2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練17　球的切、接、截問題

微專題17球的切、接、截問題

3知識拓展

1.球的切接問題

（1）長方體的外接球

①球心：體對角線的交點(diǎn)；

②半徑：r=^a2+^+c?a,b,C為長方體的長、寬、高）.

（2）正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球（α為正方體的棱長）

①外接球：球心是正方體中心，半徑r=坐a,直徑等于體對角線長；

②內(nèi)切球：球心是正方體中心，半徑尸=1直徑等于正方體棱長；

③與各條棱都相切的球：球心是正方體中心，半徑∕?=勺α,直徑等于面對角線長.

（3）正四面體的外接球與內(nèi)切球（正四面體可以看作是正方體的一部分，。為正四面

體的棱長）

①外接球：球心是正四面體的中心，半徑r=乎α;

②內(nèi)切球：球心是正四面體的中心，半徑r=*a.

2.平面截球

平面截球面得圓.截面圓的圓心與球心的連線與截面圓圓面垂直且R2=法+/（R為

球半徑，r為截面圓半徑，d為球心到截面圓的距離）.

題型聚焦分類突破研題型求突破

類型一外接球問題

考向1墻角模型

I核心歸納

墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構(gòu)造法（構(gòu)

造長方體）解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長.長方體同一頂點(diǎn)的三條

棱長分別為α,b,c,外接球半徑為R.

則（2R）2=/+官+￠2,即2火=吊次+廬+￠2.常見的有以下三種類型：

例1已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB=PC,Z?A3C是

邊長為2的正三角形，E,f分別是以，AB的中點(diǎn)，ZCEF=90°,則球。的體

積為（）

A.8√6πB.4√6π

C.2√6πD.?[βπ

答案D

解析因?yàn)辄c(diǎn)￡,F分別為∕?,AB的中點(diǎn),

所以EF//PB.

因?yàn)镹CM=90°,

所以EFLCE,

所以PBl.CE.

取AC的中點(diǎn)。，連接BD,PD,

易證ACL平面8QP,所以P8_LAC,

又ACCCE=CAC,CEU平面∕?C,

所以PB，平面PAC,

所以PB_1_如，PBLPC,

因?yàn)楱M?=PB=PC,Z?ABC為正三角形，所以∕?LPC,

即∕?,PB,PC兩兩垂直，將三棱錐產(chǎn)一ABC放在正方體中如圖所示.

因?yàn)棣獴=2,所以該正方體的棱長為啦，

所以該正方體的體對角線長為黃，

所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R=坐,

所以球。的體積V=%R3=式坐）=√6π,故選D.

考向2對棱相等模型

I核心歸納

對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構(gòu)造法（構(gòu)造長方體）解決,

外接球的直徑等于長方體的體對角線長，如圖所示，（2R）2=∕+∕+c2（長方體的

22

長、寬高分別為α,b,c）,即R2=?∣（x+γ+z2）,如圖.

例2在三棱錐A-BCO中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=B0=4,則三棱錐A

-BCD外接球的表面積為.

解析構(gòu)造長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長方體的長寬高分別為ɑ,

2222

b,c,則/+/=9,?+C=4,c÷α=16,

所以2（/+/+/）=9+4+16=29,

29

即a1+b2+c2=4R2=~γ,

2Q

則外接球的表面積為S=4τιR2=等π.

考向3漢堡模型

I核心歸納

漢堡模型是直三棱柱、圓柱的外接球模型，模型如下,

由對稱性可知，球心0的位置是AABC的外心01與AAiBiG的外心G的連線的

hh2

中點(diǎn)，算出小圓Oi的半徑AOl=r,OOl=所以/?2=戶+下

例3在三棱柱ABC—AIBIG中，AB=BC=AC,側(cè)棱AAI，底面ABC,若該三棱

柱的所有頂點(diǎn)都在同一個球0的表面上，且球0的表面積的最小值為4π,則該

三棱柱的側(cè)面積為（）

A.6√3B.3√3

C.3√2D.3

答案B

解析如圖，設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為。，02,則。。2的中點(diǎn)為。，設(shè)

球。的半徑為R,貝UQA=R,設(shè)AB=BC=AC=",AAι=h,

在RtZkOChA中，R2=OA2=OOi÷O2A2=^h2÷?ɑ22×^∕?×格外,

當(dāng)且僅當(dāng)力=￥。時，等號成立,

所以S球=4πR2247iX

所以4千兀=4π,

所以ah=y∣3,

所以該三棱柱的側(cè)面積為3αΛ=3√3.

考向4垂面模型

I核心歸納

垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補(bǔ)為直棱柱內(nèi)接于球;如圖所示，

由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心OI與?AB2D2的外心。2連線的中點(diǎn),

算出小圓Oi的半徑Col=r,OOI=與,則R=?卜+冬

例4（2022.廣州模擬）已知四棱錐S—ABCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SDl.

平面ABCQ,底面ABC。是等腰梯形，48〃。。且滿足48=24。=2。。=2,且

ND4B=1,SC=√2,則球。的表面積是（）

A.5πB.4π

C.3πD.2π

答案A

解析依題意，得AB=2AO=2,Nr）ABq由余弦定理可得BD=小，則W

JT

+DB2=AB2,則NAOB=1

又四邊形ABCO是等腰梯形，

ΛΩ

故四邊形ABCr）的外接圓直徑為A3,半徑r=?y=l,設(shè)AB的中點(diǎn)為。，球的

半徑為R,

因?yàn)镾O_L平面ABC。，

所以SD=γ∣SC2-CD2=1,

則S=4πR2=5π.

考向5切瓜模型

I核心歸納

切瓜模型是有一側(cè)面垂直底面的棱錐模型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊

三角形，在三棱錐A-BC。中，側(cè)面ABC，底面BC。，設(shè)三棱錐的高為山外接

球的半徑為R,球心為O,ABCD的外心為Oi,Oi到BC的距離為cl,0與Oi

R2=ri+∕n2,

的距離為如AδCO和aABC外接圓的半徑分別為n，底,則I.,,、2

R~=d1-r(h—m),,

解得R,可得為兩個面的交線段長).

Tr

例5(2022.濟(jì)寧模擬)在邊長為6的菱形ABCD中，NA=?現(xiàn)將aABO沿BD折

起，當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時，三棱錐A-BCD的外接球的表面積為

答案60π

解析邊長為6的菱形ABC。，在折疊的過程中，

當(dāng)平面AB。J_平面Be。時，三棱錐的體積最大；

由于AB=AD=CD=BC=6,

ZC=ZA=^.

所以AABO和ACBO均為正三角形，設(shè)AABO和ACBO的外接圓半徑為r,

貝U2r=黑，所以r=2√i

△A3。和aCBD的交線段為80,且Bo=6.

所以三棱錐A—8Q9的外接球的半徑R=yj(2√3)2+(2√3)2-j=√l5.

故S?=4?π(V15)2=60π.

訓(xùn)練1(1)(2022.青島一模)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為1,頂點(diǎn)

都在一個球面上，則該球的表面積為()

A.5πB.π

117

C.?-兀D.]π:

(2)在三棱錐P-ABC中，平面∕?8，平面ABC,平面∕?C，平面ABC,且PA=A,

底面AABC的外接圓的半徑為3,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為

答案（I）D（2）52π

解析（1）由三棱柱所有棱的長α=l,可知底面為正三角形,

底面三角形的外接圓直徑2r=懸而=斗，

??lllUU?

√3

所以

r=3

設(shè)外接球的半徑為R,則有/?2=/+?。?∣+τ=?,

7

所以該球的表面積S=4TIR2=針，故選D.

（2）因?yàn)槠矫?，平面ABC,平面∕?C，平面A3C,

所以H_L平面ABC.

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R,結(jié)合底面AABC的外接圓的半徑r=3,

2

可得收=僵）+/=22+33=13,

所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積為S&=4兀R2=52兀

類型二內(nèi)切球問題

I核心歸納

內(nèi)切球問題的解法（以三棱錐為例）

第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體的體積；

第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為廣，建立等式VP-ABC=Vo-4Bc+Vo-附B+V0-Λ4C+

Z

Vo-PBC=VP-ABC=；S1?A8C?r+gs△必B?r+y5△必c?r+上PSBC?r=g（SzχABc+SzχBA8+SA∕?c+

S?Pβc)r;

________3Vp_ABC________

第三步:解出

r=S?ABc+S?∕?β+S?Mc+5?PBc'

例6（l）（2022?成都石室中學(xué)三診）《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的三棱

錐稱之為鱉麝.若三棱錐P-ABC為鱉犒,%_L平面ABC,PA=BC=4,AB=3,

ABLBC,若三棱錐P-ABC有一個內(nèi)切球0,則球。的體積為（）

C.77D.9π

Io

(2)在直三棱柱ABC—4BG中，A4ι=AB=6,BC=8,AC=IO,則該三棱柱內(nèi)

能放置的最大球的表面積是()

A.16πB.24兀

C.36兀D.64π

答案(I)C(2)A

解析(1)設(shè)球。的半徑為「，

則三棱錐產(chǎn)一ABC的體積

V=1×∣×3×4×4=∣×(∣×3×4+∣×4×3+∣×5×4+∣×4×5)×r,

349π

解得r=1,所以球O的體積V=WTIr3=布，故選C.

(2)由題意，球的半徑為底面三角形內(nèi)切圓的半徑r,因?yàn)榈酌嫒切蔚倪呴L分別

為6,8,10,所以底面三角形為直角三角形，

AB+BC-AC6+8-10

「=2=2=Z

又因?yàn)锳4ι=6,2r=4<6,

所以該三棱柱內(nèi)能放置的最大球半徑為2,此時S表面積=4τu2=4πX22=16τr.

訓(xùn)練2已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積

為.

答案申兀

解析圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為匚作出圓錐的軸截面

PAB,如圖所示，則4Z?8的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓.

在△/?B中，PA=PB=3,。為AB的中點(diǎn)，AB=2,E為切點(diǎn)、,

則PD=2y∣2,2PE0S∕?PDB.

故￡2=”即紅但ZN=C解得r=也

隊(duì)PBDB,13］，用牛付尸2,

故內(nèi)切球的體積為=亭π?

類型三球的截面問題

I核心歸納

解決球的截面問題抓住以下幾個方面：

（1）球心到截面圓的距離；（2）截面圓的半徑；（3）直角三角形（球心到截面圓的距離、

截面圓的半徑、球的半徑構(gòu)成的直角三角形）.

例7（2022?杭州質(zhì)檢）在正三棱錐P—ABC中，。為BC中點(diǎn)，∕?=√2,AB=2,

過點(diǎn)Q的平面截三棱錐P-ABC的外接球所得截面面積的取值范圍為.

答案［兀，y

解析因?yàn)檎忮FP-ABC中，PB=PC=PA=φ.,AC=BC=AB=I,

所以P32+∕?2=AB2,即P3，公，

同理PB_LPC,PCLPA,

因此正三棱錐P-ABC可看作正方體的一角，如圖.

記正方體的體對角線的中點(diǎn)為。，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得，點(diǎn)。即是正方體的外

接球球心，所以點(diǎn)。也是正三棱錐P—ABC外接球的球心，記外接球半徑為R,

則RgJ2+2+2=*,

因?yàn)榍虻淖畲蠼孛鎴A為過球心的圓，

所以過點(diǎn)Q的平面截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積最大為

C23兀

Samx=7lA=2?

、歷

又。為BC中點(diǎn)，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得OQ=夕1"=竽；

由球的結(jié)構(gòu)特征可知，當(dāng)0。垂直于過點(diǎn)。的截面時，截面圓半徑最小為

r=y∣R2-OQ2=I,

所以Smin=TT，=兀.

因此，過Q的平面截三棱錐P—ABC的外接球所得截面面積的取值范圍為π,y

訓(xùn)練3(1)設(shè)球。是棱長為4的正方體的外接球，過該正方體棱的中點(diǎn)作球。的

截面，則最小截面的面積為()

A.3πB.4π

C.5πD.6π

(2)(2022?武漢質(zhì)檢)已知棱長為2的正方體ABC。-AlBCIOI,球O與該正方體的

各個面相切，則平面ACB截此球所得的截面的面積為.

答案(I)B(2)y

解析(1)當(dāng)球。到截面圓心連線與截面圓垂直時，截面圓的面積最小，

由題意，正方體棱的中點(diǎn)與。的距離為2啦，球的半徑為2√5,

.?.最小截面圓的半徑為512—8=2,

，最小截面面積為π?22=4π.

(2)正方體ABC。一AiBGOi的棱長為2,球0與該正方體的各個面相切，則球

。的半徑為1,

設(shè)E,F,G分別為球。與平面ABC。、平面BBICIC、平面A4山山的切點(diǎn),

則等邊三角形EPG為平面ACB截此球所得的截面圓的內(nèi)接三角形，

由已知可得EF=EG=GF=巾,

.?.平面ACB截此球所得的截面圓的半徑

y∣2?/e

r=2sin60°=3'

2

.?.截面的面積為兀χ(幸】=?

高分訓(xùn)練對接高考重落實(shí)迎高考

一'基本技能練

1.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該

圓柱的體積為()

兀

AA.πQB3q-

一兀C兀

c?2D4

答案B

解析如圖畫出圓柱的軸截面ABC。，O為球心.球的半徑R=Q4=1,球心到底

面圓的距離為0M=；.

.?.底面圓半徑r=√0Λ2-OM2=Y

故圓柱體積V=πM√z=π?0g)Xl=亨.

2.若棱長為2小的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()

A.12πB.24π

C.36πD.144π

答案C

解析由題意知球的直徑

2?=√(2√3)2+(2√3)2+(2√3)2=6,

??H=3,.=S球=4兀1?2=36兀.故選C.

3.一個四面體的所有棱長都為色，四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為

()

A.3πB.4π

C.3y∣3πD.6π

答案A

解析構(gòu)造棱長為1的正方體，該四面體的外接球也是棱長為1的正方體的外接

球，

所以外接球半徑R=坐，

所以外接球表面積為S=47iR2=3ττ?

4.已知直三棱柱ABC-AlBiCi的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,

ABlAC,AAI=I2,則球。的半徑為（）

B.2√Tθ

e.?D.3y[?0

答案C

解析將直三棱柱補(bǔ)為長方體A8EC-4BBG,

則球O是長方體ABEC-AxBiEiCi的外接球.

體對角線BG的長為球0的直徑.

因此2H=√32+42+122=13,則R=券.

5?（2022?南陽二模）已知邊長為2的等邊三角形A8C,。為BC的中點(diǎn)，以A。為折

痕進(jìn)行折疊，使折后的NBDC=會則過A,B,C,。四點(diǎn)的球的表面積為（）

A.3πB.4π

C.5πD.6兀

答案C

解析折后的幾何體構(gòu)成以。為頂點(diǎn)的三棱錐，且三條側(cè)棱互相垂直，可構(gòu)造長

方體，其對角線即為球的直徑，三條棱長分別為1,1,√3,所以2R=y1+1+3

=√5,球的表面積S=4πg(shù)gj=5兀.

6?（2022?青島模擬）如圖是一個由6個正方形和8個正三角形圍成的十四面體，其

所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，若十四面體的棱長為1,則球。的表面積為（）

A.2πB.4π

C.6πD.8π

答案B

解析根據(jù)圖形可知，該十四面體是由一個正方體切去八個角得到的,

如圖所示，十四面體的外接球球心與正方體的外接球球心相同，

建立空間直角坐標(biāo)系，

Y該十四面體的棱長為1,故正方體的棱長為啦，

二.該正方體的外接球球心的坐標(biāo)為of,羋，孚），

設(shè)十四面體上一頂點(diǎn)為D,則。卜尼，乎，0）,

所以十四面體的外接球半徑

R=OD=NS-嚼+惇-嗡MM嗡=?^

故外接球的表面積為S=4TIR2=4兀.故選B.

7.四面體ABeo的四個頂點(diǎn)都在球。上且AB=AC=BC=8O=Co=4,4。=2加,

則球。的表面積為（）

70πC80兀

Aa~B.亍

C.30πD.40π

答案B

解析如圖，取BC的中點(diǎn)M,連接AM,DM,

由題意可知，AABC和43CO都是邊長為4的等邊三角形.

為BC的中點(diǎn)，：.AM-LBC,且AM=OM=2小,

又，：AD=2#,：.AM2+DM2=AD2,

：.AM1DM,

?,BCQDM=M,BC,OMU平面BCr),

,AM，平面BCD,

「AMu平面ABC,.?.平面ABCJ_平面BCD,

24、行

△ABC與ABCD外接圓半徑r=]DM=~^~,

又AABC與ABCD的交線段BC=4.

所以四面體外接球半徑

四面體ABCO的外接球的表面積為4n×Λ2=yπ.

8.已知三棱錐P—ABC的棱AP,AB,AC兩兩垂直，且長度都為√5,以頂點(diǎn)P為

球心，2為半徑作一個球，則球面與三棱錐的表面相交所得到的四段弧長之和等

于（）

?2兀c5兀

A?TBT

C,π?,?

答案D

解析如圖，ZAPC=^,AP=小,AN=I,NAPN=MNNPM=韋,MN=γ^×2

_Tt

=不

同理何=搟，HN=τr,GM=^^,

623

故四段弧長之和為親+季+/子=當(dāng)

002?2

9.（多選X2022?石家莊調(diào)研）已知一個正方體的外接球和內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn)M

和M若線段MN長的最小值為十一1,則（）

A.該正方體的外接球的表面積為12π

B.該正方體的內(nèi)切球的體積為當(dāng)

C.該正方體的棱長為1

D.線段MN長的最大值為小+1

答案AD

解析設(shè)該正方體的棱長為?,則其外接球的半徑R=興a,內(nèi)切球的半徑R=冬

該正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn)M,N,由于兩球球心相同，

可得MN的最小值為華一5=小一1,解得α=2,故C錯誤；

所以外接球的半徑K=√5,表面積為47iX3=127i,故A正確；

4

內(nèi)切球的半徑R'=l,體積為乎，故B錯誤；

MN的最大值為R+R=√5+l,故D正確.

故選AD.

10.（多選）設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為A,BC為圓錐底面圓。的直徑,點(diǎn)P為圓。上的一點(diǎn)（異

于B,O，若BC=4小,三棱錐A-PBC的外接球表面積為64兀，則圓錐的體積

為（）

A.4兀B.8π

C.16πD.24π

答案BD

解析如圖，設(shè)圓錐A。的外接球球心為M,半徑為r,

則M在直線Ao上，

4πr2=64π,解得r=4.

由勾股定理得BM2=OM1+OB1,

即42=(2√3)2+0M2,

可得OM=2,

即OM=Ho—r|=IAo—4|=2,

解得A0=6或A0=2.

當(dāng)A0=6時，圓錐Ao的體積為V=∣π×(2√3)2×6=24π;

當(dāng)A0=2時，圓錐Ao的體積為V=；兀X(2√5)2χ2=8τι.

故選BD.

IL在三棱錐A—8C。中，AδC0和均是邊長為1的等邊三角形,AC=√Σ

則該三棱錐外接球的表面積為.

答案2π

解析取AC的中點(diǎn)0,連接。8,OD,

在AABC中，AB=BC=I,AC=√2,

所以NABC=90。，所以O(shè)A=OB=Oe=

5

同理得0。=竽λ，故點(diǎn)。為該三棱錐外接球的球心，

所以球。的半徑r=乎，S?=4πr2=2π.

12.如圖，已知球O是棱長為3的正方體ABCD-AIBIGOI的內(nèi)切球,則平面ACD↑

截球。的截面面積為.

答案y

解析根據(jù)題意知，平面ACn是邊長為如丙=36的正三角形，

且所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積，則由圖得，AACDi內(nèi)切圓的半

徑-W(3啦)2-殍L坐

所以平面ACDi截球。的截面面積為S=τrX[旬=y.

二'創(chuàng)新拓展練

13.（多選）（2022?華大新高考聯(lián)考）已知三棱錐S-ABC中，SA，平面ABC,SA=AB

=BC=√2,AC=2,點(diǎn)E,尸分別是線段AB,BC的中點(diǎn)，直線AF,CE相交于

G,則過點(diǎn)G的平面α截三棱錐S-ABC的外接球O所得截面面積可以是（）

2c8

Aλq兀B.鏟

3

C.πD.]π:

答案BCD

解析因?yàn)?1"+BCc=AG,故ABj_8C,

故三棱錐S-ABC的外接球。的半徑R=W,+2=坐,

取AC的中點(diǎn)。，連接BO必過G,

因?yàn)锳B=BC=巾,故DG=；BD=g,

因?yàn)镺D=*,故0G2=（J^+（I）=?,

則過點(diǎn)G的平面截球。所得截面圓的最小半徑，=（當(dāng)-?=∣,

Q3

故截面面積的最小值為兀，最大值為兀兀，故選

GyK=3ZBCD.

14.（多選）（2022.濟(jì)南模擬）已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)都在球O上，AB=BC

=AC=1,NAPC=不平面《4C_L平面ABC,則（）

A.直線。4與直線BC垂直

B.點(diǎn)P到平面ABC的距離的最大值為L季

-13兀

C?球O的表面積為亨

D.三棱錐O-ABC的體積為:

O

答案ACD

解析設(shè)AABC外接圓的圓心為Oi,連接。O,OlA

因?yàn)?。為三棱錐產(chǎn)一ABC外接球的球心，

所以O(shè)ol，平面ABC,

所以00ι±BC,因?yàn)锳B=BC=AC=1,

所以。A_LBC,所以BUL平面OOA,

所以04,BC,故A選項(xiàng)正確；

設(shè)△7%（?外接圓的圓心為02,

AC的中點(diǎn)為。，連接Q。，

JT

由于

AC=1,ZAPC=TO,

所以圓。2的半徑R=JX-J=1,

2.π

sιn6

√5

則易知ChD=號

√3

所以點(diǎn)P到平面ABC的距離的最大值為1+晉（此時P,02,。三點(diǎn)共線），故B

選項(xiàng)錯誤；

由于AB=BC=AC=1,

平面布CJ_平面ABC,平面∕?C∩平面ABC=AC,

所以圓OI的半徑n=?χ-J=坐，

Z.兀5

sιn3

圓。2的半徑r2=l,AABC與△/?C的交線段AC=1,

21l3

+-?-