專題05圓錐曲線之焦點三角形（講義）原卷版

專題05圓錐曲線之焦點三角形一、橢圓的焦點三角形：橢圓上任意一點與兩焦點、構(gòu)成的三角形:。秒殺技巧與性質(zhì)一：1.周長為定值：。2.當(dāng)點靠近短軸端點時增大，當(dāng)點靠近長軸端點時減??；與短軸端點重合時最大。(注：橢圓中端點三角形(長軸兩端點與橢圓上一點構(gòu)成)當(dāng)P在短軸端點時頂角最大。)秒殺技巧與性質(zhì)二：3.三角形面積：，即與短軸端點重合時面積最大。秒殺技巧與性質(zhì)三：4.焦點直角三角形:底角為，有四個(四個全等，點為通徑端點。)；頂角為，即以為直徑的圓與橢圓交點為點：。秒殺技巧與性質(zhì)四：5.雙曲線:ⅰ.焦點直角三角形的個數(shù)：一定為八個，頂角為直角與底角為直角的各為四個；ⅱ.為焦點三角形的頂角)=。等面積思想在解題時非常重要。二、雙曲線的焦點三角形：雙曲線上任意一點與兩焦點、構(gòu)成的三角形:。已知雙曲線方程為如圖，頂點在第一象限，對于雙曲線焦點三角形，秒殺技巧與性質(zhì)一：如圖，、是雙曲線的焦點，設(shè)P為雙曲線上任意一點，記，則的面積.秒殺技巧與性質(zhì)二：1、如圖，有，2、離心率.秒殺技巧與性質(zhì)三：雙曲線中，焦點三角形的內(nèi)心的軌跡方程為.證明：設(shè)內(nèi)切圓與的切點分別為，則由切線長定理可得,因為，，所以，所以點的坐標(biāo)為，所以點的橫坐標(biāo)為定值a.題型【一】、以焦點三角形的周長為情景命題例1、（2020·西藏南木林縣第一中學(xué)高三月考）若橢圓（其中a＞b＞0）的離心率為，兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，且△F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．例2、（2018·遼寧大連·統(tǒng)考二模）設(shè)橢圓的左焦點為，直線與橢圓交于兩點，則周長的取值范圍是（

）A． B． C． D．例3、（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，直線與交于，兩點，，且的面積為，則的離心率是（

）A． B． C．2 D．3例4、（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的漸近線方程為，左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線l交雙曲線的右支于M，N兩點，若的周長為36，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．1、（2020·黑龍江）已知點分別是橢圓的左、右焦點,點在此橢圓上,則的周長等于（）A．20 B．16 C．18 D．142．（2019·廣西南寧）定義：橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點三角形，已知橢圓的焦距為，焦點三角形的周長為，則橢圓的方程是__________．3．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：的左，右焦點分別為，，過C的右焦點且傾斜角為的直線交C右支于A，B兩點，AB中點為W，，△的周長等于12，則（

）A．a(chǎn)＝3 B．雙曲線C的漸近線方程為C． D．4．（2022·全國·模擬預(yù)測）（多選題）已知橢圓的左、右焦點分別為、，直線與橢圓相交于點、，則（

）A．橢圓的離心率為B．存在，使為直角三角形C．存在，使的周長最大D．當(dāng)時，四邊形面積最大5．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選題）已知雙曲線的左、右焦點別為，，過點的直線l與雙曲線的右支相交于兩點，則（

）A．若的兩條漸近線相互垂直，則B．若的離心率為，則的實軸長為C．若，則D．當(dāng)變化時，周長的最小值為6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．題型【二】、以焦點三角形的面積為情景命題例5、（2020·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，且，若的面積為9，則__________．例6、（2020·云南陸良）已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則（）A．2 B．4 C．6 D．8例7、（2019·安徽蚌埠·蚌埠二中?？级＃┮阎獟佄锞€的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點且與雙曲線交于?兩點，為坐標(biāo)原點，且的面積為，則雙曲線的離心率為A． B．4 C．3 D．2例8、（2019·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的左右焦點分別為，以它的一個焦點為圓心，半徑為的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線分別切于兩點，則四邊形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．61、（2020·山西大同）已知、為雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則的面積為2．（2020·上海普陀·高三三模）設(shè)為雙曲線（）的上一點，，（為左、右焦點），則的面積等于（）A． B． C． D．3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是雙曲線的兩個焦點，為坐標(biāo)原點，點在上且，則的面積為（

）A． B．3 C． D．24．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選題）已知橢圓的離心率為，為橢圓的左、右頂點，為橢圓的左、右焦點，是橢圓上異于的任意一點，過作直線的垂線，垂足為，直線交于點，交橢圓于兩點，△的面積最大值為12，則（

）A．B．若，則的最大值為C．在圓上運動D．5．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）焦點在軸上的橢圓與拋物線，橢圓的右焦點與拋物線的焦點均為，為橢圓上一動點，橢圓與拋物線的準(zhǔn)線交于、兩點，則的最大值為.6．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在的左支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當(dāng)取最小值16時，面積的最大值為.題型【三】、以焦點弦為情景命題例9、（2021·浙江·統(tǒng)考二模）已知，是雙曲線的左?右焦點，過的直線交雙曲線的右支于，兩點，且，，則下列結(jié)論正確的有.①雙曲線的離心率；②雙曲線的一條漸近線斜率是；③線段；④的面積是.例10、（2020·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）橢圓，過原點O斜率為的直線與橢圓交于C，D，若，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．例11、（2019·湖南永州·校聯(lián)考二模）已知橢圓的左焦點為，過點作斜率為的直線交橢圓于兩點，則的長度為（

）A． B． C． D．例12、（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓，的上頂點為A，兩個焦點分別為，離心率為，過且斜率為的直線與交于兩點，四邊形的面積為，則四邊形的周長是．1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是．2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是橢圓的左焦點，過作斜率為的直線交橢圓于，兩點，若線段MN的長等于橢圓短軸長的，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，一條漸近線方程為，過雙曲線C的右焦點作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若的周長為36，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東汕頭·金山中學(xué)校考一模）（多選題）已知橢圓的長軸長為4，離心率為分別為橢圓的左、右焦點，過點的直線與橢圓相交于A，B兩點，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．橢圓上存在點，使得C．是橢圓上一點，若，則D．若的內(nèi)切圓半徑分別為，當(dāng)時，直線的斜率題型【四】、以焦點弦與其它知識為情景命題例13．（2020·吉林松原·高三其他（文））已知點是雙曲線上一點，，分別為雙曲線的左?右焦點，若的外接圓半徑為4，且為銳角，則（）A．15 B．16 C．18 D．20例14、（2022·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）弓琴，是弓琴彈撥弦鳴樂器（如下左圖）.歷史悠久，形制原始，它脫胎于古代的獵弓，也可以稱作“樂弓”，是我國彈弦樂器的始祖.古代有“后羿射十日”的神話，說明上古生民對善射者的尊崇，樂弓自然是弓箭發(fā)明的延伸.古代傳說將“琴”的創(chuàng)始?xì)w于伏羲，也正由于他是以漁獵為生的部落氏族首領(lǐng).在我國古籍《吳越春秋》中，曾記載著：“斷竹、續(xù)竹，飛土逐肉”.常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于臺灣原住民中的布農(nóng)、鄒等民族聚居地區(qū).弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的琴腔，其正視圖即為一橢圓面，它有多條弦，撥動琴弦，發(fā)音柔弱，音色比較動聽，現(xiàn)有某專業(yè)樂器研究人員對它做出改進(jìn)，安裝了七根弦，發(fā)現(xiàn)聲音強勁悅耳.如下右圖，是一弓琴琴腔下部分的正視圖.若按對稱建立如圖所示坐標(biāo)系，恰為左焦點，均勻?qū)ΨQ分布在上半個橢圓弧上(在上的投影把線段八等分)，為琴弦，記，數(shù)列前n項和為，橢圓方程為，且，則的最小值為例15、（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知，分別為雙曲線的左，右焦點，直線l過點，且與雙曲線右支交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，，的內(nèi)切圓的圓心分別為，，則面積的取值范圍是（

）．A． B．C． D．例16、（2022·北京豐臺·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：（，）的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，．以線段為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于點M，且點M在第一象限，與另一條漸近線平行．若，則的面積是（

）A． B． C． D．1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．2．（2019·全國·高考真題）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為．3．（2019·全國·高考真題）已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A． B． C． D．4．（2021·山東淄博·統(tǒng)考二模）設(shè)橢圓的左?右焦點為?，是橢圓上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．離心率 B．的最大值為3C．△面積的最大值為 D．的最小值為2例17、（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．（1）求；（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．例18、（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點是橢圓上一動點（不與端點重合），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．例19、（2024·廣東廣州·華南師大附中?？家荒＃┮阎獧E圓的離心率為，斜率為2的直線l與x軸交于點M，l與C交于A，B兩點，D是A關(guān)于y軸的對稱點．當(dāng)M與原點O重合時，面積為．(1)求C的方程；(2)當(dāng)M異于O點時，記直線與y軸交于點N，求周長的最小值．例20、（2023·廣東廣州·廣東實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓的右焦點為，右頂點為，上頂點為，點為坐標(biāo)原點，線段的中點恰好為，點到直線的距離為．(1)求的方程；(2)設(shè)點在直線上，過作的垂線