2024屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（新高考七省地區(qū)專用）01（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考（新高考七省地區(qū)專用）01數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題1．某校高一年級(jí)18個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了10個(gè)班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.5〖答案〗B〖解析〗將比賽得分從小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)第8個(gè)數(shù)與第9個(gè)數(shù)的平均值，即.故選：B.2．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率,則（

）A．12 B．-4 C．-6 D．-8〖答案〗A〖解析〗焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，可知，∵離心率是，，解得m=12．故選:A．3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=（

）A．12 B．24 C．36 D．48〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，故可得：；又.故選：C.4．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則〖答案〗D〖解析〗作長(zhǎng)方體，如下圖所示：對(duì)于A，設(shè)，，平面，顯然，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，，平面，顯然，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，，平面，顯然，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?故D正確.故選：D.5．某人用字母v，r，y各1個(gè)和2個(gè)字母e拼寫(xiě)英語(yǔ)單詞“every”，那么他寫(xiě)錯(cuò)這個(gè)英語(yǔ)單詞的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗對(duì)e，v，e，r，y5個(gè)字母排列也就是將e，v，e，r，y放入5個(gè)確定的位置，先從5個(gè)位置中選出2個(gè)位置放2個(gè)e，有種方法，再將剩下3個(gè)字母全排放入其他兩個(gè)位置，有種方法，因此共有種方法，而寫(xiě)對(duì)的可能只有1種，所以他寫(xiě)錯(cuò)這個(gè)英語(yǔ)單詞的情況有種，所以他寫(xiě)錯(cuò)這個(gè)英語(yǔ)單詞的概率為.故選：A.6．在菱形中，，，，，若，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗作出圖形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)橐驗(yàn)椋?即是的中點(diǎn)，所以所以，由題知.故故選：D.7．若，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗令，，得，則，即，整理得，且，那么，則.故選：C.8．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．〖答案〗B〖解析〗設(shè)，，則，如圖所示：由余弦定理得，即，所以，從而.因?yàn)椋?，整理得：，即，整理得，解得或（舍去），所以，?故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9．已知函數(shù)的最小正周期為，方程在的解為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．〖答案〗ABD〖解析〗由函數(shù)的最小正周期為，得，所以，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，得，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)B正確；由，得，所以函數(shù)在上先減后增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，依題意有，結(jié)合圖象可知，，即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.10．設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則的最小值是〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)，對(duì)于選項(xiàng)A：，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，所以，即，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，則，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：即表示點(diǎn)到點(diǎn)和到點(diǎn)的距離相等，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為線段的垂直平分線，因?yàn)橹悬c(diǎn)為，，所以的中垂線為，整理可得：，所以表示點(diǎn)到的距離，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且，，則（

）A． B．是偶函數(shù)C． D．〖答案〗BC〖解析〗，令，，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；令，則，又，所以，令，則，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，令，則，令，則，，又函數(shù)的定義域R，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；令，則，又，，，所以，選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，所以，所以函?shù)的一個(gè)周期為8，令，，則，所以，所以，所以，，，所以，，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題12．若集合，，，則的最小值為.〖答案〗6〖解析〗由，解得，所以，因?yàn)?，，所以，所以的最小值?13．設(shè)直線與球有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，從直線出發(fā)的兩個(gè)半平面截球的兩個(gè)截面圓的半徑分別為1和，二面角的平面角為，則球的表面積為.〖答案〗〖解析〗設(shè)兩個(gè)半平面截球的兩個(gè)截面圓的圓心分別為，連接，如圖所示由球的截面圓性質(zhì)及球的切線性質(zhì)得，且，由題意可知，所以為二面角的平面角，即，因?yàn)?，，，，所以，所以，同理：，故四邊形為矩形，所以，得，則球的表面積.14．定義：為實(shí)數(shù)中較大的數(shù)．若，則的最小值為．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則由題意可得，因?yàn)?，所以①?dāng)時(shí)，，只需考慮，所以，，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；②當(dāng)時(shí)，，只需考慮，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).綜上所述，的最小值為2.四、解答題15．已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；解：（1），∵曲線在處的切線與直線平行，∴，即，故；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，得.∵，∴方程有兩不等實(shí)根.∵，，∴.令，得或；令，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

方法二：（常規(guī)方法）：討論的符號(hào).當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則，在上遞增；當(dāng)，即或時(shí)，方程有兩不等實(shí)根.（i）當(dāng)時(shí)，由知，則恒成立，故在上遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，由知，，得或；令，得.

故在、上遞增，在上遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.16．一個(gè)骰子各個(gè)面上分別寫(xiě)有數(shù)字，現(xiàn)拋擲該股子2次，記第一次正面朝上的數(shù)字為，第二次正面朝上的數(shù)字為，記不超過(guò)的最大整數(shù)為．（1）求事件“”發(fā)生的概率，并判斷事件“”與事件“”是否為互斥事件；（2）求的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）當(dāng)取取值為時(shí)，，當(dāng)取取值為時(shí)，，當(dāng)取取值為時(shí)，，當(dāng)取取值為1，2時(shí)，，當(dāng)取取值為1時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，事件“”與事件“”不能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件；（2）的取值為，取值為，時(shí)，，取值為時(shí)，，取值為時(shí)，，取值為時(shí)，，取值為時(shí)，，取值為時(shí)，，所以的分布列為0123456所以．17．如圖，在多面體中，四邊形為平行四邊形，且平面，且.點(diǎn)分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，滿足.（1）證明：直線平面；（2）是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S建立坐標(biāo)系...設(shè)平面的法向量為，則由，取得.因?yàn)椋越獾?所以，且平面，所以平面（2）解：設(shè)平面的法向量為則由，解得.所以，解得.18．已知、、，圓，拋物線，過(guò)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）若直線與圓交于、兩點(diǎn)，記面積為，面積為，求的取值范圍.解：（1）設(shè)、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，所以，，因?yàn)?，解得，故拋物線的方程．（2）由，，得，設(shè)直線的方程為，即，則原點(diǎn)到直線的距離，得，，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，所以，則且，則，令，則，，則，綜上，的取值范圍為．19．已知數(shù)表中的項(xiàng)互不相同，且滿足下列條件：①；②.則稱這樣的數(shù)表具有性質(zhì).（1）若數(shù)表具有性質(zhì)，且，寫(xiě)出所有滿足條件的數(shù)表，并求出的值；（2）對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)取最大值時(shí)，求證：存在正整數(shù)，使得；（3）對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求的最大值.解：（1）滿足條件的數(shù)表為，所以的值分別為5，5，6.（2）若當(dāng)取最大值時(shí)，存在，使得.由數(shù)表具有性質(zhì)可得為奇數(shù)，不妨設(shè)此時(shí)數(shù)表為.①若存在（為偶數(shù)，），使得，交換和的位置，所得到的新數(shù)表也具有性質(zhì)，調(diào)整后數(shù)表第一行和