（江蘇版）高考數(shù)學一輪復習 專題10.4 推理與證明（講）-人教版高三全冊數(shù)學試題

專題10.4推理與證明【最新考綱解讀】內容要求備注ABC推理與證明合情推理與演繹推理

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對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認識，并能解決有一定綜合性的問題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的內在聯(lián)系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.直接證明與間接證明

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【考點深度剖析】本章知識點可以填空題或解答題的形式進行考查，涉及到分類討論的思想，著重考查學生的運算能力和邏輯推理能力，常與函數(shù)、數(shù)列、不等式結合考查，難度較大.【課前檢測訓練】【判一判】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)歸納推理得到的結論不一定正確，類比推理得到的結論一定正確．()(2)由平面三角形的性質推測空間四面體的性質，這是一種合情推理．()(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．()(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結論是錯誤的．()(5)一個數(shù)列的前三項是1,2,3，那么這個數(shù)列的通項公式是an＝n(n∈N*)．()(6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結論就一定正確．()(7)綜合法是直接證明，分析法是間接證明．()(8)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充要條件．()(9)用反證法證明結論“a>b”時，應假設“a<b”．()(10)反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾．()(11)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程．()(12)證明不等式eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(3)＋eq\r(6)最合適的方法是分析法．()1.×2.√3.×4.√5.×6.×7.×8.×9.×10.×11.√12.√【練一練】1．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于()A．28 B．76C．123 D．199【答案】C【解析】從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，依據(jù)此規(guī)律，a10＋b10＝123.2．命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是()A．使用了歸納推理B．使用了類比推理C．使用了“三段論”，但推理形式錯誤D．使用了“三段論”，但小前提錯誤【答案】C【解析】由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯誤原因是推理形式錯誤．3．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三個關系：①a≠2，②b＝2，③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c＝【答案】201若②正確，則①③不正確，得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,a＝2，,c＝0，))與互異性矛盾；若③正確，則①②不正確，得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c≠0，,a＝2，,b≠2，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0，,c＝1，))符合題意，所以100a＋10b＋c＝201.4．類比平面內“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質，可得出空間內的下列結論：①垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③垂直于同一個平面的兩個平面互相平行；④垂直于同一條直線的兩個平面互相平行．則正確的結論是()A．①② B．②③C．③④ D．①④【答案】D5．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則b1b2b3b4…bn＝________________.【答案】b1b2b3b4…b17－n(n<17，n∈N*)6．若a，b，c為實數(shù)，且a<b<0，則下列命題正確的是()A．ac2<bc2 B．a2>ab>b2C.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) D.eq\f(b,a)>eq\f(a,b)【答案】B【解析】a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab.①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②由①②得a2>ab>b2.7．用反證法證明命題：“設a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實數(shù)C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根【答案】A【解析】方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實根，故應選A.8．要證a2＋b2－1－a2b2≤0只要證明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C.eq\f((a＋b)2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【答案】D【解析】a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.9．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，則a、b應滿足的條件是__________________．【答案】a≥0，b≥0且a≠b【解析】∵aeq\r(a)＋beq\r(b)－(aeq\r(b)＋beq\r(a))＝eq\r(a)(a－b)＋eq\r(b)(b－a)＝(eq\r(a)－eq\r(b))(a－b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))．∴當a≥0，b≥0且a≠b時，(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))>0.∴aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)成立的條件是a≥0，b≥0且a≠b.10．在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為________三角形．【答案】等邊【題根精選精析】考點1合情推理與演繹推理【1-1】(2015·六合模擬)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理．【答案】小前提不正確【解析】因為f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確.【1-2】【2015年蘇州第二次聯(lián)考】某公司推出了下表所示的QQ在線等級制度，設等級為級需要的天數(shù)為，等級等級圖標需要天數(shù)等級等級圖標需要天數(shù)157772128963211219243216320545321152660482496則等級為級需要的天數(shù)__________【答案】2700【解析】由表格知，∴．【1-3】【徐州2015屆高三第四次適應性訓練】在平面中，△ABC的角C的內角平分線CE分△ABC面積所成的比.將這個結論類比到空間：在三棱錐A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且與AB交于E，則類比的結論為＝________．【答案】【1-4】(如皋2015屆高三上學期期末考試)設函數(shù)，觀察：，，，，根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當且時，＿＿＿【答案】【解析】觀察知：四個等式等號右邊的分母為，，，，即，，，，所以歸納出分母為的分母為，故當且時，.【1-5】【啟東2015屆高三第二次聯(lián)考】畫一條直線，將平面分成兩個部分；畫兩條相交直線，將平面分成四個部分，畫三條直線，最多可將平面分成7個部分，……，畫條直線，最多可將面分成個部分，則______．【答案】11【基礎知識】1.合情推理(1)定義：根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．(2)合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：①歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理．簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理；歸納推理的分類常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類a.數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯(lián)系相關的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；b.形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納．②類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．類比推理的分類:類比推理的應用一般為類比定義、類比性質和類比方法a.類比定義：在求解由某種熟悉的定義產生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解；b.類比性質：從一個特殊式子的性質、一個特殊圖形的性質入手，提出類比推理型問題，求解時要認真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉化過程是求解的關鍵；c.類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應用到其他問題的求解中，注意知識的遷移．2.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論的推理叫做演繹推理．演繹推理的特征是：當前提為真時，結論必然為真.(2)模式：三段論①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．(3)特點：演繹推理是由一般到特殊的推理．【思想方法】1.歸納推理與類比推理之區(qū)別：(1)歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理．在進行歸納時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結論．(2)類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之間的推理，其中一個對象具有某個性質，則另一個對象也具有類似的性質．在進行類比時，要充分考慮已知對象性質的推理過程，然后類比推導類比對象的性質．2.演繹推理問題的處理方法從思維過程的指向來看，演繹推理是以某一類事物的一般判斷為前提，而作出關于該類事物的判斷的思維形式，因此是從一般到特殊的推理．數(shù)學中的演繹法一般是以三段論的格式進行的．三段論由大前提、小前提和結論三個命題組成，大前提是一個一般性原理，小前提給出了適合于這個原理的一個特殊情形，結論則是大前提和小前提的邏輯結果．3.應用合情推理應注意的問題：(1)在進行歸納推理時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結論．(2)在進行類比推理時，要充分考慮已知對象性質的推理過程，然后類比推導類比對象的性質．注意：歸納推理關鍵是找規(guī)律，類比推理關鍵是看共性．4.歸納推理與類比推理的步驟(1)歸納推理的一般步驟：①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；②從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想)；③檢驗猜想．eq\x(實驗、觀察)→eq\x(概括、推廣)→eq\x(猜測一般性結論)(2)類比推理的一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或一致性；②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想)；③檢驗猜想．eq\x(觀察、比較)→eq\x(聯(lián)想、類推)→eq\x(猜想新結論)5.演繹推理的結構特點(1)演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結論三部分組成的．三段論推理中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況．這兩個判斷聯(lián)合起來，提示了一般原理和特殊情況的內在聯(lián)系，從而產生了第三個判斷：結論．(2)演繹推理的前提和結論之間有著某種蘊含關系，解題時要找準正確的大前提．一般地，若大前提不明確時，一般可找一個使結論成立的充分條件作為大前提．6.歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，在進行歸納時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結論,歸納推理所得的結論不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具體到抽象的認知過程，是發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的重要方法．類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之間的推理，其中一個對象具有某個性質，則另一個對象也具有類似的性質.在進行類比時，要充分考慮已知對象性質的推理過程，然后類比推導類比對象的性質.類比推理時要盡量從本質上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則會犯機械類比的錯誤．演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學的證明過程主要是通過演繹推理進行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結論一定是正確，一定要注意推理過程的正確性與完備性.【溫馨提醒】這兩個題都是推理的應用，在進行歸納推理時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結論.在進行類比推理時，要充分考慮已知對象性質的推理過程，然后通過類比，推導出類比對象的性質.歸納推理關鍵是找規(guī)律，類比推理關鍵是看共性.考點2：直接證明與間接證明【2-1】否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的反設為．【答案】a，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)【解析】∵a，b，c恰有一個偶數(shù)，即a，b，c中只有一個偶數(shù)，其反面是有兩個或兩個以上偶數(shù)或沒有一個偶數(shù)即全都是奇數(shù)．【2-2】分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使結論成立的條件．【答案】充分【2-3】設a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是．【答案】③【解析】①中若a＝，b＝，則a＋b>1，故①不能；②中若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②不能；③能，④中若a＝b＝－2，則a2＋b2>2，故④不能；⑤中若a＝b＝－2，則ab>1，故⑤不能．∴只有③能，選C.【2-4】下列表述：①綜合法是執(zhí)因導果法；②分析法是間接證法；③分析法是執(zhí)果索因法；④反證法是直接證法．正確的語句是____．【答案】①③【2-5】分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證<a”索的因應是．【答案】(a－b)(a－c)>0【解析】<a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.【基礎知識】1．直接證明(1)綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法．綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法.框圖表示：eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)(2)分析法：從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．分析法的思維特點是：執(zhí)果索因；分析法的書寫格式：要證明命題Q為真，只需要證明命題為真，從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有……這只需要證明命題P為真，而已知P為真，故命題Q必為真框圖表示：eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(得到一個明顯成立的條件).2．間接證明反證法：要證明某一結論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的，即反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來達到肯定命題的結論，完成命題的論證的一種數(shù)學證明方法.【思想方法】1.明晰三種證題的一般規(guī)律(1)綜合法證題的一般規(guī)律：用綜合法證明命題時，必須首先找到正確的出發(fā)點，也就是能想到從哪里起步，我們一般的處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質，逐層推進，從而由已知逐步推出結論．(2)分析法證題的一般規(guī)律：分析法的思路是逆向思維，用分析法證題必須從結論出發(fā)，倒著分析，尋找結論成立的充分條件．應用分析法證明問題時要嚴格按分析法的語言表達，下一步是上一步的充分條件．(3)反證法證題的一般規(guī)律：反證法證題的實質是證明它的逆否命題成立．反證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A.即在同一討論過程中，A和非A有且僅有一個是正確的，不能有第三種情況出現(xiàn)．2.綜合法證題的思路：3.分析法證題的技巧：(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件．正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵．(2)證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，然后通過綜合法由條件證明這個中間結論，從而使原命題得證．4.