北京市朝陽區(qū)高三年級學業(yè)水平等級性考試練習二（二模）數(shù)學試題

房山區(qū)2020年高考第二次模擬檢測高三數(shù)學本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知全集，集合，那么集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式求出集合A，再求補集即可.【詳解】由得：或，所以或，所以，故選：D【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，涉及解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題.2.在△中，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理計算得到答案.詳解】根據(jù)正弦定理：，故，解得.故選：B.【點睛】本題考查了正弦定理，意在考查學生的計算能力.3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡得到，利用周期公式得到答案.【詳解】，故周期.故選：A.【點睛】本題考查了二倍角公式，三角函數(shù)周期，意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.4.若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的漸近線過點，可以求得的值，再利用即可求出離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線為，因為漸近線過點，所以，所以，所以，故選：C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率，考查了雙曲線的漸近線方程，屬于中檔題.5.函數(shù)的零點個數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由，得到.分別畫出和的圖象可知當時，函數(shù)和有一個交點.當時，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到零點個數(shù)，再綜合和的情況即可得到函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】令，得：，分別畫出和的圖象，如圖所示：當時，函數(shù)和有一個交點.當時，，令，，，.當，，為減函數(shù)，當，，為增函數(shù).所以，所以在為增函數(shù)，又因為，所以，.故在無零點.綜上：函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：B【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.6.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)運算依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則，則若，則，故是充分條件；若，取，則，故不是必要條件.故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學生的計算能力和推斷能力.7.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)B.是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C.是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，再利用復合函數(shù)單調(diào)性法則判斷單調(diào)性，結(jié)合選項可得結(jié)果.【詳解】，是偶函數(shù)；當時，，設(shè)，則在上單增，又為增函數(shù)，所以在上單增，是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù).故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題.判斷函數(shù)的奇偶性首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，如果不對稱，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，如果對稱常見方法有：（1）直接法，(正為偶函數(shù)，負為減函數(shù))；（2）和差法，（和為零奇函數(shù)，差為零偶函數(shù)）；（3）作商法，（為偶函數(shù)，為奇函數(shù)）.8.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長側(cè)棱的長為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖可得直觀圖四棱錐，結(jié)合圖形，即可得到最長的側(cè)棱為，根據(jù)勾股定理即可求出的長．【詳解】根據(jù)三視圖可得直觀圖四棱錐，如圖：底面是一個直角梯形，，，,,且底面，所以，，∴該四棱錐最長側(cè)棱長為.故選:C【點睛】本題考查三視圖的問題，關(guān)鍵是畫出直觀圖，結(jié)合圖形即可得到答案，考查學生的直觀想象和運算求解能力.9.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是℃，空氣的溫度是℃，經(jīng)過分鐘后物體的溫度℃可由公式求得，其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于的常數(shù)．現(xiàn)有℃的物體，放在℃的空氣中冷卻，分鐘以后物體的溫度是℃，則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】℃的物體，放在℃的空氣中冷卻，4分鐘以后物體的溫度是℃，則，從而，由此能求出的值．【詳解】由題知，℃的物體，放在℃的空氣中冷卻，4分鐘以后物體的溫度是℃，則，從而，，得.故選:D【點睛】本題主要考查指數(shù)與對數(shù)的運算，考查了學生的閱讀理解能力和運算求解能力.10.李明自主創(chuàng)業(yè)種植有機蔬菜，并且為甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服務(wù)，甲、乙、丙、丁四家超市分別需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分別去了這四家超市配送，那么整個月他不用去配送的天數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意將剩余天數(shù)編號，轉(zhuǎn)化條件得李明每逢編號為3、4、6、7的倍數(shù)時要去配送，利用分類加法即可得解.【詳解】將月剩余的30天依次編號為1，2，330，因為甲、乙、丙、丁四家超市分別需要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分別去了這四家超市配送，所以李明每逢編號為3的倍數(shù)的那天要去甲超市配送，每逢編號為4的倍數(shù)的那天要去乙超市配送，每逢編號為6的倍數(shù)的那天要去丙超市配送，每逢編號為7的倍數(shù)的那天要去丁超市配送，則李明去甲超市的天數(shù)編號為：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天數(shù)編號為：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天數(shù)編號不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天數(shù)編號為：7、14，共2天；所以李明需要配送的天數(shù)為，所以整個月李明不用去配送的天數(shù)是.故選：B.【點睛】本題考查了計數(shù)原理的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化化歸思想與分類討論思想，關(guān)鍵是對于題目條件的轉(zhuǎn)化與合理分類，屬于中檔題.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若（），則_________．【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合復數(shù)的乘法法則可得，由復數(shù)相等的條件即可得解.【詳解】由題意，由可得，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查了復數(shù)相等的條件與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12.若直線與圓相切，則_________．【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合圓的方程可得該圓圓心為，半徑為，再利用圓心到直線的距離等于半徑即可得解.【詳解】由題意圓的方程可轉(zhuǎn)化為，所以該圓圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了圓的方程的應(yīng)用，考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13.已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，，則點的橫坐標是________，△（為坐標原點）的面積為_________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】設(shè)出焦點坐標，根據(jù)拋物線定義即可求出點的橫坐標，得到點坐標，繼而可求△（為坐標原點）的面積.【詳解】因為，所以焦點，設(shè)點，所以根據(jù)拋物線的定義由：，又，所以，解得：，即點的橫坐標是.因為，又，所以，，所以，故△（為坐標原點）的面積為.故答案為：；.【點睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，解題關(guān)鍵根據(jù)拋物線定義用拋物線上點的橫坐標表示焦半徑的長，屬于基礎(chǔ)題.14.已知正方形的邊長為，若，則的值為_________．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標系，求得點P的坐標，進而得到的坐標，再利用數(shù)量積的坐標運算求解.【詳解】如圖所示建立平面直角坐標系：則，設(shè)，，因為，，解得，所以，所以，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的坐標表示和數(shù)量積運算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.15.對任意兩實數(shù)，，定義運算“”：給出下列三個結(jié)論：①存在實數(shù)，，使得成立；②函數(shù)的值域為；③不等式的解集是．其中正確結(jié)論的序號是_____________．【答案】①③【解析】【分析】由得，，對于①，由得，，由絕對值三角不等式即可判斷；（另解：舉例說明，取；）對于②，，再根據(jù)輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于③，由得，，解出即可判斷．【詳解】解：由得，，對于①，由得，，即，由絕對值三角不等式可得，，當且僅當時，等號成立，故①對；（另解：取，則，則成立；）對于②，，故②錯；對于③，由得，，即，∴，解得，故③對；故答案：①③．【點睛】本題主要考查新定義問題，解題的關(guān)鍵在于理解新運算的含義，屬于中檔題．三、解答題共6題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在三棱柱中，是邊長為的正方形，平面平面，，，點為棱的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）由題意，利用平面與平面垂直的性質(zhì)可得平面，得到平面，得，由是正方形，得，再由直線與平面垂直的判定可得平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，又，故以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量與的坐標，由兩向量所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（Ⅰ）證：平面平面，平面平面，平面，且，平面，在三棱柱中，有，平面，得,是正方形，，而，平面；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面，又，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題主要考查直線與平面垂直的判定，考查線面角的求法，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．17.已知數(shù)列的前項和為，，．是否存在正整數(shù)（），使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．從①，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．【答案】若選①，不存在正整數(shù)（），使得成等比數(shù)列；若選②，存在，使得成等比數(shù)列；若選③，存在，使得成等比數(shù)列．【解析】【分析】由題意得，若存在正整數(shù)（）滿足題意，則；若選①，則數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求得，，代入數(shù)據(jù)求解即可求出答案；若選②，則當時，，據(jù)此求得，，代入數(shù)據(jù)求解即可求出答案；若選③，則當時，，據(jù)此求得，代入數(shù)據(jù)求解即可求出答案．【詳解】解：若選①，則數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，，∴，，若成等比數(shù)列，則，則，即，即，解得，均不符合題意，故不存在正整數(shù)（），使得成等比數(shù)列；若選②，則當時，，又符合上式，則，，∴，∴，，若成等比數(shù)列，則，即，解得，或（舍去），故存在，使得成等比數(shù)列；若選③，則當時，，又符合上式，則，，∴，，若成等比數(shù)列，則，則，即，解得，或（舍去），故存在，使得成等比數(shù)列．【點睛】本題主要考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式，考查計算能力，屬于中檔題．18.“十一”黃金周某公園迎來了旅游高峰期，為了引導游客有序游園，該公園每天分別在時，時，時，時公布實時在園人數(shù)．下表記錄了月日至日的實時在園人數(shù)：日日日日日日日時在園人數(shù)時在園人數(shù)時在園人數(shù)時在園人數(shù)通常用公園實時在園人數(shù)與公園的最大承載量（同一時段在園人數(shù)的飽和量）之比來表示游園舒適度，以下稱為“舒適”，已知該公園的最大承載量是萬人．（Ⅰ）甲同學從月日至日中隨機選天的下午時去該公園游覽，求他遇上“舒適”的概率；（Ⅱ）從月日至日中任選兩天，記這兩天中這個時間的游覽舒適度都為“舒適”的天數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）根據(jù)月日至日每天時的在園人數(shù)，判斷從哪天開始連續(xù)三天時的在園人數(shù)的方差最大？（只需寫出結(jié)論）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列見解析，數(shù)學期望；（Ⅲ）從10月3日開始連續(xù)三天時的在園人數(shù)的方差最大．【解析】【分析】（Ⅰ）由題意得，在園人數(shù)為萬人以下為“舒適”，由此根據(jù)古典概型的概率計算公式求解即可；（Ⅱ）從月日至日中，這個時間的游覽舒適度都為“舒適”的有4日、6日、7日，得的取值可能為0，1，2，且服從超幾何分布，由此可求出答案；（Ⅲ）根據(jù)方差的定義觀察波動幅度，由此可得出結(jié)論．【詳解】解：∵以下稱為“舒適”，該公園的最大承載量是萬人，∴在園人數(shù)為萬人以下為“舒適”，（Ⅰ）月日至日的下午時去該公園游覽，“舒適”的天數(shù)為3天，∴甲同學遇上“舒適”的概率；（Ⅱ）從月日至日中，這個時間的游覽舒適度都為“舒適”的有4日、6日、7日，∴的取值可能為0，1，2，且服從超幾何分布，∴，，，∴的分布列為012∴的數(shù)學期望；（Ⅲ）從10月3日【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望，考查古典概型的概率計算公式，考查方差的定義，屬于基礎(chǔ)題．19.已知橢圓的兩個頂點分別為，，焦點在軸上，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為原點，點在橢圓上，點和點關(guān)于軸對稱，直線與直線交于點，求證：，兩點的橫坐標之積等于，并求的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；取值范圍是.【解析】【分析】（I）根據(jù)橢圓的頂點、離心率以及求得，從而求得橢圓的方程.（II）設(shè)出的坐標，求得直線和直線的方程，由此求得交點的坐標，進而證得兩點的橫坐標之積等于.求得的表達式，由此求得的取值范圍.【詳解】（I）由于橢圓焦點在軸上，所以，所以橢圓的方程為.（II）設(shè)則、.依題意可知，且.直線的方程為，直線的方程為.由解得，即.所以兩點的橫坐標之積為.由.由于，且，所以，.也即的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查根據(jù)求橢圓方程，考查橢圓中的定值問題，考查橢圓中的范圍問題，屬于中檔題.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）求曲線在點處的切線方程；（3）求證：當時，．【答案】（1）；（2）;（3）見解析.【解析】【分析】（1）由分母不等于0解不等式可求得定義域；（2）根據(jù)導數(shù)的幾何意義易求出切線方程；（3）先求導判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，再求出最小值，命題得證.【詳解】解：（1）由得，，.所以函數(shù)的定義域為.（2）由得：，又，所以曲線在點處的切線方程為：.（3）由（2）得，.當時，與單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞