°【變式4-1】(2023春?濟南期中）如圖，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，點D為邊BC上一點，將△ADC沿直線AD折疊后，點C落到點E處，若DE∥AB，則∠ADE的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°【變式4-2】(2023春?灤州市期末）已知：如圖所示，將△ABC的∠C沿DE折疊，點C落在點C'處，若設(shè)∠C＝α，∠AEC′＝β，∠BDC'＝γ，則下列關(guān)系成立的是（）A．2α＝β+γ B．α＝β+γ C．α+β+γ＝180° D．α+β＝2γ【變式4-3】(2023春?通許縣期末）如圖所示，將△ABC沿著DE折疊，使點A與點N重合，若∠A＝65°，則∠1+∠2＝（）A．25° B．65° C．115° D．130°【夯實基礎(chǔ)】1．(2023秋?廣州期中）如圖，三角形紙片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將∠C沿DE對折，使點C落在△ABC外的點C′處，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．110°2.(2023春?晉江市期末）如圖，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE外部時，則∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2） C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠23．(2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．4．(2023秋?海珠區(qū)校級期中）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．5．(2023?開福區(qū)校級開學）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+E+∠F的度數(shù)為．6．(2023春?昌黎縣期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．7．（秋?磴口縣校級期中）如圖，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，則∠BDC＝度，∠BOC＝度．23．(2023春?江都區(qū)校級期末）如圖，三角形紙片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，將紙片一角折疊，使點C落在△ABC的內(nèi)部，若∠2＝50°，則∠1＝．8．(2023秋?郯城縣期末）探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2等于A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系并說明理由．9．(2023春?新野縣期末）在學習并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學老師安排了自主探究內(nèi)容一利用平行線有關(guān)知識探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個平角來解決，也就是可以過三角形的一個頂點作其對邊的平行線來證明．請將下面（1）中的證明補充完整：（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點A作EF∥BC．（2）如圖2，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請利用小穎探究的結(jié)論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【能力提升】10．(2023秋?薛城區(qū)期末）如圖，CD、BD分別平分∠ACE、∠ABC，∠A＝80°，則∠BDC＝（）A．35° B．40° C．30° D．45°11．(2023春?江陰市期中）AD是∠CAE的平分線，∠B＝35°，∠DAE＝60°，則∠ACD＝（）A．25° B．60° C．85° D．95°12．(2023秋?保山期末）如圖，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，則∠DFE等于（）A．110° B．115° C．120° D．125°13．(2023春?淮陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，連接AP，若∠BPC＝40°，則∠NAP的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°14．(2023春?茌平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，D是∠ACF與∠ABC平分線的交點，E是△ABC的兩外角平分線的交點，若∠BOC＝130°，則∠D的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．40° D．50°15．(2023秋?費縣期末）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是∠A2BD的角平分線，CA3是∠A2CD的角平分線，…，若∠A＝α，則∠A2021為．16.(2023春?衡陽縣期末）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．17．(2023春?邗江區(qū)月考）如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上結(jié)論解決下列問題：（2）如圖2所示，∠1＝130°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．（3）如圖3，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，且與CD，AB分別相交于點M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)．②若角平分線中角的關(guān)系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，試直接寫出∠P與∠B，∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由．專題08三角形角度計算經(jīng)典模型解題思路解題思路【考點1“8字”模型】【結(jié)論】∠A+∠B=∠D+∠E.【考點2飛鏢模型】【結(jié)論】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【考點3“風箏”模型】【結(jié)論】∠PBD+∠PCD=∠A+∠P【典例分析】【考點1“8字”模型】【典例1】(2023春?鼓樓區(qū)校級月考）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（3）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．答案:（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）∠P＝45°（3）2∠P＝∠B+∠D【解答】解：（1）由題知，∠A+∠D＝∠DOB＝∠C+∠B，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）由（1）可得，∠DAO+∠D＝∠OCB+∠B，①同理可得，∠DAM+∠D＝∠OCP+∠P，∵∠DAB和∠BCD的平分線是AP和CP，∴∠DAO+∠D＝∠OCB+∠P，②由②×2﹣①得，∠D＝2∠P﹣∠B，即2∠P＝∠D+∠B，∴2∠P＝50°+40°，故∠P＝45°；（3）由（2）可知2∠P＝∠B+∠D．【變式1-1】(2023?柯橋區(qū)模擬）如圖所示，∠α的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°答案:A【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α，∴α＝10°故選：A．【變式1-2】(2023春?敘州區(qū)期末）如圖，BP平分∠ABC交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°答案:B【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故選：B【變式1-3】(2023春?渝中區(qū)校級期中）如圖，五角星的五個角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180° B．90° C．270° D．240°答案:A【解答】解：連接CD，設(shè)BD與CE交于點O，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．故選：A．【變式1-4】(2023春?玄武區(qū)期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°．答案:360【解答】解：如圖，延長DE交AB于點G，由三角形外角性質(zhì)可知：∠1＝∠F+∠DEF，∠2＝∠1+∠A，∴∠2＝∠F+∠DEF+∠A，∴在四邊形BCDG中，由四邊形內(nèi)角和可知：∠B+∠C+∠D+∠2＝360°，∴∠A+∠F+∠DEF+∠B+∠C+∠D＝360°．故答案為：360．【變式1-5】(2023秋?平輿縣期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝°．答案:180【解答】解：如圖，設(shè)線段BD，BE分別與線段AC交于點N，M．∵∠AMB＝∠A+∠E，∠DNC＝∠B+∠AMB，∠DNC+∠D+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，故答案為：180．【變式1-6】(2023秋?正陽縣期末）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【考點2飛鏢模型】【典例2】(2023秋?建平縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學習用品一圓規(guī)，我們，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖（1）觀察“規(guī)形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下問題：①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°．②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：過點A、D作射線AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如圖（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案為：50；②如圖（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【變式2-1】(2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠A＝30°，D為CB延長線上的一點，DE⊥AB于點E，∠D＝40°，則∠C為（）A．20° B．15° C．30° D．25°答案:A【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠D＝40°，∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．故選：A．【變式2-2】(2023?東昌府區(qū)一模）如圖，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度數(shù)是（）A．33° B．23° C．27° D．37°答案:B【解答】解：如圖，延長CD交AB于E，∵∠C＝38°，∠A＝37°，∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°，∵∠BDC＝98°，∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．故選：B．【變式2-3】(2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，點C是∠BAD內(nèi)一點，連CB、CD，∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．130° D．150°答案:C【解答】解：延長BC交AD于E，∵∠BED是△ABE的一個外角，∠A＝80°，∠B＝10°，∴∠BED＝∠A+∠B＝90°，∵∠BCD是△CDE的一個外角∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°，故選：C．【變式2-4】(2023?碑林區(qū)校級二模）如圖，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，則∠A＝．答案:80°【解答】解：連接BC，∵∠BDC＝140°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，∵∠BGC＝110°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°，∵BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°，在△ABC中，∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．故答案為：80°．【考點3“風箏”模型】【典例3】(2023秋?五華區(qū)期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．118° C．100° D．90°答案:B【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．由折疊，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，∴∠CED＝＝99°，∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．故選：B．【變式3-1】(2023秋?潮陽區(qū)期中）如圖，在△ABC中，將△ABC沿直線m翻折，點B落在點D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．32° C．35° D．60°答案:A【解答】解：如圖所示：由折疊的性質(zhì)得：∠D＝∠B，根據(jù)外角性質(zhì)得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B，∴∠1﹣∠2＝2∠B＝60°．∴∠B＝30°，故選：A．【變式3-2】(2023?聊城）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β答案:A【解答】解：由折疊得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故選：A．【典例4】(2023春?高州市期末）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點N，將紙片沿著BN對折一次使得點A落在A′處后，再將紙片沿著BA′對折一次，使得點C落在BN上的C′處，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（）A．87° B．84° C．75° D．72°答案:A【解答】解：如圖，由題意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．∴∠1＝∠2＝∠3．∴∠ABC＝3∠3．又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．∴18°+2∠3+112°＝180°．∴∠3＝25°．∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．故選：A．【變式4-1】(2023春?濟南期中）如圖，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，點D為邊BC上一點，將△ADC沿直線AD折疊后，點C落到點E處，若DE∥AB，則∠ADE的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°答案:B【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，∴∠BAC＝110°，由折疊的性質(zhì)得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，∵DE∥AB，∴∠BAE＝∠E＝30°，∴∠CAD＝40°，∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，故選：B．【變式4-2】(2023春?灤州市期末）已知：如圖所示，將△ABC的∠C沿DE折疊，點C落在點C'處，若設(shè)∠C＝α，∠AEC′＝β，∠BDC'＝γ，則下列關(guān)系成立的是（）A．2α＝β+γ B．α＝β+γ C．α+β+γ＝180° D．α+β＝2γ答案:A【解答】解：由折疊的性質(zhì)知：∠C＝∠C′＝α．∵∠AEC′+∠CEC′＝180°，∠BDC′+∠CDC′＝180°，∴β＝180°﹣∠CEC′，γ＝180°﹣∠CDC′．∴β+γ＝360°﹣∠CEC′﹣∠CDC′．∵∠C+∠CEC′+CDC′+∠C′＝360°，∴2α＝360°﹣∠CEC′﹣CDC′．∴β+γ＝2α．故選：A．【變式4-3】(2023春?通許縣期末）如圖所示，將△ABC沿著DE折疊，使點A與點N重合，若∠A＝65°，則∠1+∠2＝（）A．25° B．65° C．115° D．130°答案:D【解答】解：∵△NDE是△ADE翻折變換而成，∴∠AED＝∠NED，∠ADE＝∠NDE，∠A＝∠N＝65°，∴∠AED+∠ADE＝∠NED+∠NDE＝180°﹣65°＝115°，∴∠1+∠2＝360°﹣2×115°＝130°．故選：D．【夯實基礎(chǔ)】1．(2023秋?廣州期中）如圖，三角形紙片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將∠C沿DE對折，使點C落在△ABC外的點C′處，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．110°答案:C【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，由折疊的性質(zhì)可知，∠C′＝∠C＝40°，∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，∴∠2＝∠C+∠3＝100°，故選：C．2.(2023春?晉江市期末）如圖，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE外部時，則∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2） C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2答案:A【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE折疊得到，∴∠A′＝∠A，又∵∠ADA′＝180°﹣∠1，∠3＝∠A′+∠2，∴∠A+∠ADA′+∠3＝180°，即∠A+180°﹣∠1+∠A′+∠2＝180°，整理得，2∠A＝∠1﹣∠2．∴∠A＝（∠1﹣∠2），即2∠A＝∠1﹣∠2．故選：A．3．(2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．答案:360【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案為：360．4．(2023秋?海珠區(qū)校級期中）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．答案:360°【解答】解：連接AD，在△AOD和△BOC中，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠B+∠C＝∠1+∠2，∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD，∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°，∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，故答案為：360°．5．(2023?開福區(qū)校級開學）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+E+∠F的度數(shù)為．答案:360°【解答】解：∵∠AIC＝∠A+∠B，∠EPC＝∠C+∠D，∠AOE＝∠E+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠AIC+∠EPC+∠AOE＝360°．故答案為：360°．6．(2023春?昌黎縣期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．答案:360【解答】解：如右圖所示，∵∠AHG＝∠A+∠B，∠DNG＝∠C+∠D，∠EGN＝∠E+∠F，∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三個不同的外角，∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案為：360°．7．（秋?磴口縣校級期中）如圖，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，則∠BDC＝度，∠BOC＝度．答案:78°，110°【解答】解：∵∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，∴∠BDC＝∠A+∠ABO＝78°，∴∠BOC＝∠BDC+∠ACO＝110°．23．(2023春?江都區(qū)校級期末）如圖，三角形紙片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，將紙片一角折疊，使點C落在△ABC的內(nèi)部，若∠2＝50°，則∠1＝．答案:30°【解答】解：設(shè)折痕為EF，連接CC′．∵∠2＝∠ECC′+∠EC′C，∠1＝∠FCC′+∠FC′C，∠ECF＝∠EC′F，∴∠1+∠2＝2∠ECF，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣63°﹣77°＝40°，∴∠1＝80°﹣50°＝30°，故答案為：30°8．(2023秋?郯城縣期末）探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2等于A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系并說明理由．【解答】解：（1）：∵四邊形的內(nèi)角和為360°，直角三角形中兩個銳角和為90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故選C；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2與∠A的關(guān)系是：∠1+∠2＝180°+∠A（4）∵△EFP是由△EFA折疊得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．9．(2023春?新野縣期末）在學習并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學老師安排了自主探究內(nèi)容一利用平行線有關(guān)知識探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個平角來解決，也就是可以過三角形的一個頂點作其對邊的平行線來證明．請將下面（1）中的證明補充完整：（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點A作EF∥BC．（2）如圖2，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請利用小穎探究的結(jié)論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）證明：過A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根據(jù)（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，又∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根據(jù)（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，∴2∠P＝∠D+∠B．【能力提升】10．(2023秋?薛城區(qū)期末）如圖，CD、BD分別平分∠ACE、∠ABC，∠A＝80°，則∠BDC＝（）A．35° B．40° C．30° D．45°答案:B【解答】解：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵CD、BD分別平分∠ACE、∠ABC，∴∠DCE＝∠ACE，∠DBE＝∠ABC，∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝＝＝40°，故選：B．11．(2023春?江陰市期中）AD是∠CAE的平分線，∠B＝35°，∠DAE＝60°，則∠ACD＝（）A．25° B．60° C．85° D．95°答案:D【解答】解：∵AD是∠CAE的平分線，∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，故選：D．12．(2023秋?保山期末）如圖，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，則∠DFE等于（）A．110° B．115° C．120° D．125°答案:A【解答】解：∵∠A＝27°，∠C＝38°，∴∠AEB＝∠A+∠C＝65°，∵∠B＝45°，∴∠DFE＝65°+45°＝110°，故選：A．13．(2023春?淮陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，連接AP，若∠BPC＝40°，則∠NAP的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°答案:C【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，∴∠PCM＝ACM，∠PBC＝ABC，∵∠ACM＝∠ABC+∠BAC，∠PCM＝∠PBC+∠BPC，∴∠PCM＝ABC+BAC＝+∠BPC，∴∠BPC＝∠BAC＝40°，∴∠BAC＝80°，∴∠NAC＝100°，∴∠NAP＝50°，故選：C．14．(2023春?茌平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，D是∠ACF與∠ABC平分線的交點，E是△ABC的兩外角平分線的交點，若∠BOC＝130°，則∠D的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．40° D．50°答案:C【解答】解：由題意得：CO，CD分別平分∠ACB，∠ACF，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACD＝∠ACF，∵∠ACB+∠ACF＝180°，∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝90°，∵∠BOC＝130°，且∠BOC是△OCD的外角，∴∠D＝∠BOC﹣∠OCD＝130°﹣90°＝40°．故選：C.15．(2023秋?費縣期末）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是∠A2BD的角平分線，CA3是∠A2CD的角平分線，…，若∠A＝α，則∠A2021為．答案:【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，∴∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……則∠A2021＝∠A＝．故答案為：．16.(2023春?衡陽縣期末