（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題7.4 基本不等式及其應(yīng)用（測(cè)）-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

專題7.4基本不等式及其應(yīng)用一、填空題1.eq\r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值為_(kāi)______．【解析】因?yàn)椋?≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，則由基本不等式可知，eq\r(3－aa＋6)≤eq\f(3－a＋a＋6,2)＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－eq\f(3,2)時(shí)等號(hào)成立．2．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是_______．【解析】∵1＝2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y＝eq\f(1,2)，即x＝y(tǒng)＝－1時(shí)等號(hào)成立，∴eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤－2.3．若直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)(1,1)，則a＋b的最小值等于_______．4．已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，則a＋b的最小值是_______．【解析】因?yàn)閍>－1，b>－2，所以a＋1>0，b＋2>0，又(a＋1)(b＋2)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1＋b＋2,2)))2，即16≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋3,2)))2，整理得a＋b≥5，當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2時(shí)等號(hào)成立5．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______．【解析】∵不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，∴x＋eq\f(y,4)min＜m2－3m，∵x＞0，y＞0，且eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，∴x＋eq\f(y,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝eq\f(4x,y)＋eq\f(y,4x)＋2≥2eq\r(\f(4x,y)·\f(y,4x))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4x,y)＝eq\f(y,4x)，即x＝2，y＝8時(shí)取等號(hào)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,4)))min＝4，∴m2－3m＞4，即(m＋1)(m－4)＞0，解得m＜－1或m＞4，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．6．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng)eq\f(xy,z)取得最大值時(shí)，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值為_(kāi)______．【解析】eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq\f(1,4－3)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)z＝2y2，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝－eq\f(1,y2)＋eq\f(2,y)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))2＋1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時(shí)等號(hào)成立，故所求的最大值為1.7．已知a>0，b>0，a，b的等比中項(xiàng)是1，且m＝b＋eq\f(1,a)，n＝a＋eq\f(1,b)，則m＋n的最小值是________．【答案】4【解析】由題意知：ab＝1，∴m＝b＋eq\f(1,a)＝2b，n＝a＋eq\f(1,b)＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4eq\r(ab)＝4.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)．8．若實(shí)數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值為_(kāi)_______．【答案】2eq\r(2)9．(2017·青島模擬)已知實(shí)數(shù)x，y均大于零，且x＋2y＝4，則log2x＋log2y的最大值為_(kāi)_______．【答案】1【解析】因?yàn)閘og2x＋log2y＝log22xy－1≤log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))2－1＝2－1＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝2，即x＝2，y＝1時(shí)等號(hào)成立，所以log2x＋log2y的最大值為1.10．已知不等式2x＋m＋eq\f(8,x－1)>0對(duì)一切x∈(1，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】(－10，＋∞)【解析】不等式2x＋m＋eq\f(8,x－1)>0可化為2(x－1)＋eq\f(8,x－1)>－m－2，∵x>1，∴2(x－1)＋eq\f(8,x－1)≥2eq\r(2x－1·\f(8,x－1))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)取等號(hào)．∵不等式2x＋m＋eq\f(8,x－1)>0對(duì)一切x∈(1，＋∞)恒成立，∴－m－2<8，解得m>－10.二、解答題11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．12．(2017·常州調(diào)研)某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物的生長(zhǎng)規(guī)律，計(jì)劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為900m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3m寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為x(單位：m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(單位：m2)．(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求S的最大值．解：(1)由題設(shè)，得S＝(x－8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(900,x)－2))＝－2x－eq\f(7200,x)＋916，x∈(8,45