（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題10.4 推理與證明（講）-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

專(zhuān)題10.4推理與證明【最新考綱解讀】?jī)?nèi)容要求備注ABC推理與證明合情推理與演繹推理

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對(duì)知識(shí)的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個(gè)層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對(duì)所列知識(shí)的含義有最基本的認(rèn)識(shí)，并能解決相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.理解：要求對(duì)所列知識(shí)有較深刻的認(rèn)識(shí)，并能解決有一定綜合性的問(wèn)題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問(wèn)題.直接證明與間接證明

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【考點(diǎn)深度剖析】本章知識(shí)點(diǎn)可以填空題或解答題的形式進(jìn)行考查，涉及到分類(lèi)討論的思想，著重考查學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力，常與函數(shù)、數(shù)列、不等式結(jié)合考查，難度較大.【課前檢測(cè)訓(xùn)練】【判一判】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類(lèi)比推理得到的結(jié)論一定正確．()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．()(3)在類(lèi)比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類(lèi)比對(duì)象較為合適．()(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的．()(5)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝n(n∈N*)．()(6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確．()(7)綜合法是直接證明，分析法是間接證明．()(8)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．()(9)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a<b”．()(10)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾．()(11)在解決問(wèn)題時(shí)，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程．()(12)證明不等式eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(3)＋eq\r(6)最合適的方法是分析法．()1.×2.√3.×4.√5.×6.×7.×8.×9.×10.×11.√12.√【練一練】1．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于()A．28 B．76C．123 D．199【答案】C【解析】從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開(kāi)始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，依據(jù)此規(guī)律，a10＋b10＝123.2．命題“有些有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是()A．使用了歸納推理B．使用了類(lèi)比推理C．使用了“三段論”，但推理形式錯(cuò)誤D．使用了“三段論”，但小前提錯(cuò)誤【答案】C【解析】由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯(cuò)誤原因是推理形式錯(cuò)誤．3．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三個(gè)關(guān)系：①a≠2，②b＝2，③c≠0有且只有一個(gè)正確，則100a＋10b＋c＝【答案】201若②正確，則①③不正確，得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,a＝2，,c＝0，))與互異性矛盾；若③正確，則①②不正確，得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c≠0，,a＝2，,b≠2，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0，,c＝1，))符合題意，所以100a＋10b＋c＝201.4．類(lèi)比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論：①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行；④垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行．則正確的結(jié)論是()A．①② B．②③C．③④ D．①④【答案】D5．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則b1b2b3b4…bn＝________________.【答案】b1b2b3b4…b17－n(n<17，n∈N*)6．若a，b，c為實(shí)數(shù)，且a<b<0，則下列命題正確的是()A．a(chǎn)c2<bc2 B．a(chǎn)2>ab>b2C.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) D.eq\f(b,a)>eq\f(a,b)【答案】B【解析】a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab.①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②由①②得a2>ab>b2.7．用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根【答案】A【解析】方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根，故應(yīng)選A.8．要證a2＋b2－1－a2b2≤0只要證明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C.eq\f((a＋b)2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【答案】D【解析】a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.9．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，則a、b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是__________________．【答案】a≥0，b≥0且a≠b【解析】∵aeq\r(a)＋beq\r(b)－(aeq\r(b)＋beq\r(a))＝eq\r(a)(a－b)＋eq\r(b)(b－a)＝(eq\r(a)－eq\r(b))(a－b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))．∴當(dāng)a≥0，b≥0且a≠b時(shí)，(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))>0.∴aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)成立的條件是a≥0，b≥0且a≠b.10．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為_(kāi)_______三角形．【答案】等邊【題根精選精析】考點(diǎn)1合情推理與演繹推理【1-1】(2015·六合模擬)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理．【答案】小前提不正確【解析】因?yàn)閒(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確.【1-2】【2015年蘇州第二次聯(lián)考】某公司推出了下表所示的QQ在線等級(jí)制度，設(shè)等級(jí)為級(jí)需要的天數(shù)為，等級(jí)等級(jí)圖標(biāo)需要天數(shù)等級(jí)等級(jí)圖標(biāo)需要天數(shù)157772128963211219243216320545321152660482496則等級(jí)為級(jí)需要的天數(shù)__________【答案】2700【解析】由表格知，∴．【1-3】【徐州2015屆高三第四次適應(yīng)性訓(xùn)練】在平面中，△ABC的角C的內(nèi)角平分線CE分△ABC面積所成的比.將這個(gè)結(jié)論類(lèi)比到空間：在三棱錐A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且與AB交于E，則類(lèi)比的結(jié)論為＝________．【答案】【1-4】(如皋2015屆高三上學(xué)期期末考試)設(shè)函數(shù)，觀察：，，，，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)且時(shí)，＿＿＿【答案】【解析】觀察知：四個(gè)等式等號(hào)右邊的分母為，，，，即，，，，所以歸納出分母為的分母為，故當(dāng)且時(shí)，.【1-5】【啟東2015屆高三第二次聯(lián)考】畫(huà)一條直線，將平面分成兩個(gè)部分；畫(huà)兩條相交直線，將平面分成四個(gè)部分，畫(huà)三條直線，最多可將平面分成7個(gè)部分，……，畫(huà)條直線，最多可將面分成個(gè)部分，則______．【答案】11【基礎(chǔ)知識(shí)】1.合情推理(1)定義：根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．(2)合情推理可分為歸納推理和類(lèi)比推理兩類(lèi)：①歸納推理：由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理．簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理；歸納推理的分類(lèi)常見(jiàn)的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類(lèi)a.數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；b.形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納．②類(lèi)比推理：由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象具有的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理．簡(jiǎn)言之，類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理．類(lèi)比推理的分類(lèi):類(lèi)比推理的應(yīng)用一般為類(lèi)比定義、類(lèi)比性質(zhì)和類(lèi)比方法a.類(lèi)比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類(lèi)比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來(lái)求解；b.類(lèi)比性質(zhì)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類(lèi)比推理型問(wèn)題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過(guò)程是求解的關(guān)鍵；c.類(lèi)比方法：有一些處理問(wèn)題的方法具有類(lèi)比性，我們可以把這種方法類(lèi)比應(yīng)用到其他問(wèn)題的求解中，注意知識(shí)的遷移．2.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理叫做演繹推理．演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真.(2)模式：三段論①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷．(3)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理．【思想方法】1.歸納推理與類(lèi)比推理之區(qū)別：(1)歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理．在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論．(2)類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類(lèi)類(lèi)似的對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類(lèi)似的性質(zhì)．在進(jìn)行類(lèi)比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過(guò)程，然后類(lèi)比推導(dǎo)類(lèi)比對(duì)象的性質(zhì)．2.演繹推理問(wèn)題的處理方法從思維過(guò)程的指向來(lái)看，演繹推理是以某一類(lèi)事物的一般判斷為前提，而作出關(guān)于該類(lèi)事物的判斷的思維形式，因此是從一般到特殊的推理．?dāng)?shù)學(xué)中的演繹法一般是以三段論的格式進(jìn)行的．三段論由大前提、小前提和結(jié)論三個(gè)命題組成，大前提是一個(gè)一般性原理，小前提給出了適合于這個(gè)原理的一個(gè)特殊情形，結(jié)論則是大前提和小前提的邏輯結(jié)果．3.應(yīng)用合情推理應(yīng)注意的問(wèn)題：(1)在進(jìn)行歸納推理時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論．(2)在進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過(guò)程，然后類(lèi)比推導(dǎo)類(lèi)比對(duì)象的性質(zhì)．注意：歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律，類(lèi)比推理關(guān)鍵是看共性．4.歸納推理與類(lèi)比推理的步驟(1)歸納推理的一般步驟：①通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；②從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想)；③檢驗(yàn)猜想．eq\x(實(shí)驗(yàn)、觀察)→eq\x(概括、推廣)→eq\x(猜測(cè)一般性結(jié)論)(2)類(lèi)比推理的一般步驟：①找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；②用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)；③檢驗(yàn)猜想．eq\x(觀察、比較)→eq\x(聯(lián)想、類(lèi)推)→eq\x(猜想新結(jié)論)5.演繹推理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(1)演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見(jiàn)的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成的．三段論推理中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱(chēng)為大前提，它提供了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況．這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái)，提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷：結(jié)論．(2)演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提．一般地，若大前提不明確時(shí)，一般可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．6.歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論,歸納推理所得的結(jié)論不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)知過(guò)程，是發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的重要方法．類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類(lèi)類(lèi)似的對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類(lèi)似的性質(zhì).在進(jìn)行類(lèi)比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過(guò)程，然后類(lèi)比推導(dǎo)類(lèi)比對(duì)象的性質(zhì).類(lèi)比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類(lèi)比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則會(huì)犯機(jī)械類(lèi)比的錯(cuò)誤．演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過(guò)程主要是通過(guò)演繹推理進(jìn)行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確，一定要注意推理過(guò)程的正確性與完備性.【溫馨提醒】這兩個(gè)題都是推理的應(yīng)用，在進(jìn)行歸納推理時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論.在進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過(guò)程，然后通過(guò)類(lèi)比，推導(dǎo)出類(lèi)比對(duì)象的性質(zhì).歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律，類(lèi)比推理關(guān)鍵是看共性.考點(diǎn)2：直接證明與間接證明【2-1】否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)為．【答案】a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)【解析】∵a，b，c恰有一個(gè)偶數(shù)，即a，b，c中只有一個(gè)偶數(shù)，其反面是有兩個(gè)或兩個(gè)以上偶數(shù)或沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)即全都是奇數(shù)．【2-2】分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的條件．【答案】充分【2-3】設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是．【答案】③【解析】①中若a＝，b＝，則a＋b>1，故①不能；②中若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②不能；③能，④中若a＝b＝－2，則a2＋b2>2，故④不能；⑤中若a＝b＝－2，則ab>1，故⑤不能．∴只有③能，選C.【2-4】下列表述：①綜合法是執(zhí)因?qū)Ч?；②分析法是間接證法；③分析法是執(zhí)果索因法；④反證法是直接證法．正確的語(yǔ)句是____．【答案】①③【2-5】分析法又稱(chēng)執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證<a”索的因應(yīng)是．【答案】(a－b)(a－c)>0【解析】<a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.【基礎(chǔ)知識(shí)】1．直接證明(1)綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法.框圖表示：eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)(2)分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因；分析法的書(shū)寫(xiě)格式：要證明命題Q為真，只需要證明命題為真，從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有……這只需要證明命題P為真，而已知P為真，故命題Q必為真框圖表示：eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(得到一個(gè)明顯成立的條件).2．間接證明反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯(cuò)誤的，從而斷定A是正確的，即反證法就是通過(guò)否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來(lái)達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法.【思想方法】1.明晰三種證題的一般規(guī)律(1)綜合法證題的一般規(guī)律：用綜合法證明命題時(shí)，必須首先找到正確的出發(fā)點(diǎn)，也就是能想到從哪里起步，我們一般的處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質(zhì)，逐層推進(jìn)，從而由已知逐步推出結(jié)論．(2)分析法證題的一般規(guī)律：分析法的思路是逆向思維，用分析法證題必須從結(jié)論出發(fā)，倒著分析，尋找結(jié)論成立的充分條件．應(yīng)用分析法證明問(wèn)題時(shí)要嚴(yán)格按分析法的語(yǔ)言表達(dá)，下一步是上一步的充分條件．(3)反證法證題的一般規(guī)律：反證法證題的實(shí)質(zhì)是證明它的逆否命題成立．反證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A.即在同一討論過(guò)程中，A和非A有且僅有一個(gè)是正確的，不能有第三種情況出現(xiàn)．2.綜合法證題的思路：3.分析法證題的技巧：(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件．正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵．(2)證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法由條件證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證．4.