2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市六校高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市六校高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測模擬試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角”條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)/(x)=ln(x+^)-左有兩個不同的零點，則實數(shù)上的取值范圍是()

X

A.kwln2B.左>ln2

C.k>]n2D.0<左vln2

2.已知奇函數(shù)/(%)是定義在R上的可導函數(shù)，/(%)的導函數(shù)為了‘(X),當I>0時，有2/(x)+0"(x)>O,則不等式

(x+2022)2于(X+2022)+4/(2)<0的解集為()

2020)B.(-00,-2024)

C.(-2020,+oo)D.(-2024,-H?)

3.已知機，〃表示兩條不同直線，名，表示兩個不同平面.設(shè)有兩個命題：Pi：若加〃則〃J_a；p2：

若則加，〃.則下列命題中為真命題的是。

A.AAp2

C.PivJp?)D.「(P1V°2)

4.已知直線的+3y-12=0在兩個坐標軸上的截距之和為7,則實數(shù)帆的值為()

A.2B.3

C.4D.5

5.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點耳，耳，P,Q分別是它們的在第一象限和第三象限的交點，且NQ月P=60°,記

31

橢圓和雙曲線的離心率分別為《2,則石+r等于()

qe2

A.4B.2G

C.2D.3

6.在空間四邊形O43C中，OA=a^OB=b，OC=c，點拉在線段。4上，且OA/=2MA,N為BC中點,

則MN等于()

1-2,1-2-1,1-

A.—a——b+-cB.——a+—b+—c

232322

irn2r2r2]lr

C.—ciH—b—cD.—a+—b——c

223332

7.下面四個條件中,使a>6成立的充分而不必要的條件是

A.a>b+lB.a>b—i

C.cr>b2D.a3>b3

r2222

8.已知橢圓工+匕=1與橢圓J+上=1(左<4),則下列結(jié)論正確的是()

949-k4—k

A.長軸長相等B.短軸長相等

C.焦距相等D.離心率相等

22=l(a〉0］〉0)的離心率6=等，點P是拋物線丁=4x上的一動點，P到雙曲線。的

9.已知雙曲線C:當x

a

上焦點耳(o,c)的距離與到直線％=-1的距離之和的最小值為"，則該雙曲線的方程為

22

A上-土=1B.^/=1

234

22

C.=1DX-^=I

-432

X

10.設(shè)函數(shù)〃x)=,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

X+1

A"(x—1)—1B./(x-l)+l

C./(x+l)-lD./(x+l)+l

11.函數(shù)“X)的導函數(shù)為「⑺，對任意xeR,都有/'(x)>—/(x)成立，若/(ln2)=g,則滿足不等式

〃x)>5的X的取值范圍是()

A.(l,+℃)B.(0,1)

C.(In2,-Hx))D.(O,ln2)

12.函數(shù)/(x)=lnx+3在點(1,/⑴)處的切線方程的斜率是()

A.2B.-l

C.OD.l

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化.“楊輝三角”揭示了二項式系

數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)

學家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年.“楊輝三角”是中國數(shù)學史上的一個偉大成就，激發(fā)起一

批又一批數(shù)學愛好者的探究欲望.如圖所示，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角中，第10行第8個數(shù)是

第

0行

1

第

1行

11

第

2行

121

第

3行

1331

第

4行

第

行14641

5

15101051

14.在一村莊正西方向120km處有一臺風中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為26km/h,距臺風中心100km

以內(nèi)的地區(qū)將受到影響，若臺風中心的這種移動趨勢不變，則村莊所在地大約有小時會受到臺風的影響.（參

考數(shù)據(jù)：/。2.6）

15.函數(shù)/（x）=幺+alnx在％=1處的切線與，=2尤+3平行，則。=.

X

J~oo_1

16.計算：

z=l乙

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知圓C經(jīng)過43,2）、6（1,6）兩點，且圓心在直線y=2x上

（1）求圓C的方程；

（2）若直線/經(jīng)過點尸（-1,3）且與圓C相切，求直線/的方程

18.（12分）已知橢圓C:二+與=1（?！?〉0）的右焦點為b（1,0）,且經(jīng)過點Q（、歷,1）.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設(shè)橢圓C的左頂點為P,過點R的直線/（與x軸不重合）交橢圓于A5兩點，直線24交直線/':x=2a于點、M,

若直線/'上存在另一點N,使引0.網(wǎng)=0.求證：尸，氏N三點共線.

19.（12分）大學生王蕾利用暑假參加社會實踐，對機械銷售公司1月份至6月份銷售某種機械配件的銷售量及銷售單

價進行了調(diào)查，銷售單價x和銷售量v之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：

月份i123456

銷售單價七（元）99.51010.5118

銷售量/（件）111086514

（i）根據(jù)1至5月份數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程；

（2）若剩下的6月份的數(shù)據(jù)為檢驗數(shù)據(jù)，并規(guī)定由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5元，則

認為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？

n

Z%X一討55

（注：$=號----------，a=y-bx,參考數(shù)據(jù)：5>%=392,=502.5）

32_蘇2日

Z=1

20.（12分）已知函數(shù)/'（x）=-2a21nx+gx2eR）.

（1）討論函數(shù)/（%）的單調(diào)性；

（2）若〃無）20恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

21.（12分）某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標準分為A,B,C,。四個等級.加工業(yè)務(wù)約定:

對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損

失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家

為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下:

甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABCD

頻數(shù)40202020

乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABCD

頻數(shù)28173421

（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；

（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)?

r2V22

22.（10分）已知橢圓E：F+}=l（a〉6〉0）的長軸長是6,離心率是

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設(shè)。為坐標原點,過點P(0,2)的直線/與橢圓E交于A,B兩點,判斷是否存在常數(shù)X,使得。A.08+424?

為定值？若存在，求出彳的值；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】方程有兩個根，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性與極值

【詳解】函數(shù)定義域是(0,+8),

/*)有兩個零點，即ln(x+^)-左=0有兩個不等實根，即左=ln(x+^)有兩個不等實根

XX

]%2-1

設(shè)g(x)=ln(x+—),貝Ig'(x)=-----T-=----,

X

X-—lx+x

X

0<x<l時，g'(x)<0,g(x)遞減，%>1時，g'(x)>0,g(x)遞增，

g(x)極小值=g6=ln2,而時，g(x)f+oo,xfo時，g(x)f+oo,

所以左>ln2

故選：B

2、B

【解析】根據(jù)給定的不等式構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2/(x),再探討函數(shù)g(x)的性質(zhì)，借助性質(zhì)解不等式作答.

【詳解】依題意，令g(x)=x2/(x),因/(尤)是R上的奇函數(shù)，貝!]g(—x)=(—x)2/(—x)=—x2/(x)=—g(x),即g(x)

是R上的奇函數(shù)，

當x>0時，8'0)=2對'0)+尤2-0)=%[2/0)+對'6)]>0,則有g(shù)(x)在(0,+°0)單調(diào)遞增，

又函數(shù)g(x)在R上連續(xù)，因此，函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

不等式(x+2022)2以x+2022)+4/(2)<0og(x+2022)+g(2)<0og(x+2022)<g(-2),

于是得x+2022<—2,解得X<—2024,

所以原不等式的解集是(-8,-2024).

故選：B

3、B

【解析】利用直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷2個命題的真假，再利用復合命題的真值表判斷選項的正誤即

可

【詳解】加，“表示兩條不同直線，a,6表示兩個不同平面

Pi：若mlla,mLn,則〃，a也可能〃//a,也可能〃與&相交，所以是假命題，「巧為真命題；

P2：令直線加的方向向量為加，直線〃的方向向量為“，若。，民相」

則向?方=0,則加_1_〃，所以是真命題，所以「必為假命題；

所以。1人。2為假命題，(-/)人22是真命題，Plv(「2)為假命題，P1V°2是真命題，所以「(PiV%)為假命題

故選：B

4、C

【解析】求出直線方程在兩坐標軸上的截距，列出方程，求出實數(shù)機的值.

12

【詳解】當機=0時，3y—12=0,故不合題意，故mwO,mx+3y—12=0,令x=0得：y=4,令y=0得：x=—,

m

12

故一+4=7,解得：m=4.

m

故選：C

5、A

【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為內(nèi),雙曲線的實半軸長為的,由定義可得P制-a1+a2,|PF2\=ax-a2,在△耳尸工中

利用余弦定理可得34+。；=402,即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為生,雙曲線的實半軸長為的，不妨設(shè)P在第一象限，

根據(jù)橢圓和雙曲線定義，得|尸耳|+|尸段=2q,|尸耳|-|P段=2%,

，盧耳卜6+a2,\PF2\=a,-a2,

由NQ且P=60?？傻?耳「居=120,又=2c,

.?.在△耳尸耳中，山鳥「=歸耳「+歸園2一2歸用.歸園8512。,

即4c2=(q+%+(。1—-2(。］+g—a,)xj—|,

31

化簡得3〃；+域=4H,兩邊同除以。2,得三+二二4.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查共焦點的橢圓與雙曲線的離心率問題，解題的關(guān)鍵是利用定義以及焦點三角形的關(guān)系列

出齊次方程式進行求解.

6、B

【解析】由題意結(jié)合圖形，直接利用MN=QN+MO,求出0N，然后即可解答.

【詳解】解：因為空間四邊形Q43C如圖，OA=a>OB=b，OC=c>

點M在線段QA上，且OA/=2MA,N為3c的中點，

所以。N=D

22

所以2W=ON+MO=—24+!/7+工0.

322

故選：B.

7、A

【解析】由獻.:②$心總：二&-：酒i,但一”無法得出:-1，A滿足；由..「-1、T「一均無法得出3”，不

滿足“充分由勖"：：:所:卞向，不滿足“不必要".

考點：不等式性質(zhì)、充分必要性.

8、C

【解析】利用％<4,可得9—左>4—左>0且9一左一(4-Q=9-4,即可得出結(jié)論

【詳解】???左<4,

:.9-k>4-k>0^9-k-(4-k)=9-4,

%2v2r2v2

二橢圓土+匕=1與橢圓/=1伏<4)的關(guān)系是有相等的焦距

949一人4-k

故選：C

9、B

【解析】先根據(jù)離心率得a=24c=后,再根據(jù)拋物線定義得最小值為耳/(E為拋物線焦點)，解得。，即得結(jié)

果.

【詳解】因為雙曲線C:斗—點■=1(?！怠懔Α怠?的離心率6=半，所以。=24。=&,

設(shè)P為拋物線V=4x焦點，則尸(L0),拋物線產(chǎn)=4了準線方程為x=-1,

因此P到雙曲線C的上焦點耳(0,c)的距離與到直線x=-l的距離之和等于PF1+PF,

因為「耳+P尸尸，所以耳E=&,即==君,a=2,>=l，

2

即雙曲線的方程為乙-龍2=1,選B.

4

【點睛】本題考查雙曲線方程、離心率以及拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

10、A

【解析】求出函數(shù)了(龍)圖象的對稱中心，結(jié)合函數(shù)圖象平移變換可得結(jié)果.

【詳解】因為--1，

X+1X+1X+1

所以，/(x)+/(-2-x)=l-^-+l-1=2,

x+1-2-x+l

所以，函數(shù)八％)圖象的對稱中心為(Tl),

將函數(shù)/(%)的圖象向右平移1個單位，再將所得圖象向下平移1個單位長度，可得到奇函數(shù)的圖象，

即函數(shù)/(%—1)—1為奇函數(shù).

故選：A

11、C

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"(x),利用導數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性，將所求不等式變形為g(x)>g(ln2),結(jié)合

函數(shù)g(x)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】對任意xeR,都有解(力>-/(力成立,即廣(力+/(力>0

令g(x)=e"(x),則/(%)=^[/,(%)+/(%)]>0,

所以函數(shù)g(x)R上單調(diào)遞增

不等式〃x)>5即e"(x)>l,即g(x)>l

因為“In2)=g,所以g(ln2)=eM2/(ln2)=2x；=l

所以，g(x)>l=g(ln2),解得%>山2,

所以不等式g(%)>1的解集為(In2,-+w)

故選：C.

12、D

【解析】求解導函數(shù)，再由導數(shù)的幾何意義得切線的斜率.

【詳解】求導得尸(刈=工，由導數(shù)的幾何意義得上=/''⑴=1,所以函數(shù)在(1"⑴)處切線的斜率為1.

故選：D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、120

【解析】根據(jù)二項式的展開式系數(shù)的相關(guān)知識即可求解.

【詳解】因為，二項式展開式第r+1項的系數(shù)為

］八X。X父

所以，第10行第8個數(shù)是品)=63。=120.

3x2x1

故答案為：120

14、4

【解析】結(jié)合勾股定理求得正確答案.

【詳解】如圖，設(shè)村莊為4開始臺風中心的位置為3,臺風路徑為直線/,

因為點A到直線I的距離為600<100，

村莊所在地受到臺風影響的時間約為：2/100)2—(600)2=4(W"(小時).

2626

故答案為：4

本卷包括必考題和選考題兩部分.第17題?第21題為必考題，每個試題考生都必須作答

第22題?第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答

15、2

【解析】由『(1)=2得出。的值.

【詳解】r(x)=e'd)+q

XX

因為函數(shù)〃x)=C+alnx在尤=1處的切線與y=2x+3平行

所以/1(1)=2,故“=2

故答案為：2

16、1

【解析】根據(jù)無窮等比數(shù)列的求和公式直接即可求出答案.

￡

31彳

【詳解】工T=L

i=lZ1一2

2

故答案為：1.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17>(1)(x-2)2+(y-4)2=5；(2)2x-y+5=0必+2y-5=0

【解析】(1)根據(jù)圓心在弦的垂直平分線上，先求出弦AB的垂直平分線的方程與y=2%聯(lián)立可求得圓心坐標，再用

兩點間的距離公式求得半徑，進而求得圓的方程；(2)當直線/斜率不存在時，與圓相切，方程為x=-1；當直線/斜

率存在時，設(shè)斜率為左，寫出其點斜式方程，利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解出左的值.

試題解析：(1)依題意知線段A3的中點M坐標是(2,4),直線A3的斜率為匚1=-2,

故線段A3的中垂線方程是y_4=g(x—2)即x—2y+6=0,

解方程組｛y=2x得｛y=4,即圓心C的坐標為(2,4)，

圓C的半徑r=|AC|=V5,故圓C的方程是(x—2)2+(y—4)2=5

(2)若直線/斜率不存在，則直線/方程是尤=-1,與圓C相離，不合題意；若直線/斜率存在，可設(shè)直線/方程是

y—3=左(1+1),即Ax—y+k+3=0,因為直線/與圓C相切，所以有17與目=6,

解得左=2或左=一,

2

所以直線/的方程是2x-y+5=0或x+2y-5=0.

22

18、(1)—+^=1；

43

(2)證明見解析.

【解析】(1)根據(jù)給定條件利用橢圓的定義求出軸長2a即可計算作答.

(2)根據(jù)給定條件設(shè)出/的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，求出直線協(xié)的方程并求出點M的坐標，求出點N的坐標，再

利用斜率推理作答.

【小問1詳解】

依題意，橢圓。的左焦點廠(-1,0),由橢圓定義得：

2

2a=\QF\+\QF'\=-1)+凈+++件y

22

所以橢圓C的標準方程為L+匕=1.

43

【小問2詳解】

由⑴知，P-2,0),直線/不垂直y軸，設(shè)直線/方程為x=my+l,4>1，%),3(%2，y2)，

x=my+l._-6m-9

由｛22消去x得：(3"+4)y+6my-9=0,則%+%=公，.，%%=文24，

+4y=123m+43m+4

直線"的斜率勉=力,直線"的方程：戶旌（x+2），而直線小=4,即版4,黑）,

6yl

再+2

直線WW的斜率7_石+2_2yl,而FM-FN=0,即印_L￡M,直線F7V的斜率左FN

KFM=/1=—―2%

4-1%+2

x+2八3司+6、

直線FN的方程：丁=一"一（zX-D，則點NATZ（/41,一一一）,

2%2y

3x+6

7----------

直線P3的斜率左PB=-^7,直線PN的斜率72M石+2,

工+2kpN=------=一一;

4-（-2）4%

:%（尤i+2、_%「犯1+3_（〃22+4）-%+3〃2（%+%）+9

PBPN

X2+24%my2+34%4%（根%+3）'

而（"，+4）%%+3"K%+%）+9=""J+旬+6〃；3〃?+9=0,即上膽=上印,

3m2+43m-+4

所以P,民N三點共線.

【點睛】思路點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x（或y）建立一元

二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系

19、（1）y=-3.2X+40

（2）回歸直線方程是理想的

【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)求得月利用最小二乘法可求得回歸直線方程;

（2）令回歸直線中的％=8可求得估計數(shù)據(jù)，對比檢驗數(shù)據(jù)即可確定結(jié)論.

小問1詳解】

_9+9.5+10+10.5+110,11+10+8+6+5

由表格數(shù)據(jù)可知:x=--------------------------=10,y=—5—=8o'

5

.小黑部72'則"8+32=4。，

???y關(guān)于X的回歸直線方程為y=-3.2x+40；

【小問2詳解】

令回歸直線中的％=8,則,=_3.2x8+40=14.4,

|14.4-14|=0.4<0.5,A（1）中所得到的回歸直線方程是理想的.

20、（1）當。=0時，（0,+"）上單調(diào)遞增;

當a>0時，/(%)在(0,。)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增；

當"0時，在(0,-2a)上單調(diào)遞減，在(-2a,”)上單調(diào)遞增.

1f

(2)--,e4

2

【解析】(1)先求函數(shù)的定義域，再求導，根據(jù)導數(shù)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，分別求a=0,a>0,a<。時/(尤)的最小值，令/(九)1ra°20,即可求出實數(shù)。的取值范圍.

【小問1詳解】

易知函數(shù)/(x)=-Z/lnx+gV+ax的定義域為(0,+“)，

叫「2片(x+2a)(x-a)

J(Al------rA~ru--------------,

XX

當a=0時，f(x)=x>0,所以/(九)在(0,+。)上單調(diào)遞增；

當a>0時，x+2a>0,令/'(x)>0,得x>a；令/'(九)<0,得0<%<a,

所以/(力在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增；

當a<0時，x-a>Q,令/'(x)>0,得x>-2a；令/'(x)<0,得0<x<-2a,

所以/(同在(0,-2a)上單調(diào)遞減，在(-2a,內(nèi))上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

當a=0時，/(力=1/20成立，所以。=0符合題意；

當a〉0時，/(尤)在(0,。)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，

要使>。恒成立，則/(力皿=/(?)=-2a2lna+1a2+a2>0,

3

解得0<aVe"；

當a<0時，/(尤)在(0,-2a)上單調(diào)遞減，在(-2a,+8)上單調(diào)遞增，

1,

22

要使/(x)20恒成立，貝！|/(x)m，n=/(-2a)=-2aIn(-2a)+-(-2a)'-2a>0,

解得—<a<0.

2

「1-1

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是一萬工4.

21、(1)甲分廠加工出來的A級品的概率為0.4,乙分廠加工出來的A級品的概率為0.28；(2)選甲分廠，理由見

解析.

【解析】(1)根據(jù)兩個頻數(shù)分布表即可求出；

(2)根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工100件產(chǎn)品的總利潤，即可求出平均利潤，由此作出選擇

40

【詳解】(1)由表可知，甲廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率為志=04,乙廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品

9Q

的概率為——=0.28；

100

(2)甲分廠力口工100件產(chǎn)品的總利潤為40x(90—25)+20x(50—25)+20x(20—