（江西專用）年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 階段評估2 新人教版

專題階段評估(二)(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|解析：eq\f(a,|a|)表示與a同向的單位向量，eq\f(b,|b|)表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，觀察選擇項易知C滿足題意．答案：C2．若函數(shù)f(x)＝sineq\f(x＋φ,3)(φ∈[0,2π])是偶函數(shù)，則φ＝()A.eq\f(π,2) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,2) D.eq\f(5π,3)解析：∵f(x)為偶函數(shù)，∴eq\f(φ,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，(k∈Z)，∴φ＝3kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝eq\f(3,2)π.答案：C3．(2012·陜西五校三次聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，a1＝2i(i為虛數(shù)單位)，(1＋i)an＋1＝(1－i)an(n∈N*)，則a2012的值為()A．－2 B．0C．2 D．2i解析：∵(1＋i)an＋1＝(1－i)an，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝－i，故{an}是以2i為首項，－i為公比的等比數(shù)列，∴a2012＝2i×(－i)2012－1＝2i×(－i)4×502＋3＝2i×i＝－2.答案：A4．在梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝λ|DC|，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．λa＋b B．a(chǎn)＋λbC.eq\f(1,λ)a＋b D．a(chǎn)＋eq\f(1,λ)b解析：eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,λ)a.故選C.答案：C5．已知tanα＝4，則eq\f(1＋cos2α＋8sin2α,sin2α)的值為()A．4eq\r(3) B.eq\f(65,4)C．4 D.eq\f(2\r(3),3)解析：eq\f(1＋cos2α＋8sin2α,sin2α)＝eq\f(2cos2α＋8sin2α,2sinαcosα)＝eq\f(1＋4tan2α,tanα)＝eq\f(65,4).答案：B6．(2012·山東濰坊一模)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(eq\r(2)，eq\r(2))，a·b＝eq\f(8,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))等于()A．－eq\f(3,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：由a·b＝eq\f(8,5)，得eq\r(2)cosx＋eq\r(2)sinx＝eq\f(8,5)，∴eq\f(\r(2),2)cosx＋eq\f(\r(2),2)sinx＝eq\f(4,5)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，故選D.答案：D7．△ABC的外接圓半徑R和△ABC的面積都等于1，則sinAsinBsinC＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(1,2)解析：由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝1，可得S△ABC＝eq\f(1,2)×4R2sinAsinBsinC＝1，∵R＝1，∴sinAsinBsinC＝eq\f(1,2).答案：D8.(2012·河北衡水中學(xué)一模)若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點與最低點，且eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，則A·ω＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(\r(7)π,12)C.eq\f(\r(7),6)π D.eq\f(\r(7),3)π解析：由題中圖象知eq\f(T,4)＝eq\f(π,3)－eq\f(π,12)，∴T＝π，∴ω＝2.則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，A))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)π，－A))，由eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，得eq\f(7π2,122)＝A2，∴A＝eq\f(\r(7),12)π，∴A·ω＝eq\f(\r(7),6)π.故選C.答案：C9．(2012·長春市調(diào)研)在△ABC中，P是BC邊的中點，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若ceq\o(AC,\s\up6(→))＋aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＝0，則△ABC的形狀為()A．直角三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形但不是等邊三角形解析：依題意得：ceq\o(AC,\s\up6(→))＋aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＝ceq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)a(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)b(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(a＋b,2)))eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(a－b,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(a＋b,2)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(a－b,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)＝0,c－\f(a＋b,2)＝0))，∴a＝b＝c∴△ABC為等邊三角形，選C.答案：C10．(2012·煙臺四校聯(lián)考)據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年中12個月的價格與月份的關(guān)系可以近似地用函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋7(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))來表示(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價9萬元，7月份價格最低，為5萬元，則國慶節(jié)期間的價格約為()A．4.2萬元 B．5.6萬元C．7萬元 D．8.4萬元解析：由題意得函數(shù)f(x)圖象的最高點為(3,9)，相鄰的最低點為(7,5)，則A＝eq\f(9－5,2)＝2，eq\f(T,2)＝7－3，∴T＝8，又∵T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))＋7，把點(3,9)代入上式，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝1，∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,4)，則f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7，∴當(dāng)x＝10時，f(10)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)×10－\f(π,4)))＋7＝eq\r(2)＋7≈8.4.答案：D二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．請把正確答案填在題中橫線上)11．設(shè)a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i為虛數(shù)單位)，則a＋b的值為________．解析：化eq\f(11－7i,1－2i)為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用復(fù)數(shù)相等，求出a，b.∵eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(1,5)(25＋15i)＝5＋3i，∴a＝5，b＝3.∴a＋b＝5＋3＝8.答案：812．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，則|b|＝__________.解析：∵a＝(2,1)，∴|a|＝eq\r(5).又∵|a＋b|＝5eq\r(2)，|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b，∴(5eq\r(2))2＝(eq\r(5))2＋|b|2＋2×10，即|b|2＝25，∴|b|＝5.答案：513．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)，若函數(shù)f(x)圖象上的一個對稱中心到對稱軸的距離的最小值為eq\f(π,3)，則ω的值為________．解析：函數(shù)f(x)圖象上的一個對稱中心到對稱軸的距離的最小值為eq\f(T,4)，由題意可知eq\f(T,4)＝eq\f(π,3)，∴ω＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)14．已知角α、β的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的正半軸重合，α、β∈(0，π)，角β的終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)是－eq\f(1,3)，角α＋β的終邊與單位圓交點的縱坐標(biāo)是eq\f(4,5)，則cosα＝________.解析：由題意可知cosβ＝－eq\f(1,3)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5).∵α、β∈(0，π)，∴sinβ＝eq\f(2\r(2),3)，cos(α＋β)＝－eq\f(3,5).∴cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋eq\f(4,5)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(8\r(2)＋3,15).答案：eq\f(8\r(2)＋3,15)15．如圖，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角)為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點觀測燈塔A的方位角為110°，航行半小時到達(dá)C點觀測燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達(dá)C點時，與燈塔A的距離為________．解析：在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20km，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝180°－140°＋65°＝105°，∴∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理，得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)km.答案：10三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟)16．(12分)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，a)，a∈R.(1)若D為BC中點，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(m,2)，求a、m的值；(2)若△ABC是直角三角形，求a的值．解析：(1)因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，Aeq\o(C,\s\up6(→))＝(－1，a)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋Aeq\o(C,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1＋a,2))).又eq\o(AD,\s\up6(→))＝(m,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,1＋a＝2×2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,m＝1.))(2)因為△ABC是直角三角形，所以A＝90°或B＝90°或C＝90°.當(dāng)A＝90°時，由eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，得3×(－1)＋1·a＝0，所以a＝3；當(dāng)B＝90°時，因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－Aeq\o(B,\s\up6(→))＝(－4，a－1)，所以由eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，得3×(－4)＋1·(a－1)＝0，所以a＝13；當(dāng)C＝90°時，由eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，得－1×(－4)＋a·(a－1)＝0，即a2－a＋4＝0，因為a∈R，所以無解．綜上所述，a＝3或13.17．(12分)已知函數(shù)f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；(2)在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的圖象．解析：(1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝1＋eq\r(2)(sin2xcoseq\f(π,4)－cos2xsineq\f(π,4))＝1＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，∴函數(shù)f(x)的最小正周期為π，最大值為1＋eq\r(2).(2)由(1)知x－eq\f(π,2)－eq\f(3π,8)－eq\f(π,8)eq\f(π,8)eq\f(3π,8)eq\f(π,2)y211－eq\r(2)11＋eq\r(2)2故函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的圖象是18．(12分)在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足eq\r(3)a－2bsinA＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝5，且a＞c，b＝eq\r(7)，求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值．解析：(1)因為eq\r(3)a－2bsinA＝0，所以eq\r(3)sinA－2sinBsinA＝0，因為sinA≠0，所以sinB＝eq\f(\r(3),2).又B為銳角，所以B＝eq\f(π,3).(2)由(1)可知，B＝eq\f(π,3).因為b＝eq\r(7)，根據(jù)余弦定理，得7＝a2＋c2－2accoseq\f(π,3)，整理，得(a＋c)2－3ac由已知a＋c＝5，得ac＝6.又a＞c，故a＝3，c＝2.于是cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(7＋4－9,4\r(7))＝eq\f(\r(7),14)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝cbcosA＝2×eq\r(7)×eq\f(\r(7),14)＝1.19．(12分)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是由y＝sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的：①將y＝sinx的圖象整體向左平移eq\f(π,6)個單位；②將①中的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)；③將②中的圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍．(1)求f(x)的周期和對稱軸；(2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f(C)＝2，c＝1，ab＝2eq\r(3)，且a＞b，求a，b的值．解析：(1)由變換得f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以T＝eq\f(2π,2)＝π.由2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得對稱軸為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z.(2)由f(C)＝2，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C＋\f(π,6)))＝1，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,6).在△ABC中，根據(jù)余弦定理，有c2＝1＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,6)，即a2＋b2＝7，又ab＝2eq\r(3)，且a＞b，可得a＝2，b＝eq\r(3).20．(13分)已知函數(shù)f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－eq\r(3)cos2x－1(x∈R)．(1)若函數(shù)h(x)＝f(x＋t)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))對稱，且t∈(0，π)，求t的值；(2)設(shè)p：x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，q：|f(x)－m|＜3，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．解析：(1)f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－eq\r(3)cos2x－1＝1－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))－eq\r(3)cos2x－1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，∴h(x)＝f(x＋t)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2t－\f(π,3))).∴h(x)的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,6)－t，0))，k∈Z，又已知點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))為h(x)的圖象的一個對稱中心，∴t＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)，k∈Z.而t∈(0，π)，∴t＝eq\f(π,3)或eq\f(5π,6).(2)若p成立，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))時，2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，f(x)∈[1,2]，由|f(x)－m|＜3?m－3＜f(x)＜m＋3，因為p是q的充分不必要條件，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－3＜1，,m＋3＞2))?－1＜m＜4.故m的取值范圍為(－1,4)．21．(14分)(2012·福州市高三質(zhì)量檢查)如圖，在△ABC中，已知B＝eq\f(π,3)，AC＝4eq\r(3)，