人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 專題16 平行四邊形中的數(shù)學(xué)思想方法（原卷版+解析）

專題16平行四邊形中的數(shù)學(xué)思想方法（原卷版）第一部分專題典例剖析類型一方程思想1．(2023?無錫）如圖，在?ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點(diǎn)E在AD上，∠EBA＝60°，則EDCDA．23 B．12 C．322．(2023?新吳區(qū)校級模擬）如圖，平行四邊形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：3，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，過D分別作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，則DP：DQ等于（）A．3：4 B．63：97 C．13：26 D．23：13類型二分類討論思想3．(2023春?林州市期末）在?ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD邊于點(diǎn)E，點(diǎn)E將AD分為1：3兩部分，則AD的長為（）A．8或24 B．8 C．24 D．9或24在?ABCD中，AB=6，AD=2，點(diǎn)A到邊BC，CD的距離分別為AE=3，AF＝1，則∠EAF的度數(shù)為5．在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝6，則平行四邊形ABCD的周長等于．6．(2023秋?招遠(yuǎn)市期末）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC所在的直線上，過點(diǎn)D作DE∥AC交直線AB于點(diǎn)E，DF∥AB交直線AC于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時，如圖①，求證：DE+DF＝AC；（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長線上時，如圖③請分別寫出圖②、圖③中DE、DF、AC之間的等量關(guān)系式（不需要證明）；（3）若AC＝10，DE＝7，問：DF的長為多少？類型三整體思想7．(2023?蘭山區(qū)一模）如圖，平行四邊形ABCD中，BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，BE＝2，BF＝3，平行四邊形ABCD的周長為20，則平行四邊形ABCD的面積為．類型四轉(zhuǎn)化思想8．(2023秋?安鄉(xiāng)縣期中）如圖，P為?ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，E、F分別是PB、PC的中點(diǎn)，△PEF、△PDC、△PAB的面積分別為S、S1、S2.若S＝3，則S1+S2＝．9．(2023春?鹿城區(qū)校級月考）如圖，在直線l上擺放著三個等邊三角形，△ABC，△HFG，△DCE，已知BC=12CE，F(xiàn)，G分別是BC，CE的中點(diǎn)，F(xiàn)M∥AC，GN∥DC，設(shè)圖中三個平行四邊形的面積依次是S1，S2，S3；若S2＝3，則S1+S3＝10．(2023春?榆林期末）如圖是某區(qū)部分街道示意圖，其中AB⊥AF，E、D分別是FA和FG的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D、E在一條直線上，點(diǎn)A、G、B在一條直線上，BC∥FG．從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達(dá)的公交車，路線1是B?D?A?E，且長度為5公里，路線2是B?C?F?E，求路線2的長度．

專題針對性訓(xùn)練1．(2023春?惠城區(qū)校級期末）在探索數(shù)學(xué)名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，AC是平行四邊形ABCD的對角線，點(diǎn)E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝105°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．24° B．25° C．26° D．28°2．(2023?鄭州模擬）如圖，在?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，AD＝10，BE為∠ABC的平分線．利用尺規(guī)在?ABCD中作圖，作圖痕跡如圖所示，AF交BE于點(diǎn)F，連接FD，則FD的長為（）A．33 B．3 C．5 D．273．(2023?臨朐縣一模）如圖，?ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，且AB≠AD，過點(diǎn)O作OE⊥BD交BC于點(diǎn)E，若?ABCD的周長為20，則△CDE的周長為（）A．7 B．8 C．9 D．104．(2023秋?泰山區(qū)校級期末）在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E，AB＝6，EF＝2，則BC的長為．5．(2023春?桂平市期中）在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC=25，則平行四邊形ABCD的面積是6．(2023春?紫陽縣期末）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC邊上的任意一點(diǎn)，分別作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．

7．如圖，?ABCD中，O是對角線交點(diǎn)，AB＝13cm，BC＝5cm，那么△AOB周長比△BOC的周長多cm．8．(2023春?洋縣期末）如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對角線交點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，若S△AOE＝4，則S△AOB的值為．9．(2023秋?城陽區(qū)期中）平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△ABO為等邊三角形，AB＝10cm，這個平行四邊形ABCD的面積為cm2．10．(2023春?洪江市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，AB的中點(diǎn)，延長CA到點(diǎn)D，使得AC＝2AD，連接DE，DF，AE，EF，AF與DE交于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；（2）如果AB＝5，BC＝13，求平行四邊形AEFD的面積．專題16平行四邊形中的數(shù)學(xué)思想方法（解析版）第一部分專題典例剖析類型一方程思想1．(2023?無錫）如圖，在?ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點(diǎn)E在AD上，∠EBA＝60°，則EDCDA．23 B．12 C．32思路引領(lǐng)：由等腰三角形的性質(zhì)可求∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求CD，DE的長，即可求解．解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，設(shè)∠ADB＝x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，∴∠CBD＝∠ADB＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB=180°?x∴x+180°?x∴x＝30°，∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，∵BH⊥AD，∴BD＝2BH，DH=3BH∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，∴∠AEB＝45°，∴∠AEB＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH，∴DE=3BH﹣BH＝（3?1）∵AB=BH2+AH2=BH2∴DECD故選：D．總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出∠ADB＝30°是解題的關(guān)鍵．2．(2023?新吳區(qū)校級模擬）如圖，平行四邊形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：3，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，過D分別作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，則DP：DQ等于（）A．3：4 B．63：97 C．13：26 D．23：13思路引領(lǐng)：連接DE，DF，過點(diǎn)F作FN⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CM⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得△ADF的面積＝△DEC的面積=12平行四邊形ABCD的面積，從而可得DPDQ=CEAF，然后設(shè)AB＝4a，BC＝3a，分別表示出AN，F(xiàn)N，EM，解：連接DE，DF，過點(diǎn)F作FN⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CM⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)M，由題意得：△ADF的面積＝△DEC的面積=12平行四邊形∴AF?DP＝CE?DQ，∴DPDQ∵AB：BC＝4：3，∴設(shè)AB＝4a，BC＝3a，∵AE：EB＝1：3，∴AE＝a，EB＝3a，∵F是BC的中點(diǎn)，∴BF=12BC=∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠CBM＝60°，∴∠BFN＝∠BCM＝30°，在Rt△BFN和Rt△BCM中，∴BN=12BF=34a，BM=CM=3BM=332a，F(xiàn)N=∴AN＝AB+BN=194a，EM＝EB+BM=在Rt△ANF和Rt△ECM中，根據(jù)勾股定理得：AF=ANCE=EM2+C∴CEAF∴DP：DQ＝63：97，故選：B．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理，解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．類型二分類討論思想3．(2023春?林州市期末）在?ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD邊于點(diǎn)E，點(diǎn)E將AD分為1：3兩部分，則AD的長為（）A．8或24 B．8 C．24 D．9或24思路引領(lǐng)：由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出AB＝AE＝6，再由已知條件得出DE＝18或DE＝2，分別求出AD即可．解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠BEA＝∠CBE，∴∠ABE＝∠BEA，∴AB＝AE＝6．∵點(diǎn)E將AD分為1：3兩部分，∴DE＝18或DE＝2，∴當(dāng)DE＝18時，AD＝24；當(dāng)DE＝2，AD＝8；故選：A．總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線定義、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出AB＝AE是解題的關(guān)鍵．在?ABCD中，AB=6，AD=2，點(diǎn)A到邊BC，CD的距離分別為AE=3，AF＝1，則∠EAF的度數(shù)為思路引領(lǐng)：首先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理可得DF＝AF，AE＝BE，然后再根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠DAF＝45°，∠EAB＝45°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，進(jìn)而得到∠D+∠DAB＝180°，求出∠DAB的度數(shù)，進(jìn)而可得答案，同理可得出∠EAF另一個度數(shù)．解：如圖1所示：∵AF⊥DC，AE⊥CB，∴∠DFA＝90°，∠AEB＝90°，∵AD=2，AF∴DF＝1，∴∠D＝∠DAF＝45°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠DAB＝135°，∵AB=6，AE=3，∴EB∴∠EAB＝45°，∴∠EAF＝135°﹣45°﹣45°＝45°，如圖2，過點(diǎn)A作AE⊥CB延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥CD延長線于點(diǎn)F，同理可得：∠EAB＝45°，∠BAD＝45°，∠FAD＝45°，則∠EAF＝135°，故答案為：45°或135°．總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確計算出∠DAF＝45°，∠EAB＝45°．5．(2023?肇東市校級模擬）在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝6，則平行四邊形ABCD的周長等于．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意分兩種情況畫出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進(jìn)而利用勾股定理求出即可解：分兩種情況：①如圖1所示：∵在?ABCD中，BC邊上的高AE為4，AB＝5，AC＝6，∴CD＝AB＝5，AD＝BC，EC=AC2?AE2∴AD＝BC＝25+∴?ABCD的周長＝2（AB+BC）＝45+②如圖2所示：同①得：EC＝25，BE＝3，∴AD＝BC＝25?∴?ABCD的周長＝2（AB+BC）＝45+綜上所述：?ABCD的周長為45+16或45故答案為：45+16或45總結(jié)提升：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．6．(2023秋?招遠(yuǎn)市期末）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC所在的直線上，過點(diǎn)D作DE∥AC交直線AB于點(diǎn)E，DF∥AB交直線AC于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時，如圖①，求證：DE+DF＝AC；（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長線上時，如圖③請分別寫出圖②、圖③中DE、DF、AC之間的等量關(guān)系式（不需要證明）；（3）若AC＝10，DE＝7，問：DF的長為多少？思路引領(lǐng)：（1）證明四邊形AFDE是平行四邊形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可證得；（2）與（1）的證明方法相同；（3）根據(jù)（1）（2）中的結(jié)論直接求解．解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴∠FDC＝∠C，∴DF＝FC，∴DE+DF＝AF+FC＝AC；（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時，在圖②，DE﹣DF＝AC；當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長線上時，在圖③，DF﹣DE＝AC．（3）當(dāng)在圖①的情況，DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3；當(dāng)在圖③的情況，DF＝AC+DE＝10+7＝17．總結(jié)提升：本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定，是一個基礎(chǔ)題，解決本題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論．類型三整體思想7．(2023?蘭山區(qū)一模）如圖，平行四邊形ABCD中，BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，BE＝2，BF＝3，平行四邊形ABCD的周長為20，則平行四邊形ABCD的面積為．思路引領(lǐng)：根據(jù)平行四邊形的周長求出AD+CD，再利用面積列式求出AD、CD的關(guān)系，然后求出AD的長，再利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解．解：∵?ABCD的周長為20，∴2（AD+CD）＝20，∴AD+CD＝10①，∵S?ABCD＝AD?BE＝CD?BF，∴2AD＝3CD②，聯(lián)立①、②解得AD＝6，∴?ABCD的面積＝AD?BE＝6×2＝12．故答案為：12．總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)面積的兩種表示求出2AD＝3CD是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．類型四轉(zhuǎn)化思想8．(2023秋?安鄉(xiāng)縣期中）如圖，P為?ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，E、F分別是PB、PC的中點(diǎn)，△PEF、△PDC、△PAB的面積分別為S、S1、S2.若S＝3，則S1+S2＝．思路引領(lǐng)：根據(jù)E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)可得到EF為三角形PBC的中位線，結(jié)合中位線以及相似的知識可得（EFBC）2=SS△PBC，進(jìn)而即可求出S△PBC，記平行四邊形ABCD中AD邊上的高為h，根據(jù)三角形的面積公式，得到S1+S2=12×（PD+PA解：∵E、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，∴EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，EF=12∵EF∥BC，∴△PEF∽△PBC，∴（EFBC）2=∵EF=12×BC，（EFBC）2∴S△PBC＝12．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC．記平行四邊形ABCD中AD邊上的高為h，∵S△PBC=12×BC×h＝12，S1=12×PD×h，S2=12∴S1+S2=12×（PD+PA）×h=1故答案為：12．總結(jié)提升：本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．9．(2023春?鹿城區(qū)校級月考）如圖，在直線l上擺放著三個等邊三角形，△ABC，△HFG，△DCE，已知BC=12CE，F(xiàn)，G分別是BC，CE的中點(diǎn)，F(xiàn)M∥AC，GN∥DC，設(shè)圖中三個平行四邊形的面積依次是S1，S2，S3；若S2＝3，則S1+S3＝思路引領(lǐng)：根據(jù)題意，證明S2與S1兩個平行四邊形的高相等，長是S1的2倍，S3與S2的長相等，高是S3的一半，把S1和S3用S2來表示，即可得出結(jié)果．解：設(shè)AC與FH交于P，CD與HG交于Q，∵F、G分別是BC、CE的中點(diǎn)，AB∥HF∥DC∥GN，∴MF=12AC=12BC，PF=又∵BC=12CE＝CG＝∴CP＝MF，CQ＝BC，QG＝GC＝CQ＝AB，∴S1=12S2，S3＝2S∴S1+S3=52S2故答案為：152總結(jié)提升：本題考查了面積及等積變換、等邊三角形的性質(zhì)及平行四邊形的面積求法，平行四邊形的面積等于平行四邊形的邊長與該邊上的高的積．即S＝a?h．其中a可以是平行四邊形的任何一邊，h必須是a邊與其對邊的距離，即對應(yīng)的高．10．(2023春?榆林期末）如圖是某區(qū)部分街道示意圖，其中AB⊥AF，E、D分別是FA和FG的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D、E在一條直線上，點(diǎn)A、G、B在一條直線上，BC∥FG．從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達(dá)的公交車，路線1是B?D?A?E，且長度為5公里，路線2是B?C?F?E，求路線2的長度．思路引領(lǐng)：連接CF，證明四邊形BCDG是平行四邊形，得到DG＝CB，再證明四邊形BCFD為平行四邊形，可得CF＝BD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BC＝DA，進(jìn)而可求解．解：連接CF，∵E、D分別是FA和FG的中點(diǎn)，∴DE∥AB，F(xiàn)D＝DG，∵BC∥DF，∴四邊形BCDG是平行四邊形，∴DG＝CB．∴FD＝CB，又∵BC∥DF，∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴CF＝BD，∵AB⊥AF，∴CE⊥AF，∴CE垂直平分AF，∴FD＝DA，∴BC＝DA，∵路線1是B?D?A?E，且長度為5公里，∴BD+AD+AE＝5（公里）∴路線2的長度：BC+CF+FE＝AD+BD+AE＝5（公里）．總結(jié)提升：本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．專題針對性訓(xùn)練1．(2023春?惠城區(qū)校級期末）在探索數(shù)學(xué)名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，AC是平行四邊形ABCD的對角線，點(diǎn)E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝105°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．24° B．25° C．26° D．28°思路引領(lǐng)：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，∴∠BAC＝25°，故選：B．總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．2．(2023?鄭州模擬）如圖，在?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，AD＝10，BE為∠ABC的平分線．利用尺規(guī)在?ABCD中作圖，作圖痕跡如圖所示，AF交BE于點(diǎn)F，連接FD，則FD的長為（）A．33 B．3 C．5 D．27思路引領(lǐng)：過點(diǎn)F作HF⊥AD于點(diǎn)H，證明△ABE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出AE＝AB＝BE＝8，求出DH，F(xiàn)H的長，由勾股定理可得出答案．解：過點(diǎn)F作HF⊥AD于點(diǎn)H，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CBE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE，∵∠DAB＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB＝BE＝8，由作圖可知AF平分∠BAD，∴AF⊥BE，∠EAF＝30°，∴AF＝43，∴HF＝23，AH＝6，∵AD＝10，∴DH＝4，∴DF=DH2故選：D．總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(2023?臨朐縣一模）如圖，?ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，且AB≠AD，過點(diǎn)O作OE⊥BD交BC于點(diǎn)E，若?ABCD的周長為20，則△CDE的周長為（）A．7 B．8 C．9 D．10思路引領(lǐng)：由平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，OE⊥BD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BE＝DE，又由平行四邊形ABCD的周長為20，可得BC+CD的長，繼而可得△CDE的周長等于BC+CD．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵平行四邊形ABCD的周長為20，∴BC+CD＝10，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∴△CDE的周長為：CD+CE+DE＝CD+CE+BE＝CD+BC＝10．故選：D．總結(jié)提升：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．4．(2023秋?泰山區(qū)校級期末）在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E，AB＝6，EF＝2，則BC的長為．思路引領(lǐng)：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CD＝AB＝6，結(jié)合角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)可求解AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的長．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB＝6，∴CD＝AB＝6，AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝6，同理DE＝DC＝6，如圖1，∵EF＝2，∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，如圖2，∵EF＝2，∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，綜上所述，BC的長為10或14，故答案為：10或14．總結(jié)提升：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，證明AF＝AB＝8，DE＝DC＝8是解題的關(guān)鍵．5．(2023春?桂平市期中）在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC=25，則平行四邊形ABCD的面積是思路引領(lǐng)：根據(jù)題意分兩種情況畫出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進(jìn)而利用勾股定理求出EC、BE，得出BC，即可求出?ABCD的面積．解：分兩種情況：①如圖1所示：在?ABCD中，BC邊上的高AE為4，AB＝5，AC＝25，∴CD＝AB＝5，AD＝BC，EC=AC2?A∴AD＝BC＝2+3＝5，∴?ABCD的面積＝BC?AE＝5×4＝20；②如圖2所示：同①得：EC＝2，BE＝3，∴AD＝BC＝3﹣2＝1，∴?ABCD的面積＝BC?AE＝1×4＝4；綜上所述：?ABCD的面積為20或4．故答案為：20或4．總結(jié)提升：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．6．(2023春?紫陽縣期末）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC邊上的任意一點(diǎn)，分別作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．思路引領(lǐng)：由題意可得四邊形AEDF是平行四邊形，得DE＝AF再由等腰三角形的性質(zhì)及平行線可得DF＝CF，進(jìn)而可求出其結(jié)論．解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE＝AF，又∵AB＝AC＝10，∴∠B＝∠C，∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠B，∴∠CDF＝∠C，∴DF＝CF，∴AC＝AF+FC＝DE+DF＝10．答：DE+DF的值是10．總結(jié)提升：本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)問題，能夠熟練求解．7．如圖，?ABCD中，O是對角線交點(diǎn)，AB＝13cm，BC＝5cm，那么△AOB周長比△BOC的周長多cm．思路引領(lǐng)：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，△AOB周長與△BOC的周長之差即為AB與BC的差．解：∵ABCD為平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD△AOB的周長為OA+OB+AB；△BOC的周長為OB+OC+BC∴兩周長之差為OA+OB+AB﹣（OB+OC+BC）＝AB﹣BC＝13﹣5＝8cm．總結(jié)提升：本題主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題．平行四邊形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分．8．(2023春?洋縣期末）如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對角線交點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，若S△AOE＝4，則S△AOB的值為．思路引領(lǐng)：由平行四邊形的性質(zhì)得出O是AC的中點(diǎn)，即可得出S△AOE＝S△EOC，再由三角形中位線定理得出EO∥AD，則S△AOE＝S△EOD，進(jìn)而即可求出答案．解：∵點(diǎn)O是?ABCD的對角線交點(diǎn)