（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題4.6 正余弦定理（測）-江蘇版高三全冊數(shù)學(xué)試題

專題4.6正余弦定理一、填空題1．在△ABC中，若eq\f(sinC,sinA)＝3，b2－a2＝eq\f(5,2)ac，則cosB的值為【解析】由題意知，c＝3a，b2－a2＝eq\f(5,2)ac＝c2－2accosB，所以cosB＝eq\f(c2－\f(5,2)ac,2ac)＝eq\f(9a2－\f(15,2)a2,6a2)＝eq\f(1,4).2．在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，若S＋a2＝(b＋c)2，則cosA等于3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是【解析】由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq\r(3)>1.∴角B不存在，即滿足條件的三角形不存在．4．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，若A＝eq\f(π,3)，b＝2acosB，c＝1，則△ABC的面積等于【解析】由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)，又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3)，又A＝eq\f(π,3)＝B，則△ABC是正三角形，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).5．(2017·渭南模擬)在△ABC中，若a2－b2＝eq\r(3)bc且eq\f(sinA＋B,sinB)＝2eq\r(3)，則A＝【解析】因為eq\f(sinA＋B,sinB)＝2eq\r(3)，故eq\f(sinC,sinB)＝2eq\r(3)，即c＝2eq\r(3)b，則cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(12b2－\r(3)bc,4\r(3)b2)＝eq\f(6b2,4\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝eq\f(π,6).6．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，則B＝【解析】根據(jù)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，得eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)＝eq\f(a,c＋b)，即a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，故B＝eq\f(π,3).7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝eq\f(3,5)，則b＝________.【答案】eq\f(5,7)【解析】因為cosA＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，所以sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(4,5)cos45°＋eq\f(3,5)sin45°＝eq\f(7\r(2),10).由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝eq\f(1,\f(7\r(2),10))×sin45°＝eq\f(5,7).8．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面積S＝eq\r(3)，則三角形外接圓的半徑為________．【答案】2【解析】由面積公式，得S＝eq\f(1,2)bcsinA，代入數(shù)據(jù)得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，故a＝2eq\r(3)，由正弦定理，得2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))，解得R＝2.9．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則eq\f(sin2A,sinC)＝________.【答案】110．在△ABC中，B＝120°，AB＝eq\r(2)，A的角平分線AD＝eq\r(3)，則AC＝________.【答案】eq\r(6)【解析】如圖，在△ABD中，由正弦定理，得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴sin∠ADB＝eq\f(\r(2),2).由題意知0°<∠ADB<60°，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.∴∠BAC＝30°，C＝30°，∴BC＝AB＝eq\r(2).在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，∴AC＝eq\r(6).二、解答題11．(2017·河北三市聯(lián)考)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且asinB＝－bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))).(1)求A；(2)若△ABC的面積S＝eq\f(\r(3),4)c2，求sinC的值．12．(2017·鄭州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos2C－cos2A＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋C))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－C)).(1)求角A的值；(2)若a＝eq\r(3)且b≥a，求2b－c的取值范圍．解：(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2eq\f(3,4)cos2C－eq\f(1,4)sin2C，化簡得sinA＝eq\f(\r(3),2)，故A＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).(2)由題知，若b≥a，則A＝eq\f(π,3)，又a＝eq\r(3)，所以由正弦定理可得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2，得b＝2sinB，c＝2sinC，故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝3sinB－eq\r(3)cosB＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6))).因為b≥a，所以eq\f(π,3)≤B＜eq\f(2π