2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019課后習(xí)題6-3-5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示課后篇鞏固提升必備知識基礎(chǔ)練1.(多選題)設(shè)向量a=(1,0),b=12,12,A.|a|=|b| B.a·b=2C.a∥b D.ab與b垂直答案ABC解析A項(xiàng),|a|=1,|b|=22,故|a|≠|(zhì)b|B項(xiàng),a·b=1×12+0×1C項(xiàng),1×12≠0×1D項(xiàng),ab=12,-12,(ab)·b=12×12-2.在平行四邊形ABCD中,AB=(1,0),AC=(2,2),則AD·BD等于(A.4 B.4 C.2 D.2答案A解析如圖,由向量的加減,可得AD=BC=AC-AB=(1,2),故AD·BD=(1,2)·(0,2)=0+4=3.在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的動點(diǎn),則AE·AF的取值范圍是(A.[2,14] B.[0,12]C.[0,6] D.[2,8]答案A解析如圖,A(0,0),E(23,1),設(shè)F(x,2)(0≤x≤23),所以AE=(23,1),AF=(x,2),因此AE·AF=23設(shè)f(x)=23x+2(0≤x≤23),f(x)為增函數(shù),則f(0)=2,f(23)=14,故2≤f(x)≤14,AE·AF的取值范圍是4.(2021河南模擬)若非零向量a,b滿足|a|=3|b|,(2a+3b)⊥b,則a與b的夾角為()A.π6 B.π3 C.2π答案C解析根據(jù)題意,設(shè)a與b的夾角為θ,|b|=t(t>0),則|a|=3|b|=3t.若(2a+3b)⊥b,則(2a+3b)·b=2a·b+3b2=6t2cosθ+3t2=0,即cosθ=12.又由0≤θ≤π,則θ=2π3.5.設(shè)向量a=(x+1,x),b=(1,2),且a⊥b,則|a|=.

答案5解析因?yàn)閍⊥b,所以a·b=0,則x+1+(x)×2=0,解得x=1,則|a|=226.已知a=(1,3),b=(1,y).若a與b的夾角為45°,則y=.

答案2解析a·b=1+3y,|a|=10,|b|=1+y∵a與b的夾角為45°,∴cos45°=a·解得y=2或y=12(舍去)7.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,x)(x∈R).(1)若a∥b,求|ab|;(2)若a與b的夾角為銳角,求x的取值范圍.解(1)因?yàn)閍∥b,所以xx(2x+3)=0,解得x=0或x=2.當(dāng)x=0時,a=(1,0),b=(3,0),所以ab=(2,0),則|ab|=2.當(dāng)x=2時,a=(1,2),b=(1,2),所以ab=(2,4),則|ab|=25.綜上,|ab|=2或25.(2)因?yàn)閍與b的夾角為銳角,所以a·b>0,即2x+3x2>0,解得1<x<3.又當(dāng)x=0時a∥b,故x的取值范圍是(1,0)∪(0,3).8.已知三個點(diǎn)A(2,1),B(3,2),D(1,4).(1)求證:AB⊥AD;(2)若四邊形ABCD為矩形,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及矩形ABCD兩對角線所夾的銳角的余弦值.證明∵A(2,1),B(3,2),D(1,4),∴AB=(1,1),AD=(3,3).又AB·AD=1×(3)+1×3∴AB⊥AD,∴AB⊥(2)解∵AB⊥AD,四邊形ABCD為矩形,∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則DC=(x+1,y4).又AB=(1,1),∴x+1=1,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5).∴AC=(2,4),BD=(4,2),∴|AC|=25,|BD|=25,AC·BD=8+8=16.設(shè)AC與BD的夾角為θ,則cosθ=AC·關(guān)鍵能力提升練9.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足BA+BC=2BP,則PC·PDA.2 B.1 C.2 D.22答案B解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳D∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以BA=(0,2),BC=(2,0),因?yàn)锽A+BC=2BP,所以2BP=(0,2)+(2,0)=(2,2),故BP=(1,1),故P(1,1),PD=(0,1),PC=所以PC·PD=0×1+1×(1)=10.已知a,b,c均為單位向量,且|a+b|=1,則(ab)·c的取值范圍是()A.[0,1] B.[1,1]C.[3,3] D.[0,答案C解析由a,b為單位向量和|a+b|=1的幾何意義,可知|ab|=3,設(shè)ab與c的夾角為θ,則(ab)·c=|ab||c|·cosθ=3cosθ,∵cosθ∈[1,1],∴(ab)·c的取值范圍為[3,311.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點(diǎn),則|PA+3PB|的最小值為()A.3 B.5 C.7 D.8答案B解析如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=a,則A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),設(shè)P(0,x)(0≤x≤a),則PA+3PB=(2,x)+3(1,ax)=(5,3a4x),所以|PA+3PB|=25+(3a-4x)2≥5,當(dāng)且僅當(dāng)x=34a時,等號成立.故12.(多選題)(2021江蘇南京期中)如圖,4×6的方格紙中有一個向量OA(以圖中的格點(diǎn)O為起點(diǎn),格點(diǎn)A為終點(diǎn)),則下列說法正確的有()A.分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中,與OA是相反向量的共有11個B.滿足|OA-OB|=10的格點(diǎn)B共有C.滿足OA·OB=1的格點(diǎn)B共有D.存在格點(diǎn)B,C,使得OA答案BCD解析對于A,分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中,與OA是相反向量的共有18個,故A錯誤;以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,則A(1,2),設(shè)B(m,n)(3≤m≤3,2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z).對于B,若|OA-OB|=則(1m)2+(2n)2=10(3≤m≤3,2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z),得B的坐標(biāo)可以為(0,1),(2,1),(2,1),共三個,故B正確;對于C,若OA·OB=1,則m+2n=1(3≤m≤3,2≤n≤2,且m∈Z,n∈得B的坐標(biāo)可以為(1,0),(3,1),(1,1),(3,2),共4個,故C正確;對于D,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知,當(dāng)B,C的坐標(biāo)滿足B(1,0),C(0,2)或B(0,2),C(1,0)時,OA=OB+OC成立,故選BCD.13.已知向量a=(3,1),b是不平行于x軸的單位向量,且a·b=3,則b=.

答案1解析設(shè)b=(x,y).∵|b|=x2+y2=1,∴x2+y∵a·b=3x+y=3,∴x2+[3(1x)]2=1.∴4x26x+2=0.∴2x23x+1=0.∴x1=1,x2=12,∴y1=0,y2=3∵當(dāng)b=(1,0)時,b是與x軸平行的向量,舍去,∴b=1214.如圖,在△ABC中,AB·AC=0,|AB|=8,|AC|=6,l為線段BC的垂直平分線,l與BC交于點(diǎn)D,E為l上異于D(1)求AD·CB(2)判斷AE·CB的值是否為一個常數(shù),解(1)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),BC所在直線為x軸,直線l為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),由題意易知|BC|=10,則D(0,0),B(5,0),C(5,0),A75此時AD=-7所以AD·CB=75×(10)+-245(2)是一個常數(shù).理由如下:設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,y)(y≠0),此時AE=所以AE·CB=75×(10)+y-245×0=14,15.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),設(shè)m=a+tb(t∈R).(1)若α=π4,求當(dāng)|m|取最小值時實(shí)數(shù)t的值(2)若a⊥b,問:是否存在實(shí)數(shù)t,使得向量ab與向量m的夾角為π4?若存在,求出實(shí)數(shù)t;若不存在,請說明理由解(1)當(dāng)α=π4時,b=22,22,a∴|m|=(=t2∴當(dāng)t=322時,|m|(2)存在.假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)t.由條件得cosπ4∵a⊥b,∴|ab|=(a|a+tb|=(a(ab)·(a+tb)=5t,∴5-∴t2+5t5=0,且t<5,得t=-5±3∴存在t=-5±35學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.已知向量a,b滿足|a|=5,b=(1,3),且(2a+b)⊥b.(1)求向量a的坐標(biāo);(2)求向量a與b的夾角.解(1)設(shè)a=(x,y),因?yàn)閨a|=5,則x2+y又因?yàn)閎=(1,3),且(2a+b)⊥b,2a+b=2(x,y)+(1,3)=(2x+1,2y3),所以(2x+1,2y3)·(1,3)=2x+1+(2y3)×(3)=0,即x3y+5=0,②由①②解得x所以a=(1,2)或a=(2,1).(2)設(shè)向量a與b的夾角為θ,所以cosθ=a·b或cosθ=a·b|因?yàn)?≤θ≤π,所以向量a與b的夾角θ=3π17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(s