D5-2微積分基本定理

一變限函數(shù)及其性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束5.2微積分的根本定理二牛頓-萊布尼茲公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的計(jì)算？由積分的定義知在知可積情況下按某一方式劃分和選取后計(jì)算再求極限。通常很難計(jì)算，即使在等分區(qū)間和選取邊界點(diǎn)情況下亦是如此。例在直線運(yùn)動(dòng)的速度為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束運(yùn)動(dòng)的路程為注意到亦即是的一個(gè)原函數(shù)。由定積分的定義可知表示直線運(yùn)動(dòng)在時(shí)間段的位移，故亦即“該定積分等于被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量”。這具有普遍性，從而許多定積分的計(jì)算就可以轉(zhuǎn)化為不定積分的計(jì)算，而防止了計(jì)算惱人的機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一般地，假設(shè)函數(shù)在上可積,那么可定義上的一個(gè)函數(shù)稱它為變上限的定積分。變〔上〕限的定積分法且可積函數(shù)用定積分的方法可以構(gòu)造函數(shù)。一變限函數(shù)及其性質(zhì)〔一〕變〔上〕限定積分或〔上〕變限函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例幾何意義：用定積分的法變〔上〕限的定積分法可以構(gòu)造函數(shù)。是以為曲邊，的“面積”。顯然〔1〕以為底邊的曲邊梯形在有定義，且〔2〕當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)〔3〕在有嚴(yán)格增，故有反函數(shù)。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束變上限的定積分法可定義那么用定積分的方法注設(shè)函數(shù)在上可積。上的一個(gè)函數(shù)事實(shí)上用變下限的定積分法也可定義上的一個(gè)函數(shù)更一般的假設(shè)在連續(xù)，且值域在內(nèi)，那么用變上下限的定積分法也可定義函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束〔二〕變限函數(shù)性質(zhì)用定積分的法變〔上〕限的定積分法可以構(gòu)造函數(shù)。我們研究的性質(zhì)：定理1設(shè)在上可積,在上連續(xù)。那么性質(zhì)7目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1設(shè)在上可積,那么在上連續(xù)。證由在上可積,那么在上有界，即存在滿足注意到故那么有亦即所以在點(diǎn)連續(xù)，由任意性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2設(shè)在上可積,在連續(xù)，那么函數(shù)在可微，并有推論是的一個(gè)原函數(shù)，即有設(shè)在上連續(xù),那么機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明取使那么有另外定理2設(shè)在上可積,在連續(xù)，那么函數(shù)在可微，并有故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束在連續(xù)，由于故對(duì)于使當(dāng)時(shí)有故對(duì)取那么當(dāng)時(shí)有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束推論是的一個(gè)原函數(shù)，即有設(shè)在上連續(xù),那么證那么有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束推論設(shè)那么的一個(gè)原函數(shù)，即有注〔1〕是滿足條件的唯一原函數(shù)。(2)推論說明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.〔3〕定理把定積分這個(gè)特殊極限與導(dǎo)數(shù)這個(gè)完全不同的極限聯(lián)系起來。是機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例函數(shù)由推論可知是一個(gè)原函數(shù)，且故又有反函數(shù)故我們可以給出的幾何解釋。是函數(shù)在處的函數(shù)值，故是其反函數(shù)在函數(shù)值為時(shí)，自變量的取值。故當(dāng)如圖曲邊梯形面積為時(shí)，的取值。注意到：思考用定理推論證明積分中值定理那么使積分中值定理證明令那么由定理推論知在可導(dǎo)，且由Lagrange中值知使機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束假設(shè)又得例1證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。.證:只要證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且故在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。

分析:等價(jià)于證明即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束故作輔助函數(shù)例2使設(shè)試證至少存在一點(diǎn)且在連續(xù)，例2使機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)在連續(xù)，試證至少存在一點(diǎn)證明令顯然在可導(dǎo)，且故由羅爾定理知,存在一點(diǎn)使即且由積分中值定理得兩邊除移項(xiàng)得結(jié)論。例2使機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)在連續(xù)，試證至少存在一點(diǎn)且分析故假設(shè)令那么證明機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束令例2使設(shè)在連續(xù)，試證至少存在一點(diǎn)且那么顯然在連續(xù)且在可導(dǎo)，又故由Cauchy定理知至少存在一點(diǎn)使即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3〔Newton-Leibniz)二牛頓-萊布尼茲公式設(shè)在是的任一個(gè)原函數(shù)，那么證明由推論知也是在上的一個(gè)原函數(shù)，故注意到故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注定理3〔Newton-Leibniz)設(shè)在是的任一個(gè)原函數(shù)，那么〔1〕定理開辟了計(jì)算定積分的重要方法計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化為求的不定積分，而不定積分的計(jì)算有一系列計(jì)算方法。從而擺脫了定積分中惱人的和式計(jì)算。例3

計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)(1)(3)(4)解(1)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解(2)(3)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解(4)令有求例4設(shè)解當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其他求

設(shè)注由機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其他注意到在時(shí)是連續(xù)的，故在時(shí)是可導(dǎo)的。在時(shí)是不連續(xù)的；可知在不可導(dǎo)。

思考機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)記研究在那些點(diǎn)可導(dǎo)，并求出分析由于的原函數(shù)不定積分方法求出，牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算出來研究可導(dǎo)性行不通。故利用我們利用定理2來分析可導(dǎo)性，即分析的連續(xù)注意到函數(shù)在處連續(xù)，由定理2知性。在可導(dǎo)。當(dāng)時(shí)用定義，以為例：思考機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)記研究在那些點(diǎn)可導(dǎo)，并求出分析為求需要知道在1與x之間的表達(dá)式，這需要知道1與x的大小關(guān)系，這導(dǎo)致了要分別求機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解在時(shí)均連續(xù)，在可導(dǎo)。且當(dāng)時(shí)故思考設(shè)記研究在那些點(diǎn)可導(dǎo)，并求出思考機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)記研究在那些點(diǎn)可導(dǎo)，并求出當(dāng)時(shí)介于1與x之間。于是故在處不可導(dǎo)。同理可考察處情形。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注〔2〕對(duì)是積分中值定理對(duì)是微分中值定理〔3〕變限積分求導(dǎo)〔3〕變限積分求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特別的機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)是的一個(gè)原函數(shù),那么證明:故例5解說明目錄上頁下頁返回結(jié)束求令那么是連續(xù)函數(shù)，故故上述極限是型，故原式說明目錄上頁下頁返回結(jié)束例6確定常數(shù)a,b,c

的值,使解令那么是連續(xù)函數(shù)，故其中介于0與b之間。故說明目錄上頁下頁返回結(jié)束例6確定常數(shù)a,b,