陜西省藍(lán)田縣焦岱中學(xué)北師大版高中數(shù)學(xué)必修五2.1正弦定理與余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)2

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容分析《正弦定理》是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)（必修5）》（北師大版）第二章第一節(jié)內(nèi)容。本章內(nèi)容是初中“解直角三角形”的直接延拓。正弦定理和余弦定理反映了三角形元素間的度量關(guān)系，是解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題的重要應(yīng)用工具，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，也是高考中重要考察內(nèi)容之一。正弦、余弦定理是解三角形問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)，重要定理，教學(xué)中應(yīng)該注重定理的生成過(guò)程，同時(shí)通過(guò)對(duì)定理的證明，深入理解掌握定理并能正確應(yīng)用。本章內(nèi)容放在《平面向量》之后，旨在讓學(xué)生感受應(yīng)用平面向量證明定理。根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況及教學(xué)實(shí)踐，《正弦定理》計(jì)劃分為三課時(shí)，本節(jié)為第一課時(shí)，主要任務(wù)是在已有平面幾何、三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，理解并掌握正弦定理，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)生成過(guò)程，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，感受數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。二、學(xué)情分析本節(jié)授課對(duì)象為高二學(xué)生，學(xué)生們?cè)诔踔幸褜W(xué)過(guò)解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)和平面向量等知識(shí)，這是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，又是突破定理證明障礙強(qiáng)有力的工具。學(xué)生通過(guò)一年多的高中學(xué)習(xí)，基礎(chǔ)知識(shí)掌握較好，也已具備一定的觀察、分析、解決問(wèn)題的能力，但對(duì)應(yīng)用向量證明正弦定理有較大困難。教學(xué)中教師要注意恰當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生直接參與分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，體會(huì)向量知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。三、教學(xué)方法為了達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，本課主要采用教師指引，師學(xué)共同探究的課堂教學(xué)模式。教學(xué)過(guò)程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)，探究的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)個(gè)人思考、小組交流等方式，獲取知識(shí)，提高能力。四、教學(xué)準(zhǔn)備制作PowerPoint：P1：情境1；P2：探索1；P3：探索2；P4：借助幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)功能及計(jì)算功能驗(yàn)證正弦定理。教師通過(guò)查閱資料等了解正弦定理的不同證法，以便在課堂中靈活處理學(xué)生的問(wèn)題?？紤]到學(xué)生思維活躍，在探究正弦定理的證明時(shí)，展示點(diǎn)評(píng)會(huì)用不少時(shí)間，后面的定理應(yīng)用這一環(huán)節(jié)可以不進(jìn)行，放在后續(xù)課堂上完成，作業(yè)可以改為讓學(xué)生探究三角形邊和對(duì)角正弦值的比值為何值。五、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能掌握正弦定理及其證明；能應(yīng)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單三角形問(wèn)題；2、過(guò)程與方法通過(guò)對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)定理，學(xué)會(huì)運(yùn)用由特殊到一般的思想方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，感受猜想證明的數(shù)學(xué)研究過(guò)程；3、情感態(tài)度與價(jià)值觀體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的普遍聯(lián)系與辨證統(tǒng)一；通過(guò)自主探究，合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。六、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及簡(jiǎn)單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用平面向量證明正弦定理七、教學(xué)過(guò)程1、情境1：張老師給學(xué)生布置了一項(xiàng)作業(yè)：在一條河流兩岸各有一根電線桿，不過(guò)河如何得知電線桿間的距離？有一位學(xué)生給出如下方案：在河南岸另定一個(gè)點(diǎn)C，只要測(cè)一下B、C兩點(diǎn)的距離和角B、角C的大小便可計(jì)算出電線桿A、B間的距離。你知道如何計(jì)算嗎？意圖：引出概念“解三角形”，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望。2、情境2：初中學(xué)過(guò)三角形中的一條結(jié)論：“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”。這個(gè)結(jié)論似乎反映出三角形的邊與角之間有著某種數(shù)量關(guān)系。會(huì)是什么關(guān)系呢？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題，點(diǎn)出本節(jié)課的研究方向，激起學(xué)生的求知欲。3、探索發(fā)現(xiàn)探索1直角三角形中邊和角之間有哪些關(guān)系?學(xué)生回答：教師引導(dǎo)學(xué)生得到探究2等邊三角形邊和角之間是否有上述關(guān)系?學(xué)生自己檢驗(yàn)，上述結(jié)論成立。問(wèn)題：對(duì)于任意三角形，三邊和三角之間可能有何關(guān)系?學(xué)生大膽猜想：設(shè)計(jì)意圖：從特殊三角形著手，合理猜想一般結(jié)論，體會(huì)數(shù)學(xué)研究中由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。4、證明結(jié)論猜想的結(jié)論是否成立，我們一定要檢驗(yàn)。多媒體打開(kāi)幾何畫(huà)板，學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)做三角形，讓三角形的邊、角任意變化，通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)驗(yàn)證結(jié)論成立。結(jié)論成立一定能嚴(yán)格證明。給學(xué)生五分鐘時(shí)間思考、分組交流，探尋證明方法。學(xué)生會(huì)想到構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用直角三角形中銳角三角函數(shù)定義來(lái)證明。方法一對(duì)于直角三角形上述結(jié)論已證。如圖：若為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A作于D，則從而得到：同理可得：所以：若為鈍角三角形，證法類似。學(xué)生展示成果，學(xué)生點(diǎn)評(píng)。教師給予糾正、評(píng)價(jià)。學(xué)生在這里容易忽略鈍角三角形的情形，教師要引導(dǎo)學(xué)生完善證明過(guò)程。預(yù)習(xí)過(guò)的學(xué)生會(huì)通過(guò)三角形面積相等來(lái)證。方法二教師引導(dǎo)學(xué)生用向量證明。運(yùn)用向量解決一些問(wèn)題比較方便，容易理解，讓學(xué)生要善于應(yīng)用向量解決問(wèn)題。學(xué)生很難順利運(yùn)用平面向量證明，教師給予引導(dǎo)。若為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)B作與BC垂直的單位向量j，則。而，等式兩邊都與j取數(shù)量積，看看能得到什么結(jié)論。學(xué)生小組合作完成。則，即同理可得：若為鈍角三角形，證法類似。學(xué)生也會(huì)有其他證法，先讓學(xué)生分析點(diǎn)評(píng)，教師再給予合理的評(píng)價(jià)和糾正。閱讀課本，學(xué)習(xí)教材中給出的證明方法。設(shè)計(jì)意圖：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)自己思考，同學(xué)間的合作交流，讓學(xué)生深刻理解并掌握正弦定理。通過(guò)不同證法鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考探索，拓展思維。5、總結(jié)結(jié)論教師板書(shū)：正弦定理內(nèi)容：教師鼓勵(lì)學(xué)生用漢語(yǔ)言敘述定理，教師板書(shū)。設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生語(yǔ)言組織表達(dá)能力，通過(guò)自然語(yǔ)言進(jìn)一步掌握定理。6、定理應(yīng)用(1)在中,,求，b.(2)在中,,求.學(xué)生獨(dú)立完成，并由部分同學(xué)展示，點(diǎn)評(píng)。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)的目的是用。初步應(yīng)用正弦定理解三角形；感受正弦定理主要解決的兩類三角形問(wèn)題，為下節(jié)課做鋪墊。6、本課小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容。（1）正弦定理及證明思想方法；（2）正弦定理主要解決兩類問(wèn)題：已知兩角及一邊解三角形；已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的表述，大家一起歸納知識(shí)，鞏固內(nèi)容，總結(jié)方法。7、作業(yè)設(shè)計(jì)（1）、臺(tái)風(fēng)中心位于某市正東方向200km處，正以40km/h的速度向北偏西60度的方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心km范圍內(nèi)將會(huì)受其影響.如果臺(tái)風(fēng)風(fēng)速不變,那么該市從何時(shí)起要遭受臺(tái)風(fēng)影響?這種影響持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間(結(jié)果精確到0.1h)?（2）、思考分析：已知三角形兩邊及一邊對(duì)角時(shí)三角形解的情況。設(shè)計(jì)意圖（1）將課本例題中的數(shù)據(jù)作以改動(dòng)，目的是讓學(xué)生在自學(xué)例題后通過(guò)自己的練理解思路方法，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力。（2）讓學(xué)生獨(dú)立思考分析，為下節(jié)課的討論做準(zhǔn)備。八、教學(xué)反思本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)符合課程標(biāo)準(zhǔn)，注重了學(xué)生的活動(dòng)，課堂中教師指引著學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)，充分去讓學(xué)生思考、交流、展示。為了讓學(xué)生深入理解掌握定理，本節(jié)次內(nèi)容設(shè)計(jì)成了三課時(shí)，第一課時(shí)以定理的形成和證明為主，第二課時(shí)主要探究三角形邊與對(duì)角正弦值的比值為外接圓直徑，并得到正弦定理的另一種證法，第三課時(shí)主要是鞏固，以及三角形多解