2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1節(jié)：導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 定積分(教師版)

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算、定積分

考試要求1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景;2.通過(guò)函數(shù)圖像直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義;

3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù))，y=x,y=~,y—x1,y=x3,y=@的

x

導(dǎo)數(shù)；4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)

數(shù).能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如夕=/(依+6)的形式)的導(dǎo)數(shù)；5.了解定積分的概

念及簡(jiǎn)單應(yīng)用.

□知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

知識(shí)梳理

1.函數(shù)y=/U)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)

(1)定義：當(dāng)XI趨于X0,即Ax趨于0時(shí)，如果平均變化率趨于一個(gè)固定的值，那

么這個(gè)值就是函數(shù)_y=/(x)在xo點(diǎn)的瞬時(shí)變化率.在數(shù)學(xué)中，稱(chēng)瞬時(shí)變化率為函數(shù)

y=/(x)在xo點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，通常用符號(hào)/(xo)表示，記作

2盤(pán)"附2個(gè)興--NSgX

/(xo)=率%.，*=晶趣ft，)

(2)幾何意義：函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線夕=/(x)在點(diǎn)P(xo,

?co))處的切線的斜率左，即k=￡j向1，切線方程為：y—JXQ)=/7XO)(X—xo).

2.函數(shù)歹=/(x)的導(dǎo)函數(shù)

如果一個(gè)函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,b)上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為/(x)：/(x)

=星星土量匚9=,則廣(X)是關(guān)于x的函數(shù)，稱(chēng)/Xx)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常

Ax

也簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù).

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

yU)=c(c為常數(shù))/W=o

網(wǎng)="(adQ*)f(x}=axa~x

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/(x)=sinx/(x)=cos_x

f(x)=cosxf(x)=-sinx

網(wǎng)=./(%)=$

f(x)=a\a>0,aWl)/(x)=avlna

危)=lnx/w==

X

危尸地d(a>0，a#l)f(x)

xlna

4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

若/(X)，g'(x)存在，則有：

(l)[/(x)士g(x)]'=/'(x)土*'(x)；

(2)[/(x)，g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g(x)；

⑶0]，」⑴q(：)二『g’⑴恁⑴刈).

但(X)r

5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=J{u),i/=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'-ux'.

6.定積分的性質(zhì)

(1)錯(cuò)誤!研x)dx=/錯(cuò)誤!四)苴(左為常數(shù)).

(2)錯(cuò)誤![/i(x)切(x)]dx=錯(cuò)誤必錯(cuò)誤!￡3苴.

(3)錯(cuò)誤叭x)dx=錯(cuò)誤位)苴+錯(cuò)誤儀x)dx(其中aVcVb).

常用結(jié)論

1/(X0)代表函數(shù)/(X)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)值；(/(xo)y是函數(shù)值/(X0)的導(dǎo)數(shù)，且(/(xo)y=

0.

-1-

f(X)

2./(x)，=—(/U)WO).

[/,J(x)產(chǎn)、'

3.曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，而直線與二次曲線相切只

有一個(gè)公共點(diǎn).

4.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)/(x)反映了函數(shù)_/(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的

方向，其大小望(力|反映了變化的快慢,ira)i越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.

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診斷自測(cè)

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(l)/'(xo)是函數(shù)y=/(x)在x=xo附近的平均變化率.()

(2)函數(shù)/(x)=sin(—x)的導(dǎo)數(shù)/(x)=cosx.()

(3)求/(xo)時(shí)，可先求7(xo),再求/'(xo).()

(4)曲線_y=Ax)在某點(diǎn)處的切線與曲線y=/3)過(guò)某點(diǎn)的切線意義是相同的.()

(5)若錯(cuò)誤!/(x)dx<0,那么由y=/(x),x=a,以及x軸所圍成的圖形一定在x

軸下方.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X

解析(1*(X0)表示歹=/(x)在x=xo處的瞬時(shí)變化率，⑴錯(cuò).

(2)/(x)=sin(—x)=—sinx,則/(x)=—cosx,(2)錯(cuò).

(3)求/(配)時(shí)，應(yīng)先求/(x),再代入求值，(3)錯(cuò).

(4)“在某點(diǎn)”的切線是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線，因此此點(diǎn)橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)值為切

線的斜率；而對(duì)于“過(guò)某點(diǎn)”的切線，則該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，要利用解方程組的

思想求切線的方程，在曲線上某點(diǎn)處的切線只有一條，但過(guò)某點(diǎn)的切線可以不止

一條,(4)錯(cuò).

(5)若錯(cuò)誤!/(x)dx<0,可能是由y=/(x),x=a,x=b以及x軸所圍成的圖形在x軸

下方的面積比在x軸上方的面積大.

2.某跳水運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)跳板后，他達(dá)到的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式是咐)=10—4.9產(chǎn)

+8/(距離單位：米，時(shí)間單位：秒)，則他在0.5秒時(shí)的瞬時(shí)速度為()

A.9.1米/秒B.6.75米/秒

C.3.1米/秒D.2.75米/秒

答案C

解析〃'⑺=—9.8t+8,

/./?,(0.5)=-9.8X0.54-8=3.1.

3.(2020?全國(guó)III卷)設(shè)函數(shù)於)=一厘.若/(1)=1,則。=______.

x+a4

答案1

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解析由/d(:丁F可得八D=即；W，解

(x+a)2(1+a)24(1-va)24

得。=1.

4.(2021?全國(guó)甲卷)曲線y=43在點(diǎn)(一1,一3)處的切線方程為_(kāi)______.

x+2

答案5x—y+2=0

px-n

解析y=lx+2j(2x—1)'(x+2)—(2x—1)(x+2)'

(x+2)2

_5

(x+2)2，

所以％=/卜一=/5=5所以切線方程為y+3=5(x+i),即5》一夕+2

(—1+2)

=0.

5.錯(cuò)誤!/sinl+Jdxn.

答案2

解析由題意得錯(cuò)誤!/sin[+Jdx

=錯(cuò)誤!(sinx+cosx)dx=(sinx—cos-x)

[.兀7C|

Isin—cos-I

=122j—(sin0—cos0)=2.

6.(易錯(cuò)題)設(shè)函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)為了(X),且,危)=/￡1足》+85%，貝=.

答案T

解析由危)=/0sinx+cosx,

,J-1

得/'(X)=/12Jcosx—sinx,

則/W=/MCOSsin

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解得/用=—1,

所以_/CJ=_cos--sin-=—A/2.

44

〔考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

L下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是()

A.(sina)f=cosa(a為常數(shù))

B.(sin2x)'=2cos2x

c?曲嗔

D.(ex-lnx+2x2)r=ev-~+4x

x

答案A

解析??%為常數(shù)，???sin。為常數(shù)，???(sinO=0,故A錯(cuò)誤.由導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算

法則知B、C、D正確.

c什〃、x3+2x-x2lnx-1〃/、

2.右/(x)=----------------------，貝U/(x)=.

答案1_1_三十三

71

解析由已知火x)=x-InxH-------

Xxz

???/a)=i_iy2+42

3.(2021?鄭州檢測(cè))設(shè)段)=ln(3—2x)+cos2x,貝了(0)=.

答案_|

解析因?yàn)?(x)=一—--—2sin2x,

3—2x

7

所以/(0)=一，

4.已知函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為/(X),且滿足關(guān)系式/(X)=/+3切(2)+InX,則/⑴=

答案一日

4

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解析因?yàn)閥(x)=x2+3xf(2)+lnx,

：.f(x)=2x+3f(2)+-.

X

令尸2,#/(2)=4+3/(2)+1則”)=[.

.\/(1)=1+3X1X1d4J+0=-2-3.

感悟提升1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、

商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).

2.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義

角度1求切線的方程

例1(1)曲線y=3(x2+x)e「在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

(2)已知函數(shù)/(x)=xlnx,若直線/過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線夕=/(x)相切，則直線

I的方程為.

答案(l)3x—y=0(2)x—y—1=0

解析(l)y'=3(2x+1)e'+3(x2+x)e'=3ev(x24*3x+1),

所以曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率左=eOX3=3,所以所求切線方程為3x-y=

0.

(2)，.,點(diǎn)(0,一1)不在曲線人x)=xlnx上,

???設(shè)切點(diǎn)為(X0,次).

又；/'(x)=l+lnx,

二直線/的方程為y+l=(l+lnxo)x.

,yo=xolnxo,fvo=l,

???由，，/,解得，

yo+1=(1+lnxo)xo,yo=O.

??.直線/的方程為y=x-1,x—y—1=0.

角度2求曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)

例2(2019?江蘇卷改編)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)/在曲線y=lnx上，且該

曲線在點(diǎn)N處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一e,一l)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)/的坐標(biāo)是

，此時(shí)切線方程為.

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答案(e,1)x—ey=O

解析設(shè)4(加，n),則曲線y=lnx在點(diǎn)4處的切線方程為y—〃=L(x—加).

m

又切線過(guò)點(diǎn)(一e,—1),

所以有/?+1=~(/w+e).

m

再由〃=ln/w,解得〃?=e,n=\.

故點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(e,1),

切線方程為x—ey=O.

角度3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像問(wèn)題

例3已知夕=/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線少="+2是曲線y=/(x)在x=3處的切

線，令g(x)=V(x),890是8打)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3)=.

答案0

解析由題圖可知曲線y=/(x)在x=3處切線的斜率等于一；，???/(3)=一；.

''g(x)=xf(x),

二g'(x)=/(》)+歲(X)，

...g，(3)=/(3)+"(3),

又由題意可知43)=1,

.?.g<3)=l+3X卜f=0.

感悟提升1.求曲線在點(diǎn)尸(xo,次)處的切線，則表明P點(diǎn)是切點(diǎn)，只需求出函數(shù)

在P處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，若在該點(diǎn)尸處的導(dǎo)數(shù)不存在，則

切線垂直于x軸，切線方程為x=xo.

2.求曲線的切線方程要分清“在點(diǎn)處”與“過(guò)點(diǎn)處”的切線方程的不同.切點(diǎn)坐標(biāo)

不知道，要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率相等建立方程(組)求解，求出切點(diǎn)坐標(biāo)是解

題的關(guān)鍵.

訓(xùn)練1(1)(2022?沈陽(yáng)模擬)曲線<x)=2e'sinx在點(diǎn)(0,犬0))處的切線方程為()

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Ay=OB.y=2x

C.y—~xD.j^—=2x

(2)(2021?長(zhǎng)沙檢測(cè))如圖所示，y=/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線/：y=kx+3是曲線y=/(x)

在x=l處的切線，令。(x)=*

HL,"(X)是〃(X)的導(dǎo)函數(shù)，則，(1)的值是()

X

A.2B.1

C.-1D.-3

答案(1)B(2)D

解析(l)V/(x)=2&vsinx,

/./(0)=0,/(x)=2er(sinx+cosx),

.?.〃0)=2,...所求切線方程為夕=2x.

(2)由圖像知，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2).

則％+3=2,k——\,從而/(1)=—1,且義1)=2,

由〃⑴=g,得如)=[(%)了(%),

XX2

所以勿(D=/(1)-/(D=—1—2=—3.

考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

例4(1)己知曲線/(x)=xlnx在點(diǎn)(e,/(e))處的切線與曲線y=x2+a相切，則實(shí)數(shù)a

的值為.

(2)(2022?河南名校聯(lián)考)若函數(shù)./(x)=lnx+2x2一分的圖像上存在與直線2x-y=0

平行的切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案(l)l-e(2)[2,+oo)

解析(1)因?yàn)?(x)=lnx+l,

所以曲線火x)=xlnx在x=e處的切線斜率為左=2,

又/(e)=e,

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則曲線./(x)=xlnx在點(diǎn)(e,7(e))處的切線方程為y=2x—e.

由于切線與曲線卜=/+。相切，

y=x2+a,

故可聯(lián)立

y=2x-e,

得x2—2x+a+e=0,

所以由1=4—4(a+e)=0,解得a=l-e.

(2)..?直線2x-y=0的斜率為k=2,

又曲線人幻上存在與直線2x—y=0平行的切線，

???/(x)=,+4x—。=2在(0,+8)內(nèi)有解，則q=4x+1一2,x>0.

XX

又4X+-^2A4X1=4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.

x\Jx2

，心4一2=2.

...a的取值范圍是［2,+8).

感悟提升1.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)

系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：(1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；(2)切點(diǎn)在切

線上；(3)切點(diǎn)在曲線上.

2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)范圍時(shí)，注意化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

訓(xùn)練2(1)設(shè)曲線_y=H圖氾在點(diǎn)1］處的切線與直線x—即+i=o平行，則實(shí)

sinx

數(shù)a=.

(2)直線夕="+1與曲線y=x3+ax+b相切于點(diǎn)4(1,3),則2a+b=.

答案(1)-1(2)1

解析(I)、?切線與直線x—即+1=0平行，斜率為L(zhǎng)

—1—COSX

又尸

sin2x

???切線斜率—1,

...X—砂+1=0的斜率為一1,即1=-1,解得Q=-1.

a

(2)9=13+辦+力的導(dǎo)數(shù)為y,=3x2+a,

可得在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率為攵=3+m

第9頁(yè)共19頁(yè)

==

又4+1=3,1+。+6=3,解得〃=2,u—196=3,即有2ci~\~b—2+3=1.

[|考點(diǎn)四定積分__________________________

、門(mén)x￡[0,1],,

1.lx./(%)=?則錯(cuò)誤!/(x)dx等于()

2—x,(1,2],

44s

A.-B.-C.-D.不存在

456

答案c

解析錯(cuò)誤!/(x)dx=錯(cuò)誤!%2dx+錯(cuò)誤!(2—x)dx

3IoIi

i(4-2-2+l]=|

36

2.錯(cuò)誤!(sinx+\!4—x2)dx等于()

兀

AA.-B.兀+2cos2

2

C.2兀+2cos2D.2兀

答案D

解析錯(cuò)誤!"4—x2dx表示圓N+y2=4在x軸及其上方的面積,

錯(cuò)誤!\4-x2dx=^x兀X22=271.

又r=sinx為奇函數(shù)，知錯(cuò)誤!sinxdx=O,

/.錯(cuò)誤!(sinx+J4—x2)dx=2兀+0=2兀.

3.4片葉子由曲線產(chǎn)=網(wǎng)與曲線[y]=/圍成，則每片葉子的面積為（）

A.-B.—C.-D.-

6633

答案C

解析作出爐=|x|及的大致圖形，如圖所示：

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根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性，不妨考慮第一象限內(nèi)圖形，如圖中陰影部分.

解得尸，或尸'

y=x2?=0卜=1,

故每片葉子的面積為

錯(cuò)誤!（心一2匕=3^3X]I=1.

Io3

4.（2021?衡水調(diào)研）如圖，陰影部分是由曲線y=2x2和圓x2+f=3及x軸圍成的封

閉圖形，則陰影部分的面積為_(kāi)______.

解析曲線卜=2/與7+產(chǎn)=3在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔2'2J,設(shè)該點(diǎn)為人

圓x2+y2=3與x軸正半軸的交點(diǎn)為B.

連接04則直線OA的方程為

則直線OA與拋物線歹=2x2所圍成的圖形的面積

可知扇形NO8的圓心角為四，則扇形的面積S2=1X四X3=￡.

3232

所以陰影部分的面積S=S2—s=^—

28

感悟提升1.利用定積分求曲邊梯形面積的基本步驟：畫(huà)草圖、解方程得積分上、

第11頁(yè)共19頁(yè)

下限，把面積表示為已知函數(shù)的定積分(注意：兩曲線的上、下位置關(guān)系，分段表

示的面積之間的關(guān)系).

2.根據(jù)圖形的特征，選擇合適的積分變量，利用定積分的性質(zhì)和幾何意義簡(jiǎn)化計(jì)

算.

微點(diǎn)突破/公切線問(wèn)題

求兩條曲線的公切線，如果同時(shí)考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會(huì)比較亂，為了

使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開(kāi)考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，

再分析另一條曲線與直線相切，其中直線與拋物線相切可用判別式法.

一'共切點(diǎn)的公切線問(wèn)題

例1設(shè)點(diǎn)P為函數(shù)/(X)=$2+2ax與g(x)=3a21nx+2b(a>0)的圖像的公共點(diǎn)，以

P為切點(diǎn)可作直線/與兩曲線都相切，則實(shí)數(shù)b的最大值為()

33

2-3-

A-e4B.-e4

32

22

4-3-

C.-e3D.-e3

34

答案D

解析設(shè)P(xo,次)，由于P為公共點(diǎn)，

貝U-xi-\-2axo=3a2lnxo+26.

2

又點(diǎn)P處的切線相同，則/(%。)=9。。)，

=

即XQ-\-2a^-9即(xo+3a)a()—。)=0.

xo

又a>0,xo>O,則xo=a,于是26=*Q2—3。2］口%

2

設(shè)h(x)=|x2—3x2lnx,x>0,

則hr(x)=2x(1—31nx).

i

可知：當(dāng)x￡(0,3)時(shí),〃⑺單調(diào)遞增；

1

當(dāng)x￡(e3,+8)時(shí)，〃(x)單調(diào)遞減.

12

3-

故/z(x)niaX=/z(e3)=-e3,

第12頁(yè)共19頁(yè)

于是b的最大值為=鹵，選D.

二、切點(diǎn)不同的公切線問(wèn)題

例2曲線y=一1(x<0)與曲線y=lnx的公切線的條數(shù)為.

X

答案1

解析設(shè)(如，巾)是公切線和曲線的切點(diǎn)，

X

則切線斜率左1=[

切線方程為J^+—=^Z(X—X1),

XlXT

整理得y=^x——.

XTXl

設(shè)(X2,歹2)是公切線和曲線y=lnx的切點(diǎn)，

則切線斜率k=(\nxy\=-,

2x=xX2

切線方程為y—\nx2=—(X—X2)?

X2

整理得y=—'X~\~\nX2—1.

X2

A1_12一1

令一;二一,----InX2-1,

XTX2X\

消去X2得一2=inX?-1.

X1

設(shè)/=—幻>0,即21nf—2—1=0,只需探究此方程解的個(gè)數(shù).

t

易知函數(shù)兀v)=21nx一4一1在(0,十8)上單調(diào)遞增，｛1)=—3<0,/(e)=l-->0,

xe

于是加)=0有唯一解，于是兩曲線的公切線的條數(shù)為1.

I分層訓(xùn)練■鞏固提升

LA級(jí)暹硼鞏固

1,函數(shù)?r)=x2+lnx+sinx+l的導(dǎo)函數(shù)/(x)=()

A.2x+-+cosx+1B.2x-----Feosx

XX

第13頁(yè)共19頁(yè)

C.2x~\-----cosxD.2x+-+cosx

XX

答案D

解析由/(x)=x2+lnx+sinx+1得/(x)=2x+-+cosx.

x

2.曲線y=工在點(diǎn)(3,2)處的切線的斜率是()

x—1

A.2B.-2C.-D.--

22

答案

(x+1)'(%—1)—(x+1)(%—1)

解析

(X—1)2,

故曲線在點(diǎn)(3,2)處的切線的斜率

21

k=y'\=3

x(3-1)22,

3.(2021?安徽皖江名校聯(lián)考)已知危)=/+2V%)),則/(1)=()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析r(x)=3x2+2/(0),

.../(0)="(0),解得/(0)=0,

.,./W=3x2,A/(l)=3.

4.曲線.段)=爐一2%2+2匕-2),過(guò)點(diǎn)P(2,0)的切線方程為()

A.x+y—2=0B.x+y+2=0

C.x—y-2=0D.x—y+2=0

答案A

解析因?yàn)椋?)=23—2X22+2=2/0,

所以點(diǎn)(2,0)不在曲線/(x)=x3—2/+2上.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(X0,次)，且340樓，

第14頁(yè)共19頁(yè)

yo=x8-2x8+2,

則0=/(xo),

2-xo

yo=xi-2xi+2,

所以二1L=3X8—4x。，

2—xo

消去yo,整理得(xo—1)(x8—3xo+1)=0,

解得xo=1或xo=31S(舍去)或xo=32"^(舍去)，

所以yo=l,/(xo)=-1,

所以所求的切線方程為y—1=—(x—1),即x+y—2=0.

5.(2022?昆明診斷)若直線y=ox與曲線y=lnx—l相切，貝I。=()

A.eB.lC.-D.-rr

ee2

答案D

解析由y=lnx—1,得y'=l,設(shè)切點(diǎn)為(xo,lnx0—1),

X

axo=\nxo-1,

則:—1解得a=；.

Q一—，e2

xo

6.已知函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，其部分圖像如圖所示，￡⑷工⑵=呢則下

列不等式正確的是()

A.a<f(2)V(4)

B〃2)<a<*4)

C/(4)</(2)<a

D/(2)<A4)<a

答案B

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解析由函數(shù)的圖像可知，在［0,+8)上，函數(shù)值的增長(zhǎng)越來(lái)越快，故該函

數(shù)圖像在［0,+8)上的切線斜率也越來(lái)越大.

E⑷-/(2)

因劉------:------=a,

4-2

所以/(2)<a寸(4).

7.若錯(cuò)誤!「xjdx=3+ln2(a>l),則a的值是.

答案2

11?a

解析..'錯(cuò)誤!Ixjdx=(x2+\nx)J=a2+lna-1.

a2+lna—1=3+ln2(a>l),：.a=2.

8.已知曲線")=$3_爐_以+1存在兩條斜率為3的切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

答案(-4,+°°)

解析f(x)=x2--2x—a,

依題意知x2—2x—a=3有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

即4=》2—2%—3=(》-1)2—4有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

：.y=a與y=(x—l)2—4的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

：.a>~4.

9.(2029濟(jì)南檢測(cè))曲線尸兀0在點(diǎn)P(—1,/(—1))處的切線/如圖所示，則八一1)

+/-1)=.

答案一2

解析?.?直線/過(guò)點(diǎn)(一2,0)和(0,-2),

直線/的斜率/(—1)=、——=-1,直線/的方程為y=—x—2.

-2—0

則—D=1~2=—l.

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故/(—l)+y(_l)=TT=_2.

10.已知函數(shù)/(x)=x3—4x2+5x—4.

(1)求曲線/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程；

(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(2,—2)的曲線外)的切線方程.

解(1)因?yàn)?(x)=3N—8x+5,

所以/(2)=1,

又/(2)=-2,所以曲線/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程為y—(-2)=x-2,即x-y

-4=0.

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,xj—4x8+5xo—4),

因?yàn)?(xo)=3xo—8xo+5,

所以切線方程為(-2)=(3xo—8xo+5)(x—2),

又切線過(guò)點(diǎn)(xo,xj—4x9+5xo—4),

所以x8—4x8+5xo—2=(3x§—8xo+5)-(xo—2),

整理得(xo-2)2(x()-1)=0,

解得xo=2或xo=1,

所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,—2)的曲線小)的切線方程為x-y—4=0或y+2=0.

11.已知函數(shù)Xx)=x3+x—16.

(1)求曲線歹=/(%)在點(diǎn)(2,—6)處的切線方程；

(2)直線/為曲線y=/(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線/的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).

解(1)根據(jù)題意，得/(x)=3x2+l.

所以曲線歹=/(x)在點(diǎn)(2,—6)處的切線的斜率

左寸(2)=13,

所以所求的切線方程為13x—y—32=0.

(2)設(shè)切點(diǎn)為(xo,次)，則直線/的斜率為/(回)=3蝴+1,

所以直線/的方程為y=(3x6+l)(x—xo)+x^+xo—16.

又直線/過(guò)點(diǎn)(0,0),則(3x8+1)(