
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文檔簡介
2023年高考數(shù)學總復習第三章導數(shù)及其應用
第1節(jié)導數(shù)的概念及運算、定積分
考試要求1.了解導數(shù)概念的實際背景;2.通過函數(shù)圖像直觀理解導數(shù)的幾何意義;
3.能根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù)),y=x,y=~,y—x1,y=x3,y=@的
x
導數(shù);4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導
數(shù).能求簡單復合函數(shù)(僅限于形如夕=/(依+6)的形式)的導數(shù);5.了解定積分的概
念及簡單應用.
□知識診斷?基礎夯實
知識梳理
1.函數(shù)y=/U)在x=xo處的導數(shù)
(1)定義:當XI趨于X0,即Ax趨于0時,如果平均變化率趨于一個固定的值,那
么這個值就是函數(shù)_y=/(x)在xo點的瞬時變化率.在數(shù)學中,稱瞬時變化率為函數(shù)
y=/(x)在xo點的導數(shù),通常用符號/(xo)表示,記作
2盤"附2個興--NSgX
/(xo)=率%.,*=晶趣ft,)
(2)幾何意義:函數(shù)y=/(x)在點xo處的導數(shù)的幾何意義,就是曲線夕=/(x)在點P(xo,
?co))處的切線的斜率左,即k=£j向1,切線方程為:y—JXQ)=/7XO)(X—xo).
2.函數(shù)歹=/(x)的導函數(shù)
如果一個函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,b)上的每一點x處都有導數(shù),導數(shù)值記為/(x):/(x)
=星星土量匚9=,則廣(X)是關于x的函數(shù),稱/Xx)為/(x)的導函數(shù),通常
Ax
也簡稱為導數(shù).
3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
基本初等函數(shù)導函數(shù)
yU)=c(c為常數(shù))/W=o
網(wǎng)="(adQ*)f(x}=axa~x
第1頁共19頁
/(x)=sinx/(x)=cos_x
f(x)=cosxf(x)=-sinx
網(wǎng)=./(%)=$
f(x)=a\a>0,aWl)/(x)=avlna
危)=lnx/w==
X
危尸地d(a>0,a#l)f(x)
xlna
4.導數(shù)的運算法則
若/(X),g'(x)存在,則有:
(l)[/(x)士g(x)]'=/'(x)土*'(x);
(2)[/(x),g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g(x);
⑶0],」⑴q(:)二『g’⑴恁⑴刈).
但(X)r
5.復合函數(shù)的導數(shù)
復合函數(shù)y=/(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=J{u),i/=g(x)的導數(shù)間的關系為yx'=yu'-ux'.
6.定積分的性質(zhì)
(1)錯誤!研x)dx=/錯誤!四)苴(左為常數(shù)).
(2)錯誤![/i(x)切(x)]dx=錯誤必錯誤!£3苴.
(3)錯誤叭x)dx=錯誤位)苴+錯誤儀x)dx(其中aVcVb).
常用結(jié)論
1/(X0)代表函數(shù)/(X)在x=xo處的導數(shù)值;(/(xo)y是函數(shù)值/(X0)的導數(shù),且(/(xo)y=
0.
-1-
f(X)
2./(x),=—(/U)WO).
[/,J(x)產(chǎn)、'
3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個,而直線與二次曲線相切只
有一個公共點.
4.函數(shù)y=/(x)的導數(shù)/(x)反映了函數(shù)_/(x)的瞬時變化趨勢,其正負號反映了變化的
方向,其大小望(力|反映了變化的快慢,ira)i越大,曲線在這點處的切線越“陡”.
第2頁共19頁
診斷自測
1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)
(l)/'(xo)是函數(shù)y=/(x)在x=xo附近的平均變化率.()
(2)函數(shù)/(x)=sin(—x)的導數(shù)/(x)=cosx.()
(3)求/(xo)時,可先求7(xo),再求/'(xo).()
(4)曲線_y=Ax)在某點處的切線與曲線y=/3)過某點的切線意義是相同的.()
(5)若錯誤!/(x)dx<0,那么由y=/(x),x=a,以及x軸所圍成的圖形一定在x
軸下方.()
答案(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X
解析(1*(X0)表示歹=/(x)在x=xo處的瞬時變化率,⑴錯.
(2)/(x)=sin(—x)=—sinx,則/(x)=—cosx,(2)錯.
(3)求/(配)時,應先求/(x),再代入求值,(3)錯.
(4)“在某點”的切線是指以該點為切點的切線,因此此點橫坐標處的導數(shù)值為切
線的斜率;而對于“過某點”的切線,則該點不一定是切點,要利用解方程組的
思想求切線的方程,在曲線上某點處的切線只有一條,但過某點的切線可以不止
一條,(4)錯.
(5)若錯誤!/(x)dx<0,可能是由y=/(x),x=a,x=b以及x軸所圍成的圖形在x軸
下方的面積比在x軸上方的面積大.
2.某跳水運動員離開跳板后,他達到的高度與時間的函數(shù)關系式是咐)=10—4.9產(chǎn)
+8/(距離單位:米,時間單位:秒),則他在0.5秒時的瞬時速度為()
A.9.1米/秒B.6.75米/秒
C.3.1米/秒D.2.75米/秒
答案C
解析〃'⑺=—9.8t+8,
/./?,(0.5)=-9.8X0.54-8=3.1.
3.(2020?全國III卷)設函數(shù)於)=一厘.若/(1)=1,則。=______.
x+a4
答案1
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解析由/d(:丁F可得八D=即;W,解
(x+a)2(1+a)24(1-va)24
得。=1.
4.(2021?全國甲卷)曲線y=43在點(一1,一3)處的切線方程為_______.
x+2
答案5x—y+2=0
px-n
解析y=lx+2j(2x—1)'(x+2)—(2x—1)(x+2)'
(x+2)2
_5
(x+2)2,
所以%=/卜一=/5=5所以切線方程為y+3=5(x+i),即5》一夕+2
(—1+2)
=0.
5.錯誤!/sinl+Jdxn.
答案2
解析由題意得錯誤!/sin[+Jdx
=錯誤!(sinx+cosx)dx=(sinx—cos-x)
[.兀7C|
Isin—cos-I
=122j—(sin0—cos0)=2.
6.(易錯題)設函數(shù)/(X)的導數(shù)為了(X),且,危)=/£1足》+85%,貝=.
答案T
解析由危)=/0sinx+cosx,
,J-1
得/'(X)=/12Jcosx—sinx,
則/W=/MCOSsin
第4頁共19頁
解得/用=—1,
所以_/CJ=_cos--sin-=—A/2.
44
〔考點突破?題型剖析
考點一導數(shù)的運算
L下列求導運算不正確的是()
A.(sina)f=cosa(a為常數(shù))
B.(sin2x)'=2cos2x
c?曲嗔
D.(ex-lnx+2x2)r=ev-~+4x
x
答案A
解析??%為常數(shù),???sin。為常數(shù),???(sinO=0,故A錯誤.由導數(shù)公式及運算
法則知B、C、D正確.
c什〃、x3+2x-x2lnx-1〃/、
2.右/(x)=----------------------,貝U/(x)=.
答案1_1_三十三
71
解析由已知火x)=x-InxH-------
Xxz
???/a)=i_iy2+42
3.(2021?鄭州檢測)設段)=ln(3—2x)+cos2x,貝了(0)=.
答案_|
解析因為/(x)=一—--—2sin2x,
3—2x
7
所以/(0)=一,
4.已知函數(shù)/(X)的導函數(shù)為/(X),且滿足關系式/(X)=/+3切(2)+InX,則/⑴=
答案一日
4
第5頁共19頁
解析因為y(x)=x2+3xf(2)+lnx,
:.f(x)=2x+3f(2)+-.
X
令尸2,#/(2)=4+3/(2)+1則”)=[.
.\/(1)=1+3X1X1d4J+0=-2-3.
感悟提升1.求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、
商,再利用運算法則求導.
2.抽象函數(shù)求導,恰當賦值是關鍵,然后活用方程思想求解.
3.復合函數(shù)求導,應由外到內(nèi)逐層求導,必要時要進行換元.
考點二導數(shù)的幾何意義
角度1求切線的方程
例1(1)曲線y=3(x2+x)e「在點(0,0)處的切線方程為.
(2)已知函數(shù)/(x)=xlnx,若直線/過點(0,-1),并且與曲線夕=/(x)相切,則直線
I的方程為.
答案(l)3x—y=0(2)x—y—1=0
解析(l)y'=3(2x+1)e'+3(x2+x)e'=3ev(x24*3x+1),
所以曲線在點(0,0)處的切線的斜率左=eOX3=3,所以所求切線方程為3x-y=
0.
(2),.,點(0,一1)不在曲線人x)=xlnx上,
???設切點為(X0,次).
又;/'(x)=l+lnx,
二直線/的方程為y+l=(l+lnxo)x.
,yo=xolnxo,fvo=l,
???由,,/,解得,
yo+1=(1+lnxo)xo,yo=O.
??.直線/的方程為y=x-1,x—y—1=0.
角度2求曲線的切點坐標
例2(2019?江蘇卷改編)在平面直角坐標系xQy中,點/在曲線y=lnx上,且該
曲線在點N處的切線經(jīng)過點(一e,一l)(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則點/的坐標是
,此時切線方程為.
第6頁共19頁
答案(e,1)x—ey=O
解析設4(加,n),則曲線y=lnx在點4處的切線方程為y—〃=L(x—加).
m
又切線過點(一e,—1),
所以有/?+1=~(/w+e).
m
再由〃=ln/w,解得〃?=e,n=\.
故點Z的坐標為(e,1),
切線方程為x—ey=O.
角度3導數(shù)與函數(shù)圖像問題
例3已知夕=/(x)是可導函數(shù),如圖,直線少="+2是曲線y=/(x)在x=3處的切
線,令g(x)=V(x),890是8打)的導函數(shù),則g(3)=.
答案0
解析由題圖可知曲線y=/(x)在x=3處切線的斜率等于一;,???/(3)=一;.
''g(x)=xf(x),
二g'(x)=/(》)+歲(X),
...g,(3)=/(3)+"(3),
又由題意可知43)=1,
.?.g<3)=l+3X卜f=0.
感悟提升1.求曲線在點尸(xo,次)處的切線,則表明P點是切點,只需求出函數(shù)
在P處的導數(shù),然后利用點斜式寫出切線方程,若在該點尸處的導數(shù)不存在,則
切線垂直于x軸,切線方程為x=xo.
2.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.切點坐標
不知道,要設出切點坐標,根據(jù)斜率相等建立方程(組)求解,求出切點坐標是解
題的關鍵.
訓練1(1)(2022?沈陽模擬)曲線<x)=2e'sinx在點(0,犬0))處的切線方程為()
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Ay=OB.y=2x
C.y—~xD.j^—=2x
(2)(2021?長沙檢測)如圖所示,y=/(x)是可導函數(shù),直線/:y=kx+3是曲線y=/(x)
在x=l處的切線,令。(x)=*
HL,"(X)是〃(X)的導函數(shù),則,(1)的值是()
X
A.2B.1
C.-1D.-3
答案(1)B(2)D
解析(l)V/(x)=2&vsinx,
/./(0)=0,/(x)=2er(sinx+cosx),
.?.〃0)=2,...所求切線方程為夕=2x.
(2)由圖像知,直線/經(jīng)過點(1,2).
則%+3=2,k——\,從而/(1)=—1,且義1)=2,
由〃⑴=g,得如)=[(%)了(%),
XX2
所以勿(D=/(1)-/(D=—1—2=—3.
考點三導數(shù)幾何意義的應用
例4(1)己知曲線/(x)=xlnx在點(e,/(e))處的切線與曲線y=x2+a相切,則實數(shù)a
的值為.
(2)(2022?河南名校聯(lián)考)若函數(shù)./(x)=lnx+2x2一分的圖像上存在與直線2x-y=0
平行的切線,則實數(shù)。的取值范圍是.
答案(l)l-e(2)[2,+oo)
解析(1)因為/(x)=lnx+l,
所以曲線火x)=xlnx在x=e處的切線斜率為左=2,
又/(e)=e,
第8頁共19頁
則曲線./(x)=xlnx在點(e,7(e))處的切線方程為y=2x—e.
由于切線與曲線卜=/+。相切,
y=x2+a,
故可聯(lián)立
y=2x-e,
得x2—2x+a+e=0,
所以由1=4—4(a+e)=0,解得a=l-e.
(2)..?直線2x-y=0的斜率為k=2,
又曲線人幻上存在與直線2x—y=0平行的切線,
???/(x)=,+4x—。=2在(0,+8)內(nèi)有解,則q=4x+1一2,x>0.
XX
又4X+-^2A4X1=4,當且僅當時取“=”.
x\Jx2
,心4一2=2.
...a的取值范圍是[2,+8).
感悟提升1.處理與切線有關的參數(shù)問題,通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關
系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù):(1)切點處的導數(shù)是切線的斜率;(2)切點在切
線上;(3)切點在曲線上.
2.利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)范圍時,注意化歸與轉(zhuǎn)化思想的應用.
訓練2(1)設曲線_y=H圖氾在點1]處的切線與直線x—即+i=o平行,則實
sinx
數(shù)a=.
(2)直線夕="+1與曲線y=x3+ax+b相切于點4(1,3),則2a+b=.
答案(1)-1(2)1
解析(I)、?切線與直線x—即+1=0平行,斜率為L
—1—COSX
又尸
sin2x
???切線斜率—1,
...X—砂+1=0的斜率為一1,即1=-1,解得Q=-1.
a
(2)9=13+辦+力的導數(shù)為y,=3x2+a,
可得在點(1,1)處切線的斜率為攵=3+m
第9頁共19頁
==
又4+1=3,1+。+6=3,解得〃=2,u—196=3,即有2ci~\~b—2+3=1.
[|考點四定積分__________________________
、門x£[0,1],,
1.lx./(%)=?則錯誤!/(x)dx等于()
2—x,(1,2],
44s
A.-B.-C.-D.不存在
456
答案c
解析錯誤!/(x)dx=錯誤!%2dx+錯誤!(2—x)dx
3IoIi
i(4-2-2+l]=|
36
2.錯誤!(sinx+\!4—x2)dx等于()
兀
AA.-B.兀+2cos2
2
C.2兀+2cos2D.2兀
答案D
解析錯誤!"4—x2dx表示圓N+y2=4在x軸及其上方的面積,
錯誤!\4-x2dx=^x兀X22=271.
又r=sinx為奇函數(shù),知錯誤!sinxdx=O,
/.錯誤!(sinx+J4—x2)dx=2兀+0=2兀.
3.4片葉子由曲線產(chǎn)=網(wǎng)與曲線[y]=/圍成,則每片葉子的面積為()
A.-B.—C.-D.-
6633
答案C
解析作出爐=|x|及的大致圖形,如圖所示:
第10頁共19頁
根據(jù)圖形的對稱性,不妨考慮第一象限內(nèi)圖形,如圖中陰影部分.
解得尸,或尸'
y=x2?=0卜=1,
故每片葉子的面積為
錯誤!(心一2匕=3^3X]I=1.
Io3
4.(2021?衡水調(diào)研)如圖,陰影部分是由曲線y=2x2和圓x2+f=3及x軸圍成的封
閉圖形,則陰影部分的面積為_______.
解析曲線卜=2/與7+產(chǎn)=3在第一象限內(nèi)的交點坐標為〔2'2J,設該點為人
圓x2+y2=3與x軸正半軸的交點為B.
連接04則直線OA的方程為
則直線OA與拋物線歹=2x2所圍成的圖形的面積
可知扇形NO8的圓心角為四,則扇形的面積S2=1X四X3=£.
3232
所以陰影部分的面積S=S2—s=^—
28
感悟提升1.利用定積分求曲邊梯形面積的基本步驟:畫草圖、解方程得積分上、
第11頁共19頁
下限,把面積表示為已知函數(shù)的定積分(注意:兩曲線的上、下位置關系,分段表
示的面積之間的關系).
2.根據(jù)圖形的特征,選擇合適的積分變量,利用定積分的性質(zhì)和幾何意義簡化計
算.
微點突破/公切線問題
求兩條曲線的公切線,如果同時考慮兩條曲線與直線相切,頭緒會比較亂,為了
使思路更清晰,一般是把兩條曲線分開考慮,先分析其中一條曲線與直線相切,
再分析另一條曲線與直線相切,其中直線與拋物線相切可用判別式法.
一'共切點的公切線問題
例1設點P為函數(shù)/(X)=$2+2ax與g(x)=3a21nx+2b(a>0)的圖像的公共點,以
P為切點可作直線/與兩曲線都相切,則實數(shù)b的最大值為()
33
2-3-
A-e4B.-e4
32
22
4-3-
C.-e3D.-e3
34
答案D
解析設P(xo,次),由于P為公共點,
貝U-xi-\-2axo=3a2lnxo+26.
2
又點P處的切線相同,則/(%。)=9。。),
=
即XQ-\-2a^-9即(xo+3a)a()—。)=0.
xo
又a>0,xo>O,則xo=a,于是26=*Q2—3。2]口%
2
設h(x)=|x2—3x2lnx,x>0,
則hr(x)=2x(1—31nx).
i
可知:當x£(0,3)時,〃⑺單調(diào)遞增;
1
當x£(e3,+8)時,〃(x)單調(diào)遞減.
12
3-
故/z(x)niaX=/z(e3)=-e3,
第12頁共19頁
于是b的最大值為=鹵,選D.
二、切點不同的公切線問題
例2曲線y=一1(x<0)與曲線y=lnx的公切線的條數(shù)為.
X
答案1
解析設(如,巾)是公切線和曲線的切點,
X
則切線斜率左1=[
切線方程為J^+—=^Z(X—X1),
XlXT
整理得y=^x——.
XTXl
設(X2,歹2)是公切線和曲線y=lnx的切點,
則切線斜率k=(\nxy\=-,
2x=xX2
切線方程為y—\nx2=—(X—X2)?
X2
整理得y=—'X~\~\nX2—1.
X2
A1_12一1
令一;二一,----InX2-1,
XTX2X\
消去X2得一2=inX?-1.
X1
設/=—幻>0,即21nf—2—1=0,只需探究此方程解的個數(shù).
t
易知函數(shù)兀v)=21nx一4一1在(0,十8)上單調(diào)遞增,{1)=—3<0,/(e)=l-->0,
xe
于是加)=0有唯一解,于是兩曲線的公切線的條數(shù)為1.
I分層訓練■鞏固提升
LA級暹硼鞏固
1,函數(shù)?r)=x2+lnx+sinx+l的導函數(shù)/(x)=()
A.2x+-+cosx+1B.2x-----Feosx
XX
第13頁共19頁
C.2x~\-----cosxD.2x+-+cosx
XX
答案D
解析由/(x)=x2+lnx+sinx+1得/(x)=2x+-+cosx.
x
2.曲線y=工在點(3,2)處的切線的斜率是()
x—1
A.2B.-2C.-D.--
22
答案
(x+1)'(%—1)—(x+1)(%—1)
解析
(X—1)2,
故曲線在點(3,2)處的切線的斜率
21
k=y'\=3
x(3-1)22,
3.(2021?安徽皖江名校聯(lián)考)已知危)=/+2V%)),則/(1)=()
A.2B.3C.4D.5
答案B
解析r(x)=3x2+2/(0),
.../(0)="(0),解得/(0)=0,
.,./W=3x2,A/(l)=3.
4.曲線.段)=爐一2%2+2匕-2),過點P(2,0)的切線方程為()
A.x+y—2=0B.x+y+2=0
C.x—y-2=0D.x—y+2=0
答案A
解析因為{2)=23—2X22+2=2/0,
所以點(2,0)不在曲線/(x)=x3—2/+2上.
設切點坐標為(X0,次),且340樓,
第14頁共19頁
yo=x8-2x8+2,
則0=/(xo),
2-xo
yo=xi-2xi+2,
所以二1L=3X8—4x。,
2—xo
消去yo,整理得(xo—1)(x8—3xo+1)=0,
解得xo=1或xo=31S(舍去)或xo=32"^(舍去),
所以yo=l,/(xo)=-1,
所以所求的切線方程為y—1=—(x—1),即x+y—2=0.
5.(2022?昆明診斷)若直線y=ox與曲線y=lnx—l相切,貝I。=()
A.eB.lC.-D.-rr
ee2
答案D
解析由y=lnx—1,得y'=l,設切點為(xo,lnx0—1),
X
axo=\nxo-1,
則:—1解得a=;.
Q一—,e2
xo
6.已知函數(shù)/(x)在R上可導,其部分圖像如圖所示,£⑷工⑵=呢則下
列不等式正確的是()
A.a<f(2)V(4)
B〃2)<a<*4)
C/(4)</(2)<a
D/(2)<A4)<a
答案B
第15頁共19頁
解析由函數(shù)的圖像可知,在[0,+8)上,函數(shù)值的增長越來越快,故該函
數(shù)圖像在[0,+8)上的切線斜率也越來越大.
E⑷-/(2)
因劉------:------=a,
4-2
所以/(2)<a寸(4).
7.若錯誤!「xjdx=3+ln2(a>l),則a的值是.
答案2
11?a
解析..'錯誤!Ixjdx=(x2+\nx)J=a2+lna-1.
a2+lna—1=3+ln2(a>l),:.a=2.
8.已知曲線")=$3_爐_以+1存在兩條斜率為3的切線,則實數(shù)。的取值范圍
是.
答案(-4,+°°)
解析f(x)=x2--2x—a,
依題意知x2—2x—a=3有兩個實數(shù)解,
即4=》2—2%—3=(》-1)2—4有兩個實數(shù)解,
:.y=a與y=(x—l)2—4的圖像有兩個交點,
:.a>~4.
9.(2029濟南檢測)曲線尸兀0在點P(—1,/(—1))處的切線/如圖所示,則八一1)
+/-1)=.
答案一2
解析?.?直線/過點(一2,0)和(0,-2),
直線/的斜率/(—1)=、——=-1,直線/的方程為y=—x—2.
-2—0
則—D=1~2=—l.
第16頁共19頁
故/(—l)+y(_l)=TT=_2.
10.已知函數(shù)/(x)=x3—4x2+5x—4.
(1)求曲線/(x)在點(2,/(2))處的切線方程;
(2)求經(jīng)過點/(2,—2)的曲線外)的切線方程.
解(1)因為/(x)=3N—8x+5,
所以/(2)=1,
又/(2)=-2,所以曲線/(x)在點(2,/(2))處的切線方程為y—(-2)=x-2,即x-y
-4=0.
(2)設切點坐標為(xo,xj—4x8+5xo—4),
因為/(xo)=3xo—8xo+5,
所以切線方程為(-2)=(3xo—8xo+5)(x—2),
又切線過點(xo,xj—4x9+5xo—4),
所以x8—4x8+5xo—2=(3x§—8xo+5)-(xo—2),
整理得(xo-2)2(x()-1)=0,
解得xo=2或xo=1,
所以經(jīng)過點A(2,—2)的曲線小)的切線方程為x-y—4=0或y+2=0.
11.已知函數(shù)Xx)=x3+x—16.
(1)求曲線歹=/(%)在點(2,—6)處的切線方程;
(2)直線/為曲線y=/(x)的切線,且經(jīng)過原點,求直線/的方程及切點坐標.
解(1)根據(jù)題意,得/(x)=3x2+l.
所以曲線歹=/(x)在點(2,—6)處的切線的斜率
左寸(2)=13,
所以所求的切線方程為13x—y—32=0.
(2)設切點為(xo,次),則直線/的斜率為/(回)=3蝴+1,
所以直線/的方程為y=(3x6+l)(x—xo)+x^+xo—16.
又直線/過點(0,0),則(3x8+1)(
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