2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古高二年級上冊期末考試數(shù)學(xué)（文）試題1（含解析）

2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古高二上冊期末考試數(shù)學(xué)(文)試題

一、單選題

1.拋物線V=12x的準(zhǔn)線方程為()

A.x=—6B.x=—3C.x=6D.x=3

【正確答案】B

【分析】由拋物線方程可直接求得準(zhǔn)線方程.

12

【詳解】由拋物線方程可得準(zhǔn)線方程為了=-9=-3

4

故選：B.

2.已知集合4={x|-2<x<2},8={x|y=lg(x2-2x-3)},則/c8=()

A.(-2,3)B.(—2,1)C.(-1,2)D.(-2,-1)

【正確答案】D

【分析】解一元二次不等式，求得集合8,根據(jù)集合的交集運算即可求得答案.

【詳解】由f_2x-3>0,解得x<-l或x>3,所以8={x|x<-l或x>3},

所以4cB={x|-2<r<-l},

故選：D.

3.以點(-3,2)為圓心，且與直線3x-y+l=0相切的圓的方程是()

A.(x-3)2+(y+2>=10B.(x+3『+(>-2)2=1

C.(x+3)2+3-2>=10口.(x-3)2+(y+2)2=1

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得圓的半徑，即可求得結(jié)果.

【詳解】因為點(T2)到直線3x-y+1=0的距離是"==710,

所以圓的半徑為布，所以圓的方程為(x+3)2+(y-2)2=10.

故選：C.

4.2022年10月9日7時43分，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號丁型運載火箭，成

功將先進(jìn)天基太陽天文臺“夸父一號”發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿

成功.該衛(wèi)星是我國綜合性太陽探測衛(wèi)星，將聚焦太陽磁場、太陽耀斑和日冕物質(zhì)拋射的觀

測，開啟我國綜合性太陽探測時代，實現(xiàn)我國天基太陽探測衛(wèi)星跨越式突破.“夸父一號”

隨著地球繞太陽公轉(zhuǎn)，其公轉(zhuǎn)軌道可以看作是一個橢圓，若我們將太陽看做一個點，則太陽

是這個橢圓的一個焦點，“夸父一號”離太陽的最遠(yuǎn)距離為15210萬千米，最近距離為14710

萬千米，則"夸父一號''的公轉(zhuǎn)軌道的離心率為（）

147125—2525

A.----B.----C.----D.----

1521147115211496

【正確答案】D

fa+c=15210

【分析】根據(jù)橢圓的定義，以及已知可得出解方程組即可得出凡C的值，進(jìn)

[a-c=14710

而得出答案.

【詳解】設(shè)公轉(zhuǎn)軌道的長半軸長為。（萬千米），半焦距為c（萬千米）.

。=14960

由題意知

6=250

25025

所以離心率e=

149601496

故選：D.

5.若eG：x2+/-2y-3=0與eG：x2+_/-8x+4y+a=0相外切，貝ija=()

【正確答案】C

【分析】根據(jù)兩圓外切，得到圓心距等于半徑之和，求出a=ll

【詳解】q的標(biāo)準(zhǔn)方程是/+（六1『=4,圓心C的坐標(biāo)為（0,1）,半徑八=2,

的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-4『+（y+2>=20-",圓心G的坐標(biāo)為（4,—2）,半徑&=120-a,

因為c與G相外切，

所以IGG|=K+4，

即“+（-3>=2+j20-a,

解得.4=11

故選：C.

6.已知命題：“VxeR,/+〃a+加+3>0”為真命題，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.{m\-2<m<6}B.{加〃?<-6或加>2}

C.{m\-6<m<2}D.{加I5<-2或加>6}

【正確答案】A

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的真假性以及一元二次不等式恒成立的知識列不等式，由此求得

加的取值范圍.

【詳解】因為“VxeR,x，+znr+/n+3>0”為真命題,

所以A=/-4（5+3）<0,解得-2</n<6.

故選：A

7.已知直線4:2M7x-（〃？+l）y+5=0,/2：（加+1）》+（5+4）y一2=0,則是=4”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【正確答案】B

【分析】利用必要不充分條件判斷.

［詳解］由C2,所以2加+（機+1）（a+4）=0,

即機2-3"?-4=0，解得加=4或機=-1,

所以充分性不成立，

當(dāng)m=4時，/1:8x-5j+5=0,/2:5x+8j-2=0,

所以4~L/2,故必要性成立，

所以%，4”是“機=4”必要不充分條件，

故選：B.

8.在區(qū)間［-2,5］上隨機地抽取一個實數(shù)x,若x滿足/一加40的概率為半，則實數(shù)機的值

為（）

A.3B.4C.8D.9

【正確答案】D

【分析】根據(jù)幾何概型的知識確定正確答案.

【詳解】X2-/W<0，/,依題意可知）2>0,所以一J府

在區(qū)間［-2,5］上隨機地取一個數(shù)x,若x滿足-機40的概率為5，

區(qū)間［-2,5］的長度為5-(-2)=：7,所以后=3,m=9.

故選：D

22

9.已知雙曲線C：2■-除=1的離心率為&且C過點(顯,-1),直線/：y=Mx-2)與C的

右支有兩個不同的交點，則實數(shù)々的取值范圍是()

A.(-oo,-l)u(l,+oo)B.(-1,1)

C.1&詞D.(-00,-應(yīng))+8)

【正確答案】A

【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)雙曲線與雙曲線右支有兩個不同的交點，利用韋達(dá)定

理列出不等式進(jìn)行求解.

【詳解】離心率為正的雙曲線是等軸雙曲線，

所以可設(shè)雙曲線C的方程是犬-貫=〃4H0),

將點(夜,7)的坐標(biāo)代入得2=1,

所以C的方程是

將夕=%(》一2)代入上式并消去V整理得

(\-k2)x2+4k2x-4k2-\^0,

\-k2^0

△=16/-4(1-標(biāo))(-4/-l)>0

貝>0解得太<7或%>1.

1一l-k2

故選:A.

10.若角。的終邊經(jīng)過點(-1,2),則sinSi吸=()

sin。+cos6

A.9B.XC.ID.二

5555

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意可求得tan?=-2,利用同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合二倍角公式化簡

sin0(1+sin2^)

代入求值，可得答案.

sin6+cos。

【詳解】根據(jù)角。的終邊經(jīng)過點(-1,2),得tan6=-2,

又

sin8(1+sin20)_sin9(sin0+cos0)2

sin0+cos0sin6+cos0

八.八八sir?6+sin。cos6tan20+tan04-22

=sin6(sin。+8S6)=sin29+sin夕cos0=------；----------；-----=------------------=----=一

sin~^4-cos20tan20+14+15

故選:C.

另解：根據(jù)三角函數(shù)的定義，得sin?=26,cos?=-正,

55

4

所以sin2。=2sin0cos6=2x

5

由?sin0(1+sin2，)515)2

J/T以"~~~F=—?

smO+cos，2,5yJ55

-3r

故選：C.

11.給出下列四個命題：①“若Ge?＞慶2,貝IJ〃＞匠的逆命題；②“王。eR，使得In/=-/+1”

的否定；③已知函數(shù)/(x)=sin(2x+?的圖象向右平移。個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖

象，“函數(shù)g(x)為偶函數(shù)”的充要條件是“展日-"依")”；④在R8C中，“sin4＞火”

是“/＞T:T"的充分不必要條件.其中為真命題的是()

4

A.②④B.①④C.③④D.②③

【正確答案】C

【分析】①先得到“若42＞加2,貝的逆命題，再舉出反例，得到①錯誤：②舉出例子

得到“肛)€R,使得Inx。=-/+1”為真命題，從而得到該命題的否定是假命題;③求出g(x),

得到g(x)為偶函數(shù)時S="-=(〃€Z),反過來也成立，③正確；④根據(jù)sin/＞變求出

2122

得到④正確.

【詳解】“若女2＞be2，貝IJ。＞b”的逆命題是“若a＞b,貝IJ℃2＞be2”,

當(dāng)。=2,6=14=0時,ac2=bc2,故①錯誤；

當(dāng)a=1時，滿足lnl=-l+l,故“瑞eR,使得lnx0=-/+1”為真命題,

則“mx°eR,使得姑%=一%+1”的否定為假命題，故②錯誤；

g(x)=sin(2x+g—勿)，若g(x)為偶函數(shù)，則即夕=與一行(AeZ)時,

反過來，當(dāng)S=與-1(%GZ)時，g(x)=sin(2x+g-2^]=±cos2x,為偶函數(shù)，

故“函數(shù)g(x)為偶函數(shù)”的充要條件是“夕吟《(我")”，③正確；

在N8C中，sin/>^^,貝住,學(xué)],

2144J

所以sin4>立■n4>三,^A>sinA>,比如sir>2=_1<2^,

2442622

故在ABC^,“sinN>也”是“力>三’的充分不必要條件，④正確.

24

故選：C

12.過橢圓cJ+/=l(a>6>0)的右焦點尸且與長軸垂直的弦的長為3爪，過點尸(2,1)

且斜率為-1的直線與C相交于4,8兩點，若尸恰好是28的中點，則橢圓C上一點M到

F的距離的最大值為()

A.6B.272+3C.2石+3D.372+3

【正確答案】D

【分析】將x=c代入橢圓C的方程并結(jié)合已知可得也=3正，由點差法結(jié)合已知可得

a

21

—--T=0,由此求出Q/,C,則C上的點M到焦點產(chǎn)的距離的最大值為。+。即可求解

ab

L2

【詳解】將“。代入橢圓C的方程得二±幺，

a

所以變=3五①，

a

設(shè)/a,弘)，,則T+普=i,T+與=1,

bah

兩式相減得+超)+(乂_%)〈必+))=0,

a2h2

又4+巧=4,y,+y2=2,^5^=7,

X\X2

21

所以彳-3=0②,

ao

解①②得a=3播，6=3,

所以c=y!a2-b2-3，

所以C上的點收到焦點尸的距離的最大值為“+c=30+3.

故選：D.

二、填空題

13.若方程工_+上;=1表示雙曲線，則實數(shù)機的取值范圍是____.

〃?+3m-\

【正確答案】(-3,1)

【分析】根據(jù)方程表示雙曲線列不等式，由此求得心的取值范圍.

【詳解】若方程±+±=1表示雙曲線，

加+3m-\

則(機+3)(a-1)＜0,解得一3＜根＜1,

所以機的取值范圍是(-3,1).

故(-3,1)

14.在48C中，角A、B、C的對邊分別是“、b、c,若〃：6:c=W：2:石，貝I/8C的

最小內(nèi)角的余弦值為.

【正確答案】述#二道

1010

【分析】分析可知角A為N5C的最小內(nèi)角，利用余弦定理求出cos/的值，即為所求.

【詳解】因為“:6:c=6：2:正，則角A為N8C的最小內(nèi)角,

設(shè)“=G，b=2t,c=R，其中f>0.

122")爐+52_32_36

由余弦定理可得

2x2txy[5t10

故答案為.里

10

15.運行如圖所示的程序框圖，則輸出結(jié)果為

【正確答案】?##1.875

8

【分析】理解程序框圖，由裂項相消法求和,

【詳解】由題意執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)人=8時退出循環(huán),

得S=14-----1-----F…d----

1x22x37x8

一1111115

223788

乂15

故T

O

16.已知。為坐標(biāo)原點，拋物線C的方程為/=8x,尸為C的焦點，42,4）,過點尸的直

線/與拋物線C交于P、。兩點（異于點A）,且/P,力。分別交x軸于/、N兩點，則

\OM\-\ON\

【正確答案】4

【分析】設(shè)直線/的方程為》=，即+2,聯(lián)立直線/的方程和拋物線方程，化簡寫出根與系數(shù)

關(guān)系，求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得|。河卜|加|.

【詳解】因為拋物線C的方程為/=8x,所以其焦點為（2,0）,

所以可設(shè)直線/的方程為》=叩+2,。隹，為

聯(lián)立拋物線方程可得/-8〃9-16=0,

k一一上

所以必為=T6,,"一切2一弘+4,

---2

8

Q

貝IJ直線4P：y_4=——-(x-2),

必+4

令y=0,可得點A/的坐標(biāo)為予同理可得點N的坐標(biāo)為(-5,0

所以10MHCW|=|竿=4.

故4

三、解答題

x=-2----1,

17.在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為]2(f為參數(shù))，以坐標(biāo)原

V=——t

I2

點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

/?+4cos6+2sin9=0.

(1)求直線/的普通方程以及曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/與曲線C相交于不同的兩點4B,直線/與x軸的交點為"，求四||網(wǎng).

【正確答案】⑴x-后+2=0,(x+2『+(y+1)2=5

(2)4

【分析】(1)消去參數(shù)f得直線/的普通方程，再根據(jù).“化簡曲線C的極坐標(biāo)方程

即可；

(2)聯(lián)立直線/的參數(shù)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合直線方程,的幾何意義與韋達(dá)定

理求解即可

[9⑸

x=-2-----1,

【詳解】(1)由直線/的參數(shù)方程:(/為參數(shù))，消去參數(shù)f得直線/的普通方

V=——

L2t

程x-y/3y+2=0.

由夕+4cos9+2sin6=0得0?+4pcos6+2psine=0,

/sin代入得X?+/+4x+2y=0,即(x+2『+(y+1)2=5,

將

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(X+2)2+(夕+1)2=5.

(2)直線/：x-島+2=0與x軸的交點坐標(biāo)為加(-2,0),傾斜角為

6

x^-2+—t,

所以直線/的參數(shù)方程可化為2"為參數(shù)),

y=-t

2

代入(x+2y+(y+l)2=5整理得產(chǎn)+/—4=0.

設(shè)點4,8對應(yīng)的參數(shù)分別為*G，則A=12-4X(-4)>0,也=-4,

所以|必也理=聞也|=|宿1=4.

18.已知直線/經(jīng)過直線x+3y+5=0和3x-2y-7=0的交點，且與直線x-y+5=0垂直.

(1)求直線/的方程；

(2)若圓C過點(-2,0),且圓心C在了軸的負(fù)半軸上，直線/被圓C所截得的弦長為241，

求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【正確答案】⑴x+y+l=0;

⑵f+(J，+3)2=13.

【分析】(1)將兩直線聯(lián)立方程求出交點，再根據(jù)垂直的條件求出直線/的斜率，代入點斜

式可得直線方程；(2)設(shè)出圓的圓心和半徑，圓過點(-2,0)和弦長公式可聯(lián)立方程解方程可

得.

【詳解】(1)由已知，得［解得兩直線交點為八乜)，

設(shè)直線/的斜率為左，因為直線/與x-y+5=0垂直，所以％xl=-l,解得％=-1,

所以直線/的方程為N+2=-(x-l),即x+y+l=0.

(2)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+3-6)2=/(6<0),

(-2)2+(-6)2=，,

則由題意，得卜山+1|Y,L\2,

卜(炳T，

解得6=—3或6=5(舍去),

所以/"=折，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.f+(y+3)2=13

11

19.己知機eR,p：“函數(shù)/(x)=ln(,wx2-mx+l)的定義域為R”，q：3XOG[O,3],使得

x；-2x0-nt＞0成立

(1)若g為真命題，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)若“PV4，，為真命題，“PAg”為假命題，求實數(shù)“7的取值范圍.

【正確答案】(1)(-8,3]

(2)(-℃,0)0(3,4)

【分析】(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，從而求出切的取值范圍；

(2)當(dāng)命題9為真時根據(jù)加=0,"，H0進(jìn)行分類討論，注意借助△與0的大小關(guān)系，求出機的

取值范圍，然后通過含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假判斷出P，4的真假，由此求解出〃，的取

值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)夕為真命題時,mV%-2%在受《0,3]上有解,

所以加4(片-2%)皿，當(dāng)x=3時取，y=x；-2x0有最大值3,所以m43,

所以實數(shù)機的取值范圍為(-8,3]：

(2)當(dāng)P為真命題時，

當(dāng)m=0時，y=lnl=0,定義域為R,滿足題意；

當(dāng)陽40時，要使y=\n(^mx2-mx+1)的定義域為R,

m>0

,解得0＜根＜4,

A=nr-4m<0

綜上可知：加的取值范圍是[0,4).

因為夕為真命題且"八夕為假命題，所以P，夕一真一假,

f0＜w＜4

當(dāng),真夕假時，’,解得3＜加＜4,

加〉3

m<0或用>4

當(dāng)P假夕真時,.,此時w<0,

m<3

綜上，"7的取值范圍是(-8,0)=(3,4).

20.某公司組織了豐富的團(tuán)建活動，為了解員工對活動的滿意程度，隨機選取了100位員工

進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照［40,50）,［50,60）,

［60,70），…，［90,100］分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖（這100人的評分值都分

布在［40,100］之間）.

（1）求實數(shù)m的值以及這100人的評分值的中位數(shù)；

（2）現(xiàn)從被調(diào)查的問卷滿意度評分值在［60,80）的員工中按分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談

了解，再從這5人中隨機抽取2人作主題發(fā)言，求抽取的2人恰在同一組的概率.

【正確答案］⑴m=0.020,75

隗

【分析】（1）分別根據(jù)頻率之和為1及中位數(shù)的估計方法可求解；

（2）先抽取人數(shù)，再計算概率即可.

【詳解】（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+加）x10=1,解得加=0.020.

中位數(shù)設(shè)為x,則0.05+0.1+0.2+（X-70）X0.03=0.5,解得x=75.

（2）易得滿意度評分值在［60,70）內(nèi)有20人，抽得樣本為2人，記為《，的，

滿意度評分值在［70,80）有30人，抽得樣本為3人，記為4，b2,4,

記“5人中隨機抽取2人作主題發(fā)言，抽出的2人恰在同一組”為事件4

星^本事件有，（"I'A）,（"i,打）,（"2力2），（。2’4）’（a,瓦），

（4,4）共io個,

力包含的基本事件個數(shù)為4個，

42

所以尸（/）=/=1.

21.已知拋物線C:/=2px（p>0）的焦點為尸，P為拋物線上一點，|。刊=|尸產(chǎn)|,且△OEP

的面積為立，其中O為坐標(biāo)原點.

2

（1）求拋物線。的方程；

（2）已知點0（-2,0）,不垂直于x軸的直線/與拋物線C交于A,B兩點，若直線8。關(guān)

于x軸對稱，求證：直線/過定點并寫出定點坐標(biāo).

【正確答案】（l）/=4x

（2）證明見解析，定點（2,0）

【分析】（1）由得點尸的橫坐標(biāo)為與，代入方程得點尸的縱坐標(biāo)為土包，再

42

的面積為也解方程即可，

2

（2）設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，設(shè)A,8兩點坐標(biāo)，利用直線工。，BQ關(guān)于

x軸對稱，結(jié)合斜率公式和韋達(dá)定理化簡計算即可.

【詳解】（1）拋物線C:j?=2px的焦點為尸（5,0）,

因為。P=P/，所以點P的橫坐標(biāo)為x=（,代入拋物線方程，得士字），

又△。陽的面積為也，所以Lx2x9=2,又。>0,解得。=2,

22222

所以拋物線C的方程為/=4x.

（2）證明：設(shè)直線/的方程為x=my+〃（燒片0）,/（再,必），B（x2,y2）,

y2-4丫

得J?一4世一4〃=0,A=16m2+16〃>0,即加2+〃>o,

{x=my+〃，

所以必+為=4加,凹外=一4”.

因為直線力。，8。關(guān)于x軸對稱，所以儲。+演2=4+4;=0,

xl+2x2+2

即一匕7+—匕7=°，化簡，得2町%+（〃+2乂%+為）=0，

x/v7

myi+/7+2my2+〃+2

所以一8加〃+4加（〃+2）=0,所以〃=2,

所以直線/的方程為了=吵+2,恒過定點（2,0）.

2"）

22.已知橢圓C:1r+}=1（。>6>0）的左、右焦點分別為耳，鳥，點對0,立），直線巧的

傾斜角為:，原點。到直線/耳的距離是:a.

42

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線/與橢圓C相切，切點M在第二象限，過點。作直線/的垂線，交橢圓C于P,

。兩點（點P在第二象限），直線收。交x軸于點N,若求直線/的方程.

【正確答案】⑴工+匕=1

42

八、V703742

3=-^-x+—

【分析】（1）設(shè)出直線/月的方程，由原點。到直線力々的距離是1%列方程解出“=2,

2

進(jìn)而求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）設(shè)直線/的方程為'=丘+切（%>0,"?>0）,與橢圓方程聯(lián)立，令△=（）,解出/=4犬+2

和切點M的坐標(biāo)；由已知，直線尸。的方程為y=-：x