2022-2023學(xué)年河北省保定市高一年級下冊5月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年河北省保定市高一下冊5月月考數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z∣=4+i,z2=l-2i,則ZR?=（）

A.2+7iB.2-力C.6+7iD.6-7i

2.“8C的內(nèi)角4氏C的對邊分別為α,b,c,若COSA=冬b=26,c=6，則〃=（）

A.2B.√2C.3D.√3

3.光明社區(qū)老年合唱隊(duì)中，60?70歲的有30人，71?75歲的有15人，76歲及以上的有

10人.若用分層抽樣的方法抽取及位老人參加某項(xiàng)活動，已知從71?75歲的老人中抽取了

3人，貝IJ〃的值為（）

A.9B.10C.11D.12

4.已知加/是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列說法正確的是（）

A.若加〃”，〃/∕α則zw∕∕αB.若機(jī)//ɑ,〃//a則機(jī)〃”

C.若加JUα,則D.若〃Ua則/n_La

5.某公司用隨機(jī)數(shù)法從公司的500名員工中抽取了20人了解其對燒烤的喜歡程度.先將這

500名員工按001,002,....500進(jìn)行編號，然后從隨機(jī)數(shù)第3行第3列的數(shù)開始向右讀，

則選出的第7個(gè)編號是（注：下面為隨機(jī)數(shù)的第3行和第4行）（）

第3行：78166572080263198702436997280198

第4行：32049243493582003623486969387481

A.492B.320C.198D.280

6.已知向量α=（2+1,4）,ft=（3,Λ）,若G與B反向，則向量C=（1,2）在向量1Z上的投影

向量為（）

A.（6,-8）B.（-6,8）CJl,一￡|d?[-∣,?）

7.在平行六面體/8CO-44GA中，底面48。是菱形，NBAD=60。，44與底面/8CZ）

垂直，M,N分別在8。和BQ上，且5Q=38M,BQ?=3D,N,∕B=3,AA1=4,則異

面直MN與所成角的余弦值為（）

7√193√Γ9D?平

A.2

34θ?f17

8.某六芒星項(xiàng)鏈如圖1所示，其平面圖如圖2所示，該六芒星由正“8C和正?θEF組合

而成，且羽=而，^AC=EF,DE^CB，/8C和?7）斯的中心均為O,BC與E尸的交

點(diǎn)為G,若OC=機(jī)OZ+”0G，則機(jī)+〃=（）

D.-6

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得O

分.

9.已知復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-1）,則（）

A.z=2+i

B.Z的虛部為T

C.z-i為純虛數(shù)

D.Z是方程/-4x+5=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根

10.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.過球心的截面是半徑等于球的半徑的圓面

B.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱

C.正四棱錐的側(cè)面都是正三角形

D.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺

11.若向量滿足∣"+1=4,P-N=2,則下列說法正確的是()

A.若卜∣=JΣ,則COS卜&=：B.3≤∣(z∣?∣Z>∣≤5

C.若COS(α,B)=?∣,則W=2>∕ΣD.CoS(0,5)≥∣

12.在四棱錐P-/8C。中，PAABCD,ZABC=ZACD=60°,AB=BC=I,CD=I,

且二面角尸-8C-4為60。，貝IJ()

A.PD=3?

B.二面角P-OC-B為60。

C.三棱錐P-/8C的外接球的表而積為43深τr

D.三棱錐尸-ZOC的內(nèi)切球的半徑為士二叵

4

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的

橫線上.

13.某7位小伙伴1分鐘的跳組個(gè)數(shù)(單位：個(gè))分別為180,182,173,175,a,∏8,

176,已知這7位小伙伴1分鐘跳繩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為178,貝IJa=.

14.某“星艦”可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖所示，其中8,

C分別是上、下底面圓的圓心，若∕C=50米，/8=6米，底面圓的直徑為9米，則該“星

艦”的表面積是平方米.

A

15.長度為15Cm的線段兩個(gè)端點(diǎn)到平面ɑ的距離分別為3cm和12cm,且這兩個(gè)端點(diǎn)都在平

面α的同一側(cè)，則這條線段所在直線與平面ɑ所成角的正弦值為.

16.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.如圖，在鱉麝P(guān)/8C中，

PC>PB>PA,AB=2,SC=I,PA=2也,D,E分別為棱尸C,PB上一點(diǎn)，則ZE+。E

的最小值為

P

B

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.已知向量Z，3的夾角為三，且問=2,W=3,c^λa-2b.

⑴求∣3α-'；

⑵當(dāng)坂時(shí)，求彳的值.

18.如圖，在底面/8C。是矩形的四棱錐尸-/88中，平面PCz)J.平面Z8C。，PCPD,

且CD=gPD，M,N分別是尸/潭。的中點(diǎn).

(1)證明：Λ√M〃平面P8C.

(2)證明：尸CI.平面P/C.

19.如圖，梯形O'A'B'C'是水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖，已知O1A'//B'C',

O'A'=2,O'B'=B'C'=3.

(1)在下面給定的表格中畫出四邊形Q48C(不需寫作圖過程)；

(2)若四邊形。I3C以O(shè)/所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，說出

該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并求該幾何體的體積.

20.已知正方體4sa>-44C∣o∣.

(1)證明：平面48￡_1面802.

(2)若正方體的棱長為4,1￡_L平面α,當(dāng)平面α經(jīng)過BC的中點(diǎn)時(shí)，求平面α截正方體

力BeD-44GA所得截面的周長.

21.“8C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為α,b,c,且2ccos∕=a+26.

⑴求C；

(2)若。為ZB邊上一點(diǎn)，ACBD=BCAD,且CO=2,求“8C面積的最小值.

22.如圖，在斜三棱柱Z8C-48C中，E為的中點(diǎn)，M為/8上靠近/的三等分點(diǎn),

N為/也上靠近A的三等分點(diǎn).

(1)證明：平面AiMC//平面BEN.

⑵若CM，平面BE1ABt,Ca與平面的距離為x,4C=8,Nq=I2,

三棱錐4-4CM的體積為V,試寫出y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式.

(3)在(2)的條件下，當(dāng)X為多少時(shí)，三棱錐4-4CM的體積取得最大值？并求出最大值.

答案解析

1.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得園Z2=(4+i)(l-2i)=4-7i-2i2=6-7i

故選：D.

2.D

【分析】根據(jù)余弦定理求解即可.

【詳解】由余弦定理得α2=〃+c~—2bccos∕=3，得α=

故選：D

3.C

【分析】根據(jù)分層抽樣的概念及計(jì)算方法，列出方程，即可求解.

【詳解】由題意可知：從71?75歲的老人中抽取的人數(shù)為〃Xk^7=3,解得“=IL

30+15+10

故選：C.

4.C

【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系和相關(guān)定理，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對于A,若"?〃〃，n!Ia,則〃〃∕α或mUe,故A錯(cuò)誤；

對于B,平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能異面，也可能相交，故B錯(cuò)誤；

對于C,若/w_La,則m垂直于α平面內(nèi)的任意一條直線，.?.〃?_!.〃，故C正確；

對于D,若則加與α不一定垂直，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.B

【分析】由隨機(jī)數(shù)法的抽樣規(guī)則進(jìn)行抽樣即可.

【詳解】由隨機(jī)數(shù)法的抽樣規(guī)則，從隨機(jī)數(shù)第3行第3列的數(shù)開始向右讀，依次選出的編號

是：

166,080,263,198,436,280,320,....所以選出的第7個(gè)編號是320.

故選：B

6.D

【分析】依題意可先求出/1的值，從而可得的坐標(biāo)，再用投影向量的定義即可求解.

【詳解】依題意7/，Z=(2+l,4),?=(3,Λ),

所以；l(%+l)-3χ4=0,解得2=3或義=-4,

又Z與B反向，則2=3時(shí)，向量α=(4,4)與B=(3,3)同向，不合舍去,

故幾二一4,此時(shí)α=(-3,4),b=(3,-4),a-b-(-6,8),

c?a-b)

則向量Z=(L2)在向量"/上的投影向量為W?(α-ft)

-6×l+8×2

(-6)2+82

故選：D

7.B

【分析】根據(jù)題意將異面直線平移到同一三角形中，再根據(jù)三角形的余弦定理求解即可.

【詳解】取。M中點(diǎn)K,連接AK、AK,

因?yàn)锳N=KM=DxNHKM,所以四邊形AM瓶為平行四邊形,

所以D,K"MN,所以異面直線MN與所成角為NgK或其補(bǔ)角.

因?yàn)榈酌?8CD是菱形，ZBAD=60o,AB=3,

所以在AADK中，利用余弦定理得AK=√AD-+DK2-IADDK-cos60,=√7，

L2

又ADi=^AD+DD;=5,DlK=JλT>+DD：=√∏,

夫SF到EzFE先.coAD2+DK2-AK225+17-77√17

在“D/中，利用余弦定理得cosZADIK=----i―――i—------=----------F==———,

2ADxDyK2×5×√1734

所以異面直MN與/。所成角的余弦值為誓.

故選：B.

8.C

【分析】根據(jù)等邊三角形中心的性質(zhì)可得嗡=箏=I,進(jìn)而得向量共線，由向量線性運(yùn)

算即可求解.

【詳解】如圖，連接∕G,CE,設(shè)45,CE的交點(diǎn)為H,AG,CE的交點(diǎn)為/,由于。是

和SE尸的中心，所以。在CE上，，為48的中點(diǎn)，

因?yàn)椤椤?C的重心，所以反=2我.由題意得aCOGs2^CH8,則,

OGOC2—■2—2

-=—=即。G=W"8=*Z”,所以，

HBHC333

反=2而=2(立+而)=2(-咨-可=-2況-31，得m+…5.

9.ABD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得答案.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,7),

所以z=2-i,所以5=2+i,故A正確;

Z的虛部為T,故B正確；

z-i=2-2i不是純虛數(shù)，故C錯(cuò)誤；

-4z+5=(2-i)2-4(2-i)+5=4-4i+i2-8+4i+5=0,

所以Z是方程χ2-4x+5=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，故D正確.

故選：ABD

10.BCD

【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)A：根據(jù)球的性質(zhì)可知過球心的截面是半徑等于球的半徑的圓面，故A

正確；

對于選項(xiàng)B：滿足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體可能時(shí)兩個(gè)棱柱拼

接而成，如圖所示，故B錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)C：正四棱錐的底面為正方形，側(cè)棱長相等，但無法確定底面邊長與側(cè)棱長是否相

等，所以只可得正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，而不一定是正三角形，故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D：因?yàn)闊o法確定側(cè)棱是否交于一點(diǎn)，故滿足條件的幾何體不一定是棱臺，故D

錯(cuò)誤；

故選：BCD.

11.ABD

g2+g2_?0

【分析】由口+倒=4,□-畫=2分別平方后，兩式相加，相減得到LZ.J,-,__、，

1111a?h=∣α∣?0■eosɑ,e=3

再逐項(xiàng)判斷.

【詳解】解：因?yàn)锽+q=4,R-q=2,

^?^a2+2a-b+h2=?6,d2-2a?b+b2=4,

解得萬2+必“,az=同網(wǎng)85卜，3=3,

當(dāng)向=√Σ時(shí)?，W=2j∑,∞s(^?)=j^∣[=∣,A正確；

LT3[a2+b2=W?=√2[∣α∣=2√2

當(dāng)COS(叫=W時(shí)'∣∣5∣.∣6∣=4,解得[問=2&或|問=0，C錯(cuò)誤；

易得問>0a>0,則同+"=1022同響，解得同平卜5,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)=W=有時(shí)，等號

成立,由COS.W≤l,得“*=卜H斗CoS?$)=3≤pF同，所以3≤K?q≤5,B正確;

易得COSGW>0,則3第卡I=CoSh5廣5,解得CoSGW≥g，D正確，

故選：ABD.

12.BCD

【分析】根據(jù)二面角和余弦定理可得p/=3,∕r>=√L對于A：根據(jù)垂直關(guān)系運(yùn)算求解；對

于B：可證CO_L平面尸/。，進(jìn)而可得二面角尸-OC-B的平面角為NPD4,運(yùn)算求解即可；

對于C：結(jié)合直三棱柱的外接球特征分析求解；對于D：利用等體積法求三棱錐的內(nèi)切球半

徑.

【詳解】由題意可知：是以邊長為2的等邊三角形，

取2C的中點(diǎn)連接4W,PM,則∕Λ∕L5C,4Λ∕=√J,

因?yàn)镻ZI平面/88,且8C,∕O,CDu平面48cz),

所以P/LBC,PALAD,PALCD,

且24Γ∣∕M=/,P4,4Mu平面P4M,可得BCI平面

PMU平面PAM,則BCVPM,

所以二面角尸-BC-4的平面角為Np跖4=60。，

則PA=AMtanNPMA=√3×√3=3,

在AZC。中，由余弦定理可得NQ2=∕C2+Ci>2-24C?CDCoSNZCD=4+l-2χ2χlχ,=3,

2

即/。=百，則/D+c》="2,即4OJ.CC.

對于選項(xiàng)A：因?yàn)镻Zl所以PD=JPI，+/。2=J32+(√I),=26,故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)槭M1,CO,ADlCD,尸/,/Qu平面尸所以CZ5_L平面PZ。，

且P。U平面PZO,可得CZ)J_尸。，且PD=JPT+4D?=2√J,

所以二面角P-DC-8的平面角為NPD4,

PA-

又因?yàn)閠anNP。/=——=√r3,且/PD4為銳角，則NPZM=60。，

AD

所以二面角尸C-8為60。，故B正確；

對于選項(xiàng)c：設(shè)“8c的中心為G(即為外接圓圓心)，則∕G=2NΛ∕=2?叵，

33

設(shè)三棱錐P-48C的外接球的球心為O,半徑為R,連接OG,OZ,

I74944

則。G=Lp4=2,SLOGIIPA,可得爐=OG?+NG?=2+二,

223412

434Λτr

所以三棱錐P-/8C的外接球的表而積為4兀斤=4兀'?=?，故C正確；

123

對于選項(xiàng)D：因?yàn)槿忮FP-NOC的體積VP^ADC=∣×3×→√3×l≈γ-

三棱錐尸-/。C的表面積SPYDC=BX行Xl+gx3x2+gx3x百+gxlx2百=3+3省，

3×T3-√^,故D正確;

所以三棱錐P-ZDC的內(nèi)切球的半徑“一3匕JToC

I-

SP-ADC^3+3√3

故選：BCD.

13.182

【分析】由平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解.

180+182+173+175+rz+178+176…

【詳解】依題意,---------------------------------------------=1/8,

7

解得α=182.

故182

14.273π+9√5π

【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓柱、圓錐的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：該"星艦”的表面分為三個(gè)部分：圓錐的側(cè)面、圓柱的側(cè)面和圓柱的底

面圓,

因?yàn)閳A錐的母線長/=病壽=34米，則其側(cè)面積E=兀x3x36=9后平方米,

圓柱的高BC=50-6=44米，則其側(cè)面積S2=2π×3×44=264π平方米,

底面圓的面積邑=nx3?=9π平方米，

所以該“星艦”的表面積是9#ITI+264π+9π=273π+WFπ平方米.

故答案為.273τt+9√?π

15.I##0.6

【分析】根據(jù)線面夾角的定義分析運(yùn)算.

【詳解】如圖所示，設(shè)線段兩個(gè)端點(diǎn)45在平面α的投影分別為C,。，連接/C,8。,。,

則NC=3,8O=12,N8=15,

在線段8。上取點(diǎn)E,使得。E=3BE=9,連接CE,

因?yàn)楱MC7∕Z>E,AC=DE,則/CED為平行四邊形，可得AB//CE,AB=CE=XS

則線段ZB所在直線與平面1所成角的即為線段CE所在直線與平面a所成角NOCE,

所以這條線段所在直線與平面ɑ所成角的正弦值SinNDCE=先DF=I9=J3

CE155

?3

故答案為5

（分析】將APAB,APBC翻折至一個(gè)平面,則AE+DE的最小值為點(diǎn)A到邊PC的距離AM,

結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：PR上NB,BC_LPB,則PB=y∣PA2+AB2=4,PC=PB2+BC2=√∏>

所以ZAPB=30°,sinZBPC=*,cosZBPC，

將4P∕8,Z?P5C翻折至一個(gè)平面，過點(diǎn)4作/M1PC,垂直為點(diǎn)M,

則AE+DE的最小值為點(diǎn)A到邊PC的距離AM,

因?yàn)?/p>

√T7+√51

sinAAPC=sin(ZAPB+ZBPC)=sinZAPBcosZBPC+cosAAPBsinΛBPC虐匹

v721721734

所以∕M3?sinN∕PC=2√5x型叵=恒亞

3417

即4E+QE的最小值為4?+即

17

故答案為.4丙+3√Γ7

17

P

17.(l)∣3ɑ-6∣=3Λ∕3

(2)4=6

【分析】(1)先根據(jù)數(shù)量積的定義求75,進(jìn)而求模長；

(2)根據(jù)向量垂直可得譏"=0,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.

【詳解】⑴由題意可知：=|麗COSm=2χ3χg=3,

所以pa—4=9“-6a?b+b=9χ4-6χ3+9=27,BP∣3a-∕>∣=3√.

rrrrrrrr

(2)因?yàn)閊?b-c^b^λza-2bjλ^λa-b-2b2=3Λ-2×9=0,

解得2=6.

18.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用線面平行判定定理證明即可;

(2)利用線面垂直的判定定理證明即可

【詳解】(1)連接/C,如圖所示：

因?yàn)镹BC。是矩形，N是8。的中點(diǎn),

所以N是NC的中點(diǎn)

因?yàn)镸是PN的中點(diǎn),

所以MN〃PC,

又MVU平面P8C,尸CU平面PBC,

所以MV〃平面尸8C.

（2）因?yàn)槭珻=P。，旦CD=亞PD，

所以2C?+尸。2=C￡）2

所以PCLPZ）,

因?yàn)槠矫鍼CD，平面ABCD,且平面PCD∩平面ABCD=DC,

ADVDC,AD?ABCD

所以40J.平面PC。，

因?yàn)镻CU平面PCZ）,

所以AOJ.PC,

又ADIPD=D,且4。U平面尸49,尸3u平面P/。，

所以PC平面尸NO.

19?（1）圖形見詳解

（2）96π

【分析】（1）根據(jù)斜二測畫法畫出四邊形O/8C即可；

（2）根據(jù)題意分析可知所得幾何體的上半部分為圓錐，下半部分為圓柱截取一個(gè)圓錐，結(jié)

合柱體、錐體的體積公式運(yùn)算求解.

【詳解】⑴因?yàn)?。H與x'軸重合，則ON與X軸重合，且。f=0'H=2;

5‘C'與x’軸平行,則8C與X軸平行，S.BC=B1C=3；

O0與y軸重合，則08與V軸重合，且OB=2。?=6；

連接/8,OC,即可得四邊形Q48C.

（2）如圖所示，所得幾何體的上半部分為圓錐，下半部分為圓柱截取一個(gè)圓錐,

故體積為V=-×36π×2+36π×3-?×36πx3=96π.

33

A

20.(1)證明見解析

⑵12&

【分析】(1)根據(jù)正方體的性質(zhì)和線面垂直得到/8LgC,然后利用線面垂直和面面垂直

的判定即可證明；

(2)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和(1)的結(jié)論得到平面α〃平面BCR.分別取8C,CD,DD,,

4R,4片，8片的中點(diǎn)E,F,G,H,M,N,連接各點(diǎn)，則多邊形E尸一GHMN即平面ɑ

截正方體/88-/￡GA所得的截面，再求出周長即可.

【詳解】(1)在正方體/8CD-48GA中，/8,平面BCG4,

因?yàn)?°U平面BCG4,所以NBJ.8C.

在正方形3CG4中，BCLBa，

XABlBCi=B,4B,BC?u平面4BC?,

所以8(，平面N8G，又8。u平面BC。，

所以平面/8G，平面MC".

(2)連接。g,因?yàn)槠矫?。CGA，

又ACU平面。CG2,所以

在正方形OCGA中，DxCVDCx,

又NZ>noG=o,QGU平面NOG，

所以AC，平面4)G，又4GU平面NOG，

所以ACi4G.

由（1）知平面/8G，/C∣u平面/8G，則與C_L』G.

又RCCBC=C,OC,8CU平面片CR,所以/G?L平面8C",

因?yàn)?Gl平面α,所以平面α〃平面8C2?

分別取8C,CD,DDt,4〃，AiBi,的中點(diǎn)E,F,G,H,M,N,連接各點(diǎn),

則多邊形EF-GHMN即平面α截正方體ABCD-AxBxCxDx所得的截面.

又EF=FG=GH=HM=MN=NE=2√2>

所以平面α截正方體ZBeO-44Ca所得的截面的周長為20x6=12√∑?

(2)4√3

【分析】（1）運(yùn)用余弦定理求出/C；

（2）由條件運(yùn)用正弦定理和基本不等式求解.

【詳解】（1）由余弦定理得2ccos∕=2c/+d-/=/=α+2b,

2bcb

得6?+/一μ=ab+2b?，即a2÷62-c2=-ab,

則CoSC=O+b-C=_4,c∈(0,π),ΛC

2ab2

在ABGD中，由正弦定理得黑="然I

BDsin/BCD

ΛCBCsinZADCsinZBDC

由題意得一=—=--------=---------，

ADBDsinZJCDsinZBCD

因?yàn)閆AoC+ZδOC=7t,所以SinZAOC=Sin/8OC,得sin48=sin/88,

得NACD-NBCD,即CO為NZcS的角平分線,

I21Γ17Γ17Γ

由右"BC=S+SABCO，^-absin-=-