備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練專題13三角函數(shù)(全題型壓軸題)(學(xué)生版+解析)

專題13三角函數(shù)（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1二、函數(shù)的圖象變換 3三、三角函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題（解答題） 4四、三角函數(shù)解答題綜合 8五、三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合 11一、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（2024·天津紅橋·一模）將函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向左平移單位，得到函數(shù)的部分圖象（如圖所示）．對(duì)于，，且，若，都有成立，則下列結(jié)論中不正確的是（

）

A．B．C．在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在的零點(diǎn)為，則2．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，它的兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)之間的距離為．若先將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將其圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖像，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．84．（多選）（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，則下列四個(gè)命題正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，B．直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C．若當(dāng)時(shí)，，則D．若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則5．（多選）（23-24高一下·山東濟(jì)寧·期中）已知函數(shù)，將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，設(shè)函數(shù)，R則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．是函數(shù)的一個(gè)周期B．直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上的最大值為D．若函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)，則6．（23-24高一下·上海·期中）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有5個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，則．7．（23-24高一下·上?！て谥校┰O(shè)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有7個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.二、函數(shù)的圖象變換1．（23-24高三·全國(guó)·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，當(dāng)時(shí)，取到最大值，若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三·湖南·階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若使成立的a、b有，則下列直線中可以是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸的是A． B．C． D．3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意的，都有，且存在，，點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心.若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則.4．（23-24高三·河南·階段練習(xí)）定義在上的偶函數(shù)滿足，且，當(dāng)時(shí)，.已知方程在區(qū)間上所有的實(shí)數(shù)根之和為.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則，.三、三角函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題（解答題）1．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（23-24高一下·海南·期末）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函數(shù)，圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為.(1)求函數(shù)的解析式和在區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)方程在上有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（24-25高一·江蘇·假期作業(yè)）已知向量，，若函數(shù)的最小正周期為．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的周期和對(duì)稱軸方程；(2)若將的圖像上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像．若方程在上的零點(diǎn)從小到大依次為，，，求的值；(3)若方程在上的解為，求．6．（23-24高一下·河北邢臺(tái)·期中）已知向量，若函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若，求的最值及取得最值時(shí)的值；(3)若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若的最小正周期為．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在上有三個(gè)不同零點(diǎn)，，，且．①求實(shí)數(shù)a取值范圍；②若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．四、三角函數(shù)解答題綜合1．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為．函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；(2)若，使恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2．（23-24高一下·四川達(dá)州·期末）已知函數(shù)，其中，．(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；(2)若存在，使得成立，求t的取值范圍．3．（23-24高一下·山東淄博·期中）已知向量，，函數(shù)，其中.(1)若，，求函數(shù)的對(duì)稱中心；(2)若，函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在（m，且），上恰好有8個(gè)零點(diǎn)，求的最小值；(3)已知函數(shù)，在第（2）問(wèn)條件下，若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.4．（23-24高一下·四川達(dá)州·期中）已知向量，，其中，函數(shù)，且的圖象上兩條相鄰對(duì)稱軸的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若對(duì)，關(guān)于的不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示.(2)，將的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù).若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.五、三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)，當(dāng)函數(shù)的切線的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求在軸上的截距的取值范圍；(3)設(shè)，若是函數(shù)在上的極值點(diǎn)，求證：.2．（23-24高二下·安徽·期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)，若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍.3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求在區(qū)間內(nèi)的極大值；(2)令函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．4．（23-24高二下·江西新余·期末）閱讀材料一：“裝錯(cuò)信封問(wèn)題”是由數(shù)學(xué)家約翰伯努利（JohannBernoulli，1667~1748）的兒子丹尼爾伯努利提出來(lái)的，大意如下：一個(gè)人寫了封不同的信及相應(yīng)的個(gè)不同的信封，他把這封信都裝錯(cuò)了信封，問(wèn)都裝錯(cuò)信封的這一情況有多少種？后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler，1707~1783）給出了解答：記都裝錯(cuò)封信的情況為種，可以用全排列!減去有裝正確的情況種數(shù)，結(jié)合容斥原理可得公式：，其中.閱讀材料二：英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處階可導(dǎo)，則有：，注表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.閱讀以上材料后請(qǐng)完成以下問(wèn)題：(1)求出的值；(2)估算的大?。ūＡ粜?shù)點(diǎn)后2位），并給出用和表示的估計(jì)公式；(3)求證：，其中.5．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).專題13三角函數(shù)（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1二、函數(shù)的圖象變換 12三、三角函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題（解答題） 16四、三角函數(shù)解答題綜合 30五、三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合 42一、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（2024·天津紅橋·一模）將函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向左平移單位，得到函數(shù)的部分圖象（如圖所示）．對(duì)于，，且，若，都有成立，則下列結(jié)論中不正確的是（

）

A．B．C．在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在的零點(diǎn)為，則【答案】C函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則，，，，，故，所以，故D正確；故選：C．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問(wèn)題的求解思路：（1）將函數(shù)解析式變形為或的形式；（2）將看成一個(gè)整體；（3）借助正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如定義域、值域、最值、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等）解決相關(guān)問(wèn)題.2．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】首先根據(jù)函數(shù)的平移規(guī)則得到的解析式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合的對(duì)稱性計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為，且為偶函數(shù)，又函數(shù)的圖象是由的圖象將軸下方的部分關(guān)于軸對(duì)稱上去，軸及軸上方部分保持不變而得到，所以的對(duì)稱軸為，又的圖象是將的圖象向上平移一個(gè)單位得到，所以的圖象如下所示：

因?yàn)殛P(guān)于的方程在上有個(gè)實(shí)數(shù)根，即與在上有個(gè)交點(diǎn)，又，，所以，令與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，則關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題或方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，將代數(shù)問(wèn)題幾何化，借助圖象分析，大大簡(jiǎn)化了思維難度，首先要熟悉常見(jiàn)的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對(duì)稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問(wèn)題，通常考慮圖象的對(duì)稱性進(jìn)行解決.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，它的兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)之間的距離為．若先將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將其圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖像，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【優(yōu)尖升-分析】求出的解析式，將在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出圖象求解.

由圖可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.又，所以函數(shù)在上有6個(gè)零點(diǎn).故選：C.［點(diǎn)睛］關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)與含絕對(duì)值的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，對(duì)關(guān)鍵地方需要計(jì)算大小關(guān)系.4．（多選）（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，則下列四個(gè)命題正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，B．直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C．若當(dāng)時(shí)，，則D．若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ACD【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)圖象求出的解析式，求出，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)遞增區(qū)間判斷A；代入驗(yàn)證是否為對(duì)稱軸判斷B；當(dāng)時(shí)，利用周期得，結(jié)合圖象得，求出的取值范圍，判斷C；根據(jù)圖象變換求出，根據(jù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象，得到取值范圍，判斷D.【詳解】的最小正周期為，由題圖可得，所以，，，得，又，所以，所以，對(duì)于A，，由，，解得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，利用周期得，，結(jié)合函數(shù)圖象，可知，若，，解得，故C正確，對(duì)于D，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象,再將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到的圖象，故.當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)零點(diǎn)，所以，得號(hào)，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)中參數(shù)的確定：由函數(shù)的最值可確定的值；由函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)及最高、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得最小正周期，進(jìn)而可求得的值；由函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)或最高、最低點(diǎn)的坐標(biāo)可得的值．函數(shù)的單調(diào)性利用換元法可解決.5．（多選）（23-24高一下·山東濟(jì)寧·期中）已知函數(shù)，將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，設(shè)函數(shù)，R則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．是函數(shù)的一個(gè)周期B．直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上的最大值為D．若函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)，則【答案】BCD【優(yōu)尖升-分析】首先根據(jù)圖象的平移伸縮變換得到函數(shù)的解析式，再根據(jù)選項(xiàng)逐一判斷求解.【詳解】將函數(shù)圖象上所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再將圖象上各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，所以.A選項(xiàng)，由于，所以不是的周期，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于所以關(guān)于直線對(duì)稱，因此B正確；C選項(xiàng)，時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取最大值為，故C正確；D選項(xiàng)，，令，則對(duì)稱軸，①若或，即或時(shí)，在單調(diào)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)不可能在有四個(gè)根，不符合題意，舍去；②若，即時(shí)，在先增后減，且，只需，解得，此時(shí)，，使得，且有4個(gè)解，所以D正確.故選：BCD.6．（23-24高一下·上?！て谥校┮阎瘮?shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有5個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，則．【答案】【優(yōu)尖升-分析】首先根據(jù)函數(shù)的平移規(guī)則得到的解析式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合的對(duì)稱性計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為，且為偶函數(shù)，又函數(shù)的圖象是由的圖象將軸下方的部分關(guān)于軸對(duì)稱上去，軸及軸上方部分保持不變而得到，所以的對(duì)稱軸為，又的圖象是將的圖象向上平移一個(gè)單位得到，所以的圖象如下所示：因?yàn)殛P(guān)于的方程在上有個(gè)實(shí)數(shù)根，即與在上有個(gè)交點(diǎn)，又，，所以，令與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，則關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題或方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，將代數(shù)問(wèn)題幾何化，借助圖象分析，大大簡(jiǎn)化了思維難度，首先要熟悉常見(jiàn)的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對(duì)稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問(wèn)題，通?？紤]圖象的對(duì)稱性進(jìn)行解決.7．（23-24高一下·上?！て谥校┰O(shè)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有7個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【優(yōu)尖升-分析】先根據(jù)三角函數(shù)圖象變換判斷當(dāng)時(shí)不成立，再分析當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為0，1，2時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，又不可能有7個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)不滿足題意；由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，最小值為.①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有7個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，即，故零點(diǎn)分別為時(shí)取得.故，解得；②當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).此時(shí)有6個(gè)零點(diǎn)，即，即，故零點(diǎn)分別為時(shí)取得.此時(shí)，解得.又滿足，故滿足條件題意；③當(dāng)，即時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上有1個(gè)零點(diǎn)，又，則1.當(dāng)，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，故有2個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn)，即，即，故零點(diǎn)分別為時(shí)取得.此時(shí)，解得，綜上有2.當(dāng)，即時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)，故有1個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有6個(gè)零點(diǎn)，即，不滿足；綜上有或或.故答案為：二、函數(shù)的圖象變換1．（23-24高三·全國(guó)·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，當(dāng)時(shí)，取到最大值，若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】由已知可得，由得出對(duì)稱中心及對(duì)稱軸，得出，再得出的解析式，再有變換得出，再分別畫出與圖象，得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)，，即，又，為的一條對(duì)稱軸，且，則為的一個(gè)對(duì)稱中心，由于，所以與為同一周期里相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，則，．又，且，解之得，．故，由圖象變換可得，．因?yàn)樵谔幍那芯€斜率為，在處切線斜率不存在，即切線方程為．所以右側(cè)圖象較緩,如圖所示，同時(shí)時(shí)，，所以的零點(diǎn)有個(gè)．故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)及零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，屬于難題.2．（23-24高三·湖南·階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若使成立的a、b有，則下列直線中可以是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸的是A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)三角函數(shù)平移關(guān)系求出的解析式，結(jié)合成立的有，求出的關(guān)系，結(jié)合最小值建立方程求出的值即可.【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，即，若成立，即，即，則與一個(gè)取最大值1，一個(gè)取最小值?1，不妨設(shè)，則，得，則，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，則或，即或（舍），即，由，得，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸方程為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象平移，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的最值性建立方程關(guān)系求出的大小，結(jié)合最小值求出的值是解決本題的關(guān)鍵.考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，有一定難度.3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意的，都有，且存在，，點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心.若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則.【答案】【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)三角恒等變換得（其中為銳角且），再根據(jù)題意得，解得，再根據(jù)點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心，得，從而求出解析式，之后再根據(jù)平移變換求解即可.【詳解】解：（其中為銳角且），因?yàn)閷?duì)任意，，恒有成立，且存在，，所以，解得（負(fù)根舍去），所以.又因?yàn)辄c(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心，即，得.因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖像平移變換等問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，是中檔題.4．（23-24高三·河南·階段練習(xí)）定義在上的偶函數(shù)滿足，且，當(dāng)時(shí)，.已知方程在區(qū)間上所有的實(shí)數(shù)根之和為.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則，.【答案】24【解析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)且，所以的周期為，的實(shí)數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得所有實(shí)數(shù)根的和為，從而可得參數(shù)的值，最后求出函數(shù)的解析式，代入求值即可.【詳解】解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)且，所以的周期為.因?yàn)闀r(shí)，，所以可作出在區(qū)間上的圖象，而方程的實(shí)數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖，可知兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間上有六個(gè)交點(diǎn).由圖象的對(duì)稱性可知，此六個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，所以，故.因?yàn)?，所?故.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性的應(yīng)用，函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.三、三角函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題（解答題）1．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象先確定的值，再由和，解得，最后將點(diǎn)代入得，，解得，即；（2）由得，，再結(jié)合的單調(diào)性即可求解；（3）由得，，作出函數(shù)在上的圖象，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可求解.【詳解】（1）由圖可得，，解得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以，故的解析式為?（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵诤蛦握{(diào)遞減，由，得，由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是和.（3）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵诤蜕蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，得，由，得，由，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的圖象如圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，求解單調(diào)區(qū)間，以及將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)求解.2．（23-24高一下·海南·期末）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)和(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）先利用三角函數(shù)恒等變換公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形結(jié)合周期可求出，再由結(jié)合可求得結(jié)果；（2）利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，則方程轉(zhuǎn)化為，令，則，再變形后，利用換元法可求出答案.【詳解】（1），因?yàn)樽钚≌芷跒椋?，得，所以，由，得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為和；（2）將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，再將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得，所以，方程，即為方程，令，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以原方程化為，所以，令，則，，因?yàn)樵谏线f減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，考查求余弦函數(shù)的值域，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是復(fù)利用多次換元將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求對(duì)勾函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，考查計(jì)算能力和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.3．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函數(shù)，圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為.(1)求函數(shù)的解析式和在區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)方程在上有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）利用三角恒等變換得到，然后根據(jù)題意得到周期，代入周期的計(jì)算公式可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)增區(qū)間代入即可求解；（2）用換元法，由（1）得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程根分布問(wèn)題即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閳D象中相鄰兩根對(duì)稱軸的距離為，所以周期，所以，又因?yàn)椋?，所以，令，解得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由（1），令，由，可得，則，由題意可知，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且與在上均有兩個(gè)不等的實(shí)根，因?yàn)榈膱D象如圖所示，故，

所以關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，則，即，解得故實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，考查正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題，第二問(wèn)解題的關(guān)鍵是通過(guò)換元將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個(gè)根，再利用根分布問(wèn)題討論即可求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.4．（24-25高一·江蘇·假期作業(yè)）已知向量，，若函數(shù)的最小正周期為．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，求出函數(shù)的周期，得到，然后求得函數(shù)解析式；（2）將函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的方程在上有解的問(wèn)題來(lái)處理，需經(jīng)幾次換元，注意范圍．【詳解】（1）由，，可得因?yàn)榍液瘮?shù)的最小正周期為，則，解得，所以，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，解得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）可得：，，，由函數(shù)在有零點(diǎn)可知：方程，即在上有解，因?yàn)?，則，設(shè)，，原方程化為，整理得，方程等價(jià)于在,有解，設(shè)，當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，故；當(dāng)時(shí)，在，上有解在,上有解，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域，設(shè)，則，，，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即的取值范圍是，由原方程在,上有實(shí)數(shù)解可得，解得或，即．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查分類思想的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想及計(jì)算能力，屬難題．5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的周期和對(duì)稱軸方程；(2)若將的圖像上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像．若方程在上的零點(diǎn)從小到大依次為，，，求的值；(3)若方程在上的解為，求．【答案】(1)，對(duì)稱軸方程，(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式及輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和對(duì)稱性求解即可；（2）先根據(jù)平移變換和周期變換的原則求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）由題意可得為方程在上的兩解，不妨設(shè)，求出，再根據(jù)二倍角的余弦公式即可得解.【詳解】（1），，令，得∴對(duì)稱軸方程；（2）由題意可得，由方程由，可得，因?yàn)?，則，令，則，所以，，設(shè)，直線與函數(shù)在上的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，，即，即，解得；（3）方程在上的解為，∴為方程在上的兩解，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，，，，，，∴．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：給值求值的方法：（1）直接法：當(dāng)已知兩個(gè)角時(shí)，所求角一般表示為兩個(gè)角的和或差的形式；（2）常值代換：用某些三角函數(shù)代替某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)公式，我們把這種代換稱之為常值代換，其中要特別注意的是“”的代換，如，，等，、、、、等均可視為某個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù)使用；（3）角的代換：將未知角利用已知角表示出來(lái)，使之能直接運(yùn)用公式，像這樣的方法就是角的代換，常見(jiàn)的有：，，，，，，等.6．（23-24高一下·河北邢臺(tái)·期中）已知向量，若函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若，求的最值及取得最值時(shí)的值；(3)若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)最小值為－1，此時(shí)；最大值為2，此時(shí)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算公式和三角恒等變換可求出的解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)周期公式即可計(jì)算周期.（2）根據(jù)給定區(qū)間求已知函數(shù)的最值，可采用換元法等價(jià)變換為簡(jiǎn)單的正弦函數(shù)，先判斷單調(diào)性，進(jìn)而求出最值和相應(yīng)的x值.（3）函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于其對(duì)應(yīng)的方程在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，即可求出參數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為；綜上，的最小值為－1，此時(shí)；最大值為2，此時(shí)．（3）因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以在內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根，得，即，即函數(shù)在上的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，畫出在上的圖象如下，結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)在區(qū)間上的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，所以，即的取值范圍是．7．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若的最小正周期為．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在上有三個(gè)不同零點(diǎn)，，，且．①求實(shí)數(shù)a取值范圍；②若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)①；②．【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)即可.（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的方程，再利用韋達(dá)定理、三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1），因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，即，所以．?）①由（1）知，由，可得，令，則，，若函數(shù)在有三個(gè)零點(diǎn)，即在有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，也就是關(guān)于t的方程在區(qū)間有一個(gè)實(shí)根，另一個(gè)實(shí)根在上，或一個(gè)實(shí)根是1，另一個(gè)實(shí)根在，當(dāng)一個(gè)根在，另一個(gè)實(shí)根在，所以，即，解得：，當(dāng)一個(gè)根為0時(shí)，即，所以，此時(shí)方程為，所以，不合題意；當(dāng)一個(gè)根是，即，解得，此時(shí)方程為，所以，不合題意；當(dāng)一個(gè)根是1，另一個(gè)實(shí)根在，由得，此時(shí)方程為，解得或，這兩個(gè)根都不屬于，不合題意，綜上a的取值范圍是．②設(shè)，為方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，由①知，，，所以，即，，所以，即，由得，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以，又，且，所以，所以，整理得，因?yàn)椋?，解得或，又，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用換元法，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，結(jié)合韋達(dá)定理從而得到相關(guān)不等式組，解出即可.四、三角函數(shù)解答題綜合1．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為．函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；(2)若，使恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)定義域結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)值域；（2）先應(yīng)用換元法得出復(fù)合函數(shù)的最值，恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化得出參數(shù).【詳解】（1）∵的對(duì)稱中心為，,∴，即，∵，∴，此時(shí)．（2），∵，∴，設(shè)，，則有的函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為的拋物線，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，解得，∴；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴，解得，故；當(dāng)時(shí)，，故，解得，∴，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．2．（23-24高一下·四川達(dá)州·期末）已知函數(shù)，其中，．(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；(2)若存在，使得成立，求t的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二倍角公式、輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)x的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）將所求問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為，當(dāng)，再對(duì)t進(jìn)行分類討論并根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算最大值即可.【詳解】（1）由題意得，，又因?yàn)?，所以，由正弦函?shù)性質(zhì)可知，，即，所以的值域?yàn)?（2）若，使得成立，則等價(jià)于時(shí)，即可.①由（1）可知，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，所以，即，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，，解得，所以.②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，顯然成立.綜上得，，所以的取值范圍是.3．（23-24高一下·山東淄博·期中）已知向量，，函數(shù)，其中.(1)若，，求函數(shù)的對(duì)稱中心；(2)若，函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在（m，且），上恰好有8個(gè)零點(diǎn)，求的最小值；(3)已知函數(shù)，在第（2）問(wèn)條件下，若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）利用倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由已知確定最小正周期，可得，整體代入法求的對(duì)稱中心；（2）由圖象平移變換得到函數(shù)，結(jié)合和，得，根據(jù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可得，要使最小，則恰好為的零點(diǎn)，由此求的最小值；（3）根據(jù)已知，在上，的值域是值域的子集，求出這兩個(gè)值域，由包含關(guān)（3）由（2）知，，設(shè)在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，若?duì)任意，存在，使得成立，則，當(dāng)，，，則，當(dāng)，，，則，由可得，又，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.若在上恰好有8個(gè)零點(diǎn)，要使最小，則需要恰好為的零點(diǎn)；2.，存在，使得，則在定義區(qū)間內(nèi)的值域是值域的子集.4．（23-24高一下·四川達(dá)州·期中）已知向量，，其中，函數(shù)，且的圖象上兩條相鄰對(duì)稱軸的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若對(duì)，關(guān)于的不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)，(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和三角恒等變換將其化成正弦型函數(shù)，依題求出即得；（2）先求出函數(shù)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間，再與給定區(qū)間求交即得；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于難題.解決此類題的關(guān)鍵是，根據(jù)解析式特點(diǎn)進(jìn)行三角恒等變換，將其化成正弦型函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象解決問(wèn)題；對(duì)于恒成立問(wèn)題，常常尋求參變分離法，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)的的值域.5．（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；(2)函數(shù)的圖象與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，記三個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為且，求的值；(3)函數(shù)，若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，都有成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得及周期，即可求得，再利用待定系數(shù)法求出即可；（2），令，由題意可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性求出即可得解；（3）先求出，令，由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）由圖象可知?jiǎng)t，則，又，所以，所以，又，所以，所以的解析式為；（2），令，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)或的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出；（3）取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值.6．（23-24高一下·上海·期中）已知，其中.(1)若對(duì)任意的恒成立，且，求的值：(2)若，函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在（，且）上恰好有8個(gè)零點(diǎn)，求的最小值；(3)已知函數(shù)（），在第（2）問(wèn)條件下，若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）由題意可知與是相鄰的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)，從而可求出函數(shù)的最小正周期，再利用周期公式可求出；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律得到，結(jié)合和求得，根據(jù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)得，則要使最小，則恰好是的零點(diǎn)，從而可求出的最小值；（3）根據(jù)題意可得的值域是值域的子集，求出這兩個(gè)值域，列不等式組可求得結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，且，所以與是相鄰的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)，所以的最小正周期為，所以，得；（2）由題意可得，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，所以，所以，所以，或，得或，因?yàn)椋?，所以，所以的最小正周期為，令，則，所以或，得或，因?yàn)楹瘮?shù)在（，且）上恰好有8個(gè)零點(diǎn)，所以,要使最小，則恰好是的零點(diǎn)，所以的最小值為；（3）由（2）知，設(shè)在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)椋驗(yàn)閷?duì)任意，存在，使得成立，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以,因?yàn)椋?，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，考查求三角函數(shù)的值域，第（3）問(wèn)解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出兩函數(shù)的值域，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系，考查計(jì)算能力和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.7．（23-24高一下·廣東河源·期中）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)，將的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù).若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）由已知可得，求解可得不等式的解集；（2）求得，因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，可得，由，令，可得，分類討論可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得：，所以，所以不等式的解集?（2）由題意可得，因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，所以，，因?yàn)?，所以，設(shè)，可設(shè)，則的圖象為開口向下，對(duì)稱軸為的拋物線，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，故；當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，若總有成立，故.五、三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)，當(dāng)函數(shù)的切線的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求在軸上的截距的取值范圍；(3)設(shè)，若是函數(shù)在上的極值點(diǎn)，求證：.【答案】(1)在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減(2)(3)證明見(jiàn)解析【優(yōu)尖升-分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解函數(shù)的單調(diào)性，（2）利用點(diǎn)斜式求解切線方程，即可，得，根據(jù)斜率為負(fù)可得或，即可利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解，（3）求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可確定時(shí)取極大值，代入即可求證.【詳解】（1）的定義域?yàn)榱畹?令，可得或,所以在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減.（2）因?yàn)椋栽O(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為因?yàn)榍€的切線的斜率為負(fù)數(shù)，所以，解得或.在切線方程中，令，得，解得令，則或，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)可得.即在軸上的截距的取值范圍為.（3）因?yàn)?則當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令則由于，，則，故所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋栽谏嫌形ㄒ涣泓c(diǎn).即在上有唯一零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以時(shí)取極大值.所以，即得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及函數(shù)問(wèn)題的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2．（23-24高二下·安徽·期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)，若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)于函數(shù)，當(dāng)，即時(shí)恒成立，當(dāng)，即，則對(duì)稱軸為，開口向下，且當(dāng)時(shí)，則與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均大于；①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令得，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上可得：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.