第34講　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（原卷版）

第34講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示基礎(chǔ)知識(shí)1.共線向量基本定理如果a≠0且b∥a,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得.

2.平面向量基本定理如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b不共線,則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c,存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使得.其中,平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量a與b組成的集合{a,b},常稱為該平面上向量的一組基底,此時(shí),如果c=xa+yb,則稱xa+yb為c在{a,b}下的.

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量aba+ba-bλa坐標(biāo)(x1,y1)(x2,y2)

(2)向量的坐標(biāo)求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=,|AB|=.

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,則a∥b?a=λb(λ∈R)?.

常用結(jié)論1.若a與b不共線,且λa+μb=0,則λ=μ=0.2.三點(diǎn)共線相關(guān)結(jié)論:(1)一般地,如果存在實(shí)數(shù)λ,使得AB=λAC,則AB與AC平行且有公共點(diǎn)A,從而A,B,C三點(diǎn)一定共線.(2)如果A,B,C是三個(gè)不同的點(diǎn),則它們共線的充要條件是:存在實(shí)數(shù)λ,使得AB=λAC.(3)若OA=λOB+μOC(λ,μ為常數(shù)),則A,B,C三點(diǎn)共線?λ+μ=1.3.已知P為線段AB的中點(diǎn),若A(x1,y1),B(x2,y2),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1+x22,y1+y22）;已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△分類探究探究點(diǎn)一共線向量、平面向量基本定理及其應(yīng)用角度1共線向量基本定理例1(多選題)已知向量a,b是兩個(gè)非零向量,在下列四個(gè)條件中,一定能使a,b共線的是 ()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相異實(shí)數(shù)λ,μ,使λa-μb=0C.當(dāng)x+y=0時(shí),xa+yb=0D.在梯形ABCD中,AB=a,CD=b[總結(jié)反思]兩個(gè)向量共線是指兩個(gè)向量的方向相同或相反,因此共線包含兩種情況:同向共線或反向共線.一般地,若a=λb(b≠0),則a與b共線,且:(1)當(dāng)λ>0時(shí),a與b同向;(2)當(dāng)λ<0時(shí),a與b反向.變式題已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖6-34-1所示,若向量λa+b與c共線,則實(shí)數(shù)λ= ()圖6-34-1A.-2 B.-1 C.1 D.2角度2平面向量基本定理例2如圖6-34-2,已知OC=2OP,AB=2AC,OM=mOB,ON=nOA,若m=38,則n= (圖6-34-2A.34 B.2C.45 D.[總結(jié)反思](1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量,實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決問題.變式題在△ABC中,AC=5AD,E是直線BD上一點(diǎn),且BE=2BD,若AE=mAB+nAC,則m+n= ()A.25 B.-2C.35 D.-角度3共線向量基本定理、平面向量基本定理的綜合應(yīng)用例3(1)設(shè)a,b不共線,AB=a+3b,BC=a+2b,CD=3a+mb,若A,C,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)m的值是 ()A.23 B.15 C.72 (2)如圖6-34-3,在平行四邊形ABCD中,DE=12EC,F為BC的中點(diǎn),G為EF上的一點(diǎn),且AG=79AB+mAD,則實(shí)數(shù)m的值為圖6-34-3A.23 B.13 C.-13 [總結(jié)反思]三點(diǎn)共線問題可轉(zhuǎn)化為向量共線問題來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線.根據(jù)A,B,C三點(diǎn)共線求參數(shù)問題,只需將問題轉(zhuǎn)化為AC=λAB,或OA=λOB+(1-λ)OC(λ為常數(shù)),再根據(jù)平面向量基本定理列出方程(組),解出參數(shù)即可.變式題在△ABC中,D在線段BC上,且BD=2DC,AM=λAC,AN=μAB,λ,μ均為非零常數(shù),若N,D,M三點(diǎn)共線,則2λ+1μ= (A.1 B.2 C.3 D.4探究點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例4(1)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,則c= ()A.（133,83） B.（-133,C.（133,43） D.（-133,(2)在Rt△ABC中,A=90°,AB=6,AC=8,D是△ABC的內(nèi)心,則BD= ()A.-23AB+B.23ABC.-23AB+D.23AB[總結(jié)反思](1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題時(shí),首先利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則,轉(zhuǎn)化為方程(組)進(jìn)行求解.(2)向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來,引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運(yùn)算代數(shù)化,成為數(shù)與形結(jié)合的載體,使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算.變式題(1)(多選題)已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,則使λ1λ2<0成立的a可能是 ()A.(1,0) B.(0,1)C.(-1,0) D.(0,-1)(2)已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若|a+b|=|2a-b|,則實(shí)數(shù)x的值為 ()A.49 B.12 C.94 探究點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示例5(1)已知a=(1,2+sinx),b=(2,cosx),c=(-1,2),若(a-b)∥c,則銳角x等于 ()A.15° B.30° C.45° D.60°(2)已知向量a=(1,k),b=(k,2),若a與b方向相同,則k等于 ()A.1 B.±2 C.-2 D.2[總結(jié)反思](1)注意兩平面向量共線的充要條件.(2)利用向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行,也可以由向量平行求參數(shù),當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均為非零實(shí)數(shù)時(shí),也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解.變式題(1)已知向量OA=(-1,k),OB=(1,2),OC=(k+2,0),且實(shí)數(shù)k>0.若A,B,C三點(diǎn)共線,則k= ()A.0 B.1 C.2 D.3在梯形ABCD中,AB∥CD,且DC=2AB,若點(diǎn)A(1,2),B(2,1),C(4,2),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

同步作業(yè)1.設(shè)a是任一向量,e是單位向量,且a∥e,則下列表示形式中正確的是 ()A.e=a|a| C.a=-|a|e D.a=±|a|e2.在下列各組向量中,可以作為一組基底的是 ()A.e1=(0,0),e2=(1,1)B.e1=(-1,2),e2=(5,-10)C.e1=(3,5),e2=(-3,-5)D.e1=(2,-3),e2=2,-343.平面向量a=(1,2),b=(3,4),則a+2b= ()A.(5,8) B.(5,10)C.(7,8) D.(7,10)4.已知向量a=(m,2),b=(3,-6),若|a+b|=|a-b|,則實(shí)數(shù)m的值是 ()A.-4 B.-1 C.1 D.45.如圖K34-1,在△ABC中,AD=3DB,P為CD上一點(diǎn),且AP=mAC+12AB,則m的值為 (圖K34-1A.12 B.1C.14 D.6.已知O,A,B,C為平面α內(nèi)的四點(diǎn),其中A,B,C三點(diǎn)共線,點(diǎn)O在直線AB外,且滿足OA=1xOB+2yOC,其中x>0,y>0,則x+8yA.21 B.25 C.27 D.347.已知向量a=(3,1),b=(x,-2),且a,b共線,則a-b=.

8.在△ABC中,D為邊AB上一點(diǎn),且BD=3AD,若CD=λCA+μCB,則λμ= (A.13 B.3C.14 D.9.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若|a+b|=|2a-b|,則實(shí)數(shù)x的值為 ()A.49 B.1C.94 D.10.在△ABC中,D為BC上一點(diǎn),且BD=2DC,AE=ED,若EB=xAB+yAC,則 ()A.x=13,y=2B.x=56,y=C.x=56,y=-1D.x=23,y=11.(多選題)已知向量OA=(1,-3),OB=(-2,1),OC=(t+3,t-8),若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)t可以為 ()A.-2 B.12C.1 D.-112.(多選題)如圖K34-2所示,點(diǎn)A,B,C是圓O上的三點(diǎn),線段OC與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,若AP=λAB,OC=μOA+3μOB,則 ()圖K34-2A.當(dāng)P為線段OC的中點(diǎn)時(shí),μ=1B.當(dāng)P為線段OC的中點(diǎn)時(shí),μ=1C.無論μ取何值,恒有λ=3D.存在