專題04正余弦定理解三角形（原卷版）

專題04正余弦定理解三角形知識(shí)點(diǎn)1余弦定理1、公式表達(dá)：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC2、語言敘述：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍【注意】余弦定理的特點(diǎn)（1）適用范圍：余弦定理對(duì)任意的三角形都成立．（2）揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系，它含有四個(gè)不同的量，知道其中的三個(gè)量，就可求得第四個(gè)量．3、推論：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)4、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用（1）類型1：已知兩邊及一角，解三角形方法概要：先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對(duì)角)求解；（2）類型2：已知三邊解三角形法一：已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一法二：若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解知識(shí)點(diǎn)2正弦定理1、公式表示：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即asinA【注意】正弦定理的特點(diǎn)(1)適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立．(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式．(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化．2、推論：在?ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R=1\*GB3①asinA=bsinB=2\*GB3②sinA:sinB:sinC=a:b:c，=3\*GB3③asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA，=4\*GB3④a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=5\*GB3⑤a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（實(shí)現(xiàn)邊和角的互相轉(zhuǎn)化）3、正弦定理解決的兩類問題類型1：已知兩角及一邊解三角形方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值；（2）如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一；（3）如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論類型2：已知兩邊及一邊對(duì)角，解三角形（三角形多解問題）在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：當(dāng)A為銳角時(shí)：當(dāng)A為鈍角時(shí)知識(shí)點(diǎn)3三角形面積公式在?ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB邊上的高分別記作ha，hb，hc，r為內(nèi)切圓半徑，R（1）S=（2）S=知識(shí)點(diǎn)4三角形形狀的判斷1、利用余弦定理判斷三角形（1）為直角三角形或或（2）為銳角三角形，且，且（3）為鈍角三角形，且，且（4）若，則或2、利用正弦定理判斷三角形法一化角為邊：將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項(xiàng)式的有關(guān)知識(shí)(分解因式、配方等)得到邊的關(guān)系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，進(jìn)而確定三角形的形狀．利用的公式為：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)法二化邊為角：將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀．利用的公式為：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC考點(diǎn)1余弦定理解三角形【例1】（2023春·河南·高一洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在中，，，，則（）A．B．C．D．【變式11】（2023春·天津和平·高一校考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則此三角形中的最大角的大小為（）A．B．C．92°D．135°【變式12】（2022春·江蘇鹽城·高一?？计谥校ǘ噙x）在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b=5，c=3，則a的可能取值為（）A．4B．5C．D．【變式13】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）（1）在中，已知，求的值；（2）在中，已知，解這個(gè)三角形．考點(diǎn)2正弦定理解三角形【例2】（2023春·天津和平·高一校考階段練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A．B．C．D．【變式21】（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）在中,已知,,,則角的度數(shù)為（）A．B．C．或D．【變式22】（2023春·福建三明·高一校考階段練習(xí)）中，若，，則_________【變式23】（2023春·浙江嘉興·高一校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則______.考點(diǎn)3三角形解的個(gè)數(shù)判斷【例3】（2023春·河北保定·高一保定一中?？茧A段練習(xí)）在中，若，則此三角形（）A．無解B．有兩解C．有一解D．解的個(gè)數(shù)不確定【變式31】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）判斷下列三角形解的情況，有且僅有一解的是（）A．，，；B．，，；C．，，；D．，，.【變式32】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，若，，如果可解，則邊a的取值范圍是______．【變式33】（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.若有兩解，則的值可以是（）A．4B．5C．7D．10考點(diǎn)4正余弦定理邊角互化【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的外接圓的面積為（）A．B．C．D．【變式41】（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的值為_______.【變式42】（2023·高一單元測試）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，則角______.【變式43】（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，D是線段AC上的一點(diǎn)，，，求.【變式44】2023春·河北石家莊·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）若，求的大?。键c(diǎn)5三角形的面積問題【例5】（2023春·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的面積為______.【變式51】（2023·全國·高一專題練習(xí)）中，角A，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足，，，則的面積為______．【變式52】（2023春·江蘇常州·高一校考階段練習(xí)）已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，．（1）求角B的大??；（2）若，，求的面積．【變式53】（2022春·廣東肇慶·高一德慶縣香山中學(xué)?？计谥校┮阎鰽BC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角A的大?。唬?）若，求△ABC的面積．【變式54】（2023春·貴州黔西·高一校考階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的面積為，求的值．考點(diǎn)6多邊形的形狀問題【例6】（2023春·河北保定·高一保定一中?？茧A段練習(xí)）在，其內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【變式61】（2023春·湖南常德·高一臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（）A．直角三角形B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形【變式62】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，角A、、所對(duì)的邊分別為、、，且若，則的形狀是（）A．等腰且非等邊三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形【變式63】（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．A．若，則為銳角三角形B．若為銳角三角形，則C．若，則為等腰三角形D．若，則是等腰三角形【變式64】（2023春·上海松江·高一上海市松江一中?？茧A段練習(xí)）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別是，滿足，則該三角形的形狀是__________．1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，已知，則（）A．B．C．D．2．（2021春·廣東東莞·高一東莞高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若的面積為，且，則的值為（）A．B．1C．D．3．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則（）A．4B．6C．D．4．（2023春·湖北武漢·高一武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則邊c長為（）．A．B．C．或D．或5．（2023春·河南·高一洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，，，則（）A．9B．8C．5D．46．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，若有一解，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．7．（2023春·浙江溫州·高一?？茧A段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若A：B：C=3:2:1，則a:b:c=（）A．1:2:3B．3:2:1C．1::2D．2::18．（2023春·福建三明·高一三明一中校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，，，則是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）一個(gè)銳角三角形的三邊長為，，，則，，的值可能為（）A．，，B．，，C．，，D．，，10．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．a(chǎn)>cC．c>aD．11．（2023春·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，下列說法正確的是（）A．若，則是鈍角三角形B．若，則C．若，則是銳角三角形D．若，，，則只有一解12．（2023春·河北保定·高一保定一中?？茧A段練習(xí)）（多選）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．的面積為13．（2022春·江蘇鹽城·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A：B：C=1：2：3，則=___________.14．（2023春·安徽滁州·高一安徽省滁州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，，則三角形外接圓半徑為_____________．15．（2023春·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）邊長為10，14，16的三角形中最大角與最小角的和為________．16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的值為______.17．（2023春·河南