2023-2024學(xué)年江西省宜春市高二年級上冊第二次月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江西省宜春市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)

模擬試題

一.選擇題(本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的)

1.已知不等式ax2-5x+h>0的解集為{x∣-3<Λ<2},則不等式6/-5》+。>0的解集

為()

,,1I,,1I

A.{x%<——或x>一1}B.{x——<%<—}1

3232

C.{x∣-3<x<2}D.{x∣x<-3或x>2}

i

2.若復(fù)數(shù)1+i,則2i?z的虛部是()

A.iB.2iC.1D.2

3.已知向量α、〃滿足W=1，W=α,α與〃的夾角為；?，則一。)?2a+。)=()

A.1B.3C.-1D.-5、

4.若圓N+/=1上總存在兩個點到點(0l)的距離為2,則實數(shù)〃的取值范圍是(〉

A.(-2√2.0)U(0.2vI)B.(-2√2,2√2)

C.(-1.0)u(0.1)D,(-1.11

5.已知曲線CI:y=sinx,曲線

C?:曠=5皿(0尤+9)(0>0,網(wǎng)<9的部分圖象如圖

所示，則下列結(jié)論正確的是()

TT

A.將曲線。2先向右平移三個單位長度，再將各點的橫

坐標(biāo)伸長為原來的2倍得到G

B.將曲線G先向右平移、個單位長度，再將各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的5倍得到G

TT

C.將曲線C,先向右平移N個單位長度，再將各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得G

O

D.將曲線。2先向右平移弓個單位長度，再將各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的g?倍得到G

6.在銳角ASC中，A,B,C分別為AA"C三邊"，b,C所對的角，若

cosBcosC2sinAsinB

cosB+?∕3sinB=2?且滿足關(guān)系式--------+---------=------------------則α+c的取值范圍

b3sinC

是（）

A.(√3,2√3]B.當(dāng)當(dāng)■C.D.(3,2石]

I」V??√

7.如圖，正方體ABCL>-A4GR中，AN=NAt,AiM=MDt,

ByE=λBtC,當(dāng)直線與平面MNE所成的角最大時，λ=（

Illl

?-2B.§C.-D.-

8.已知直線/與圓。：/+丁=9交于A,B兩點，點P（4,0）滿足

PAYPB,若AB的中點為M,則|。Ml的最大值為（）

A.2+—B.2+—C.3+也D.-+√2

22222

二、多選題（本題共4個小題，每小題5分，共20分）

9.若α>0,b>0,-+b=2,則>二+工的可能取值有（）

aa+?b

6543

A.B.C.D.

5432

冗冗

1°-若關(guān)于、的方程2岳。n-sin2A百-根在區(qū)間-了了上有且只有一個解，則

加的值可能為（）A.-2B.-1C.OD.I

11.已知動直線/：丘-y-k+l=O與圓C"2+V-4y=0,則下列說法正確的是（）

A.直線/過定點（M）

B.圓C的圓心坐標(biāo)為（0,—2）

C.直線/與圓C的相交弦的最小值為2后

D.直線/與圓C的相交弦的最大值為4

12.如圖，已知P為棱長為1的正方體對角線8。上的一點，且

BP=^BO,（Λ（0,1））,下面結(jié)論中正確結(jié)論的有（）

A.AiDlCtP；

2

B.當(dāng)"+尸。取最小值時，Λ=-；

C.若a€（0,1）,則NAPCe停著）；

9

D.若P為他的中點,四棱錐尸一"QO的外接球表面積為廠

≡.填空題(本題共4個小題，每小題5分，共20分)

13.己知q,C2是互相垂直的單位向量，若64+02與6+崩2的夾角為60°，則實數(shù)九的

值是.

14.設(shè)偶函數(shù)/(x)=ASin(0^+0)(4>0,<0>0,0<°<萬)的

部分圖象如圖所示，AZM為等腰直角三角形

,NKML=會KL=I,則的值為.

15.已知圓C:(x-I/+/=],點尸(加然)在直線X-y+l=0上運(yùn)動.若

上存在點。，使/CP630。，則Xo的取值范圍是.

16.如圖，在正四棱錐P—ABCD中，PA=AB,點、M為P/

BD=ABN.若MVLAD,則實數(shù)2=

四.解答題(本題共6個小題，第17題10分，其他12分，共70分，解答題應(yīng)寫出文字

說明、證明過程和演算步驟)

/?

17.己知函數(shù)/(χ)=sin%cos%-?/?COS2x+^—.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖

象向左平移《個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)〃(力=；/(X)+g2(χ)在

πl(wèi)π

xe—的值域.

OIZ

18.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為“、b、c,且為C=WSinC-CCosB?

(1)求角3的大小；

(2)若6=2√L求AABC面積的最大值.

19.已知圓C過點A(l,3)、8(2,2),且圓周被直線3x+y+7=0平分.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知過點(-4,5)的直線/被圓C截得的弦長為2面，求直線/的方程.

20.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PALAB，PC±CD,

?

BC//AD,ZBAD=-,PA=AB=BC=2,

3

AD=4.

(1)證明：Q4L平面ABC￡).

(2)若M為PD中點，求二面角M-AC-。的大小.

21.已知圓Ci：X，+/+2x+2y-8=0與C,：x2+y2-2x+IOy-24=0相交于A、B兩

點.

(1)求公共弦AB所在的直線方程；

(2)求圓心在直線y=-X上，且經(jīng)過A、B兩點的圓的方程；

(3)求經(jīng)過A、8兩點且面積最小的圓的方程.

22,已知三棱柱ABC_ABc中，AC=AA,=4,BC=2,ZACB=90?AtBYACt.

(1)求證：平面AACcj平面ABC.

(2)若NAAC=60。，在線段AC上是否存在一點P使平面8A/和平面AACG所成角的余

弦值為爭若存在，確定點尸的fi≡；若不存在,說明理由.

數(shù)學(xué)答案

ACCAADCA

9.CD10.AC11.ACD12.ABD

√2

13.314.415.-l?16.4

kπ-?-^-,kπ+^^-(&∈Z);(2)Λ(x)∈0,

17.【正確答案】（1）

【分析】（1）通過降基公式和輔助角公式將函數(shù)/（x）化簡，進(jìn)而求出單調(diào)遞減區(qū)間;

（2）先通過圖象變換求出函數(shù)g（X）,進(jìn)而通過降事公式和輔助角公式將函數(shù)/7（X）化簡,

進(jìn)而求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）

1+cos2x?/?1.c

/(x)=；sin2x一G?.?乃

--------------+——=—sin2x一COSozx=Sin2x——，

222TI3J

JT-TT5兀11TT

令5+2&乃≤2x--<-+2kπ^k∈Z),則五+&;T≤x≤+k汽(k∈Z),

54I?τc

，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為.五十左孫-j?+左乃（k∈Z）

（2）將函數(shù)/（x）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)

y=smX-寺勺圖象’再將圖象向左平移π/單位，得到

6

.ππ=sinf?-?

g(χ)sinx+---------的圖象,

I63

l-COS^2χ-y

…A(Λ)=?sinf2x-yj+sin2π-sin?2x-π^}+

X-----

3232

=也ShKFL

I12J2

πl(wèi)πC77π7乃,.?."2T)

?.?x∈,e∈

?l2~4y~↑2

,√2+1

..O≤^^sinf2Λ-7%+J≤與?,即MX）的值域為.0,

^n-2~

18.【正確答案】（1）Bw（2）3√3

【分析】(I)利用正弦定理將邊化角，結(jié)合輔助角公式可整理得Sin(B-宗］=；,根據(jù)角

7171

所處的范圍可求得5-二="，求得5;(2)利用余弦定理構(gòu)造等式，結(jié)合基本不等式可

66

求得〃。的最大值，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.

(1)由c=√?sinC-CCoSB及正弦定理可得：sinC=GSinBsinC-sinCcosB

C∈(0,^?).,.sinC≠O/.?/?sinB-cosB=I即：=—

6∈(0,乃)??.fi-?ef-?.?.=解得：B=土

6V66J663

(2)由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=l2

/.12=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(當(dāng)且僅當(dāng)。=C時取等號)

.?.SMBC=∣αcsinB≤^×12siny=3√3,即AABC面積的最大值為

本題考查解三角形相關(guān)知識，涉及到利用正弦定理進(jìn)行邊角互化、利用余弦定理和基本不等

式求解三角形面積的最大值的問題，屬于常考題型.

19.【正確答案】(1)(%+2)2+(y+l)2=25(2)4x+3y+l=O或X=Y

【分析】(1)根據(jù)題意可知直線3x+y+7=0過圓心，AB的垂直平分線也過圓心，求出其

方程后與已知直線方程聯(lián)立，求出圓心坐標(biāo)及半徑，便可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)根據(jù)垂徑定理求出點到直線的距離，斜率存在時設(shè)直線方程為y-5=Mx+4),利用

點到直線距離公式求得左，求出直線方程，斜率不存在x=-4.

【小問1詳解】

解：由題意得：

?.?A(1,3),8(2,2),且直線3x+y+7=O過圓心

.?.A8的中點坐標(biāo)為(∣?,?∣)又=-1

53

.??AB的垂直平分線方程為y—；=即χ-y+l=0

22

.?.圓C的圓心坐標(biāo)為(-2.-1),r=λ∕(-2-l)+(-l-3)=5

則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為O+2)2+(>+1)2=25.

【小問2詳解】當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為y-5=-x+4),即依—y+4Ar+5=0.

?-2k+l+4k+5?_\2k+6\

圓心(-2,-1),到直線的距離Q==JF=ii=2解得上=一3

J∕+ιΛ2+l3

.?.直線/方程為4x+3y+l=0

當(dāng)斜率不存在時，X=-4也滿足條件

則直線/的方程為4x+3y+l=0或X=T.

TT

20.【正確答案】(1)證明見解析(2)-

6

TT

(1)證明：由題可知,A8C為等邊三角形，所以AC=2,ZCAD=-

在NCO中，由余弦定理得CO=22+42-2×2×4cos∣=2√3,

所以AC2+C02=AQ2,所以CD_LAC.

因為CD_LPC,且ACPC=C,所以CO_L平面PAC.

因為A4u平面P4C，所以CD.因為Q4?LAB,且鉆,。相交,

所以，平面ABCD.

(2)以A為坐標(biāo)原點，以AO，AP的方向分別為)'，Z軸的正方向,

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4一盯Z則C(G,1,0),Λ/(0,2,1).

設(shè)平面MAC的法向量為n=(x,y,z),

n?AC->∕3x+y=0,/∣-∣-?

則《令X=1,得〃=l,-√3,2j3.

n?AM=2y+z=0,

m?n2√3_73

取平面ACr）的一個法向量為m=（0,0,1）,貝∣Jc°s<m">=M/

1x42?

TT

由圖可知二面角“一4。一。為銳角，所以二面角M-AC-。的大小為z.

O

21.【正確答案】（I）Ey+4=。c2v+?！?x-6y+8=0

⑶(x+2)2+(y-l>=5

【分析】(1)兩圓相減，可得公共弦所在直線方程;

⑵首先設(shè)圓系方程/+V?+2x+2y-8+M+y2-2χ+IOy-24）=0（"為常數(shù)）,

根據(jù)圓心在直線)'上，求'，即可求得圓的方程;

(3)面積最小的圓，就是以線段AB為直徑的圓，即可求得圓心和半徑.

(1)將兩圓方程相減得χ-2y+4=0,此即為所求直線方程.

(2)設(shè)經(jīng)過A、B兩點的圓的方程為'+y2+2*+2y-8+"x2+y2-2x+10y-24)=0

(A-X—?—04、Λ-A,一▲一O?ΛC

--,-----j----+--------=U

(“為常數(shù))，則圓心坐標(biāo)為1+λ1+；l；又圓心在直線y=-χ上，故1+,',

解得'-8,故所求方程為χ2+y2+6x-6y+8=0.

(3)由題意可知以線段AB為直徑的圓面積最小.兩圓心所在直線方程為2x+y+3=0,

與直線AB方程聯(lián)立得所求圓心坐標(biāo)為(一2-1?由弦長公式可知所求圓的半徑為,5

故面積最小的圓的方程為'ITmT)-=5.

22.【正確答案】(1)證明見解析；(2)在線段AC上存在一點P,且P是靠近C的四等分

點.

(1)在三棱柱ABC-AAG中，四邊形AmCG是平行四邊形，