6.1.1向量的概念（原卷版）

6.1.1向量的概念TOC\o"13"\h\z\u題型1平面向量的幾何表示 3題型2平面向量概念的辨析 4題型3相等向量與共線向量 6知識(shí)點(diǎn)一.向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2．?dāng)?shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．注意:（1）本書(shū)所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．（2）看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。R(shí)點(diǎn)二.向量的表示法1．有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．2．向量的表示方法：（1）字母表示法：如等.（2）幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說(shuō)向量.注意:（1）用字母表示向量便于向量運(yùn)算；（2）用有向線段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說(shuō)向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，即同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量．知識(shí)點(diǎn)三.向量的有關(guān)概念1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).注意:（1）向量的模．（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大?。?．零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．3．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.注意:（1）在畫單位向量時(shí)，長(zhǎng)度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；（2）將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同．4．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.注意:在平面內(nèi)，相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等．知識(shí)點(diǎn)四.向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定：與任一向量共線.注意:1.零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書(shū)寫區(qū)別.2.平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.3．共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．題型1平面向量的幾何表示【方法總結(jié)】（1）向量不僅有大小，而且有方向．大小是代數(shù)特征，方向是幾何特征．看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素，二者缺一不可.（2）要準(zhǔn)確畫出向量，應(yīng)先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).【例題1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知向量a如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．也可以用MN表示 B．方向是由M指向N C．起點(diǎn)是M D．終點(diǎn)是M【變式11】1.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某人從點(diǎn)A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003(1)作出AB、BC、CD（圖中1個(gè)單位長(zhǎng)度表示100m）；(2)求DA的模．【變式11】2.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙中(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量．(1)OA=3，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏西45°(2)OB=2【變式11】3.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在如圖的方格紙上，已知向量a，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．(1)試以B為終點(diǎn)畫一個(gè)有向線段，設(shè)該有向線段表示的向量為AB，使AB=(2)在圖中畫一個(gè)以A為起點(diǎn)的有向線段，設(shè)該有向線段表示的向量為AM，且|AM|=5【變式11】4．（2019·高一課時(shí)練習(xí)）中國(guó)象棋中規(guī)定：馬走“日”字，象走“田”字.如圖，在中國(guó)象棋的半個(gè)棋盤（4×8的矩形中每個(gè)小方格都是單位正方形）中，若馬在A處，可跳到A1處，也可跳到A2處，用向量AA題型2平面向量概念的辨析【方法總結(jié)】解決與向量概念有關(guān)問(wèn)題的方法解決與向量概念有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長(zhǎng)度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制；相等向量的核心是方向相同且長(zhǎng)度相等；單位向量的核心是方向沒(méi)有限制，但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度；零向量的核心是方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0；規(guī)定零向量與任一向量共線.只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問(wèn)題.【例題2】（2023下·海南·高一?？计谥校┫铝懈魑锢砹勘硎鞠蛄康氖牵?/p>

）A．質(zhì)量 B．距度 C．力 D．體重【變式21】1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是(

)A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量【變式21】2．（2022下·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題有（

）A．時(shí)間、距離都是向量B．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)一定相同C．所有的單位向量都相等D．共線向量一定在同一直線上【變式21】3．(多選)（2023下·貴州遵義·高一?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．有向線段AB與BA表示同一向量B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量是平行向量C．零向量與單位向量是平行向量D．單位向量都相等【變式21】4．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中有三點(diǎn)A1,0，B-1,2，題型3相等向量與共線向量【方法總結(jié)】a=b，就意味著|a|=|b|，且a與b的方向相同.（2）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來(lái)表示，與有向線段的始點(diǎn)無(wú)關(guān).（3）由向量相等的定義知，對(duì)于一個(gè)非零向量，只要不改變它的大小和方向，是可以平行移動(dòng)的.（4）因?yàn)榱阆蛄康姆较虿淮_定，因此通常規(guī)定零向量與任意向量平行.（5）向量平行不同于平面幾何中兩直線的平行，兩個(gè)平行向量的基線可以平行，也可以重合.（6）共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量．【例題3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)O是正方形ABCD的中心，則（

）A．向量AO，BO，OC，OD是相等的向量B．向量AO，BO，OC，OD是平行的向量C．向量AO，BO，OC，OD是模不全相等的向量D．AO=OC【變式31】1（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作MN//AB，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點(diǎn)或終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中，相等向量有對(duì).【變式31】2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)O是正方形ABCD的中心，則①AO＝OC；②AO//AC；③AB與CD共線；④OC⊥【變式31】3．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：(1)試找出