北京市東城區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市東城區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第一部分一?選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗全集，集合，.故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，，所以.故選：B3.展開式中，的系數(shù)為（）A.1 B.5 C.10 D.20〖答案〗C〖解析〗二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，即，有，故的系數(shù)為10.故選：C.4.設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，若，則（）A.6 B.8 C.12 D.14〖答案〗D〖解析〗設(shè)公比為，則，則，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，故，則.故選：D.5.已知非零向量，，滿足，且，對(duì)任意實(shí)數(shù)，，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗非零向量，，滿足，且，對(duì)于A，不恒為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，不恒為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不恒為，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.如圖，在正方體中，，，分別是，的中點(diǎn).用過點(diǎn)且平行于平面的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，，，正方體，平面，平面，，是的中點(diǎn)，，且，四邊形是矩形，且，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，即平面為過點(diǎn)且平行于平面的平面截正方體所得平面，，，，.故選：A.7.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗，，函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由得，得，滿足充分性；由得，得，滿足必要性.“”是“”充要條件.故選：C.8.一粒子在平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線的一部分，在該平面上建立直角坐標(biāo)系后，該粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示.在時(shí)刻，粒子從點(diǎn)出發(fā)，沿著軌跡曲線運(yùn)動(dòng)到，再沿著軌跡曲線途經(jīng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，之后便沿著軌跡曲線在，兩點(diǎn)之間循環(huán)往復(fù)運(yùn)動(dòng).設(shè)該粒子在時(shí)刻的位置對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則坐標(biāo)，隨時(shí)間變化的圖象可能是（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗由題知，粒子從為一個(gè)周期，對(duì)應(yīng)由為一個(gè)周期，對(duì)應(yīng)由為兩個(gè)周期，函數(shù)的周期是函數(shù)的周期的倍.對(duì)于A，的周期為，的周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的周期為，的周期為，故B正確；對(duì)于C，的周期為，的周期為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的周期為，的周期為，故D錯(cuò)誤.故選：B.9.已知線段的長(zhǎng)度為是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）.點(diǎn)在圓心為，半徑為的圓上，且不共線，則的面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖：設(shè)，圓M的半徑為r，則，所以的面積，當(dāng)為時(shí)取等號(hào)，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)S有最大值，故選：A10.設(shè)函數(shù)，對(duì)于下列四個(gè)判斷：①函數(shù)的一個(gè)周期為；②函數(shù)的值域是；③函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得其到點(diǎn)的距離為；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．正確的判斷是（）A.① B.② C.③ D.④〖答案〗D〖解析〗對(duì)于①，，，故不是函數(shù)的一個(gè)周期，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，需滿足，即，令，，則即為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，，（，故）此時(shí)在上單調(diào)遞減，則，綜上，的值域是，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由②知，，當(dāng)時(shí)，,滿足此條件下的圖象上的點(diǎn)到的距離；當(dāng)時(shí)，,滿足此條件下的圖象上的點(diǎn)到的距離，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，而時(shí)，或，滿足此條件的x與矛盾，即等號(hào)取不到，故函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)，使得其到點(diǎn)的距離為，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由②的分析可知，則，即，又，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，④正確．故選：D.第二部分二?填空題共5小題.11.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.〖答案〗〖解析〗，解得且，函數(shù)的定義域?yàn)?故〖答案〗為：.12.已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是__________；直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，則__________.〖答案〗〖解析〗由雙曲線：知雙曲線的焦點(diǎn)在軸，且，，即，，所以雙曲線的漸近線方程為；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以.故〖答案〗為：；.13.已知函數(shù)，若，則的一個(gè)取值為__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，即，解得，，，的一個(gè)取值為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.14.設(shè)函數(shù)①若，則的最小值為__________.②若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗①.②〖解析〗①當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為；②由，則當(dāng)時(shí)，，由有最小值，故當(dāng)時(shí)，的最小值小于等于，則當(dāng)且時(shí)，有，符合要求；當(dāng)時(shí)，，故不符合要求，故舍去.綜上所述，.故〖答案〗為：；.15.一般地，對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)取每一個(gè)正整數(shù)時(shí)，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的一個(gè)周期.給出下列四個(gè)判斷：①對(duì)于數(shù)列，若，則為周期數(shù)列；②若滿足：，則為周期數(shù)列；③若為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)，使得恒成立；④已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零整數(shù)，為其前項(xiàng)和，若存在正整數(shù)，使得恒成立，則為周期數(shù)列.其中所有正確判斷的序號(hào)是__________.〖答案〗②③〖解析〗對(duì)于①，因?yàn)?，取?shù)列：，顯然滿足，但數(shù)列不是周期函數(shù)，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)閿?shù)列滿足：，不妨令，則數(shù)列為，故，所以②正確；對(duì)于③，為周期數(shù)列，不妨設(shè)周期為，所以數(shù)列中項(xiàng)的值有個(gè)，即數(shù)列中的項(xiàng)是個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，故存在正整數(shù)，使得恒成立，所以③正確；對(duì)于④，取數(shù)列為首項(xiàng)2，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，取，則恒成立，但不為周期數(shù)列.故〖答案〗為：②③.三?解答題16.如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).（1）證明：如圖，取線段的中點(diǎn)，連接,因分別為的中點(diǎn),故有,又因?yàn)槠矫妫矫?故平面，平面，又,則平面平面,因平面，則平面.（2）解：如圖，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,設(shè)點(diǎn),則，代入坐標(biāo)得：，即，于是,,設(shè)平面的法向量為，則有故可取，依題意得，，解得：，即線段的長(zhǎng)為1.17.在中，（1）求；（2）若為邊上一點(diǎn)，再從條件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：的周長(zhǎng)為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1），故；（2）若選條件①：，由，，，故，即，，此時(shí)三角形唯一確定，符合要求，.若選條件③：的周長(zhǎng)為,由，故，則，化簡(jiǎn)得，即有，解得，故，此時(shí)三角形唯一確定，符合要求，.不能選條件②，理由如下：若選條件②：，由，，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即，此時(shí)，，故，即不存在該三角形，故②不符合要求.18.某科目進(jìn)行考試時(shí)，從計(jì)算機(jī)題庫中隨機(jī)生成一份難度相當(dāng)?shù)脑嚲?規(guī)定每位同學(xué)有三次考試機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，該科目成績(jī)合格，無需再次參加考試，否則就繼續(xù)參加考試，直到用完三次機(jī)會(huì).現(xiàn)從2022年和2023年這兩年的第一次、第二次、第三次參加考試的考生中，分別隨機(jī)抽取100位考生，獲得數(shù)據(jù)如下表：2022年2023年通過未通過通過未通過第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人人人假設(shè)每次考試是否通過相互獨(dú)立.（1）從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機(jī)抽取一位考生，估計(jì)這兩位考生都通過考試的概率；（2）小明在2022年參加考試，估計(jì)他不超過兩次考試該科目成績(jī)合格的概率；（3）若2023年考生成績(jī)合格的概率不低于2022年考生成績(jī)合格的概率，則的最小值為下列數(shù)值中的哪一個(gè)？（直接寫出結(jié)果）的值838893解：（1）記事件：“2022年第次參加考試的考生通過考試”，，記事件：“2023年第次參加考試的考生通過考試”，，則，，從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機(jī)抽取一位考生，估計(jì)這兩位考生都通過考試的概率為；（2），，，小明在2022年參加考試，估計(jì)他不超過兩次考試該科目成績(jī)合格的概率為；（3）2022年考生成績(jī)合格的概率為,2023年考生成績(jī)合格的概率為，要使2023年考生成績(jī)合格的概率不低于2022年考生成績(jī)合格的概率，則，解得.故的最小值為.19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左?右頂點(diǎn)分別為，.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱，分別為線段的中點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn).證明：三點(diǎn)共線.（1）解：由題意，所以，所以橢圓的方程為.（2）證明：由題意不妨設(shè)，其中，即，則，且直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，消去并化簡(jiǎn)整理得，由韋達(dá)定理有，所以，，即點(diǎn)，而，，所以三點(diǎn)共線.20.已知函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若，求證：函數(shù)在上有極大值，且.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，即切點(diǎn)為，，，即在處切線的斜率為，故曲線在處的切線方程為；（2）證明：，令，，，在單調(diào)遞增，且，在單調(diào)遞增，且，在單調(diào)遞減，，，即，，存在唯一的，使，即，當(dāng)時(shí)，，即，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，在單調(diào)遞減，在處取得極大值，設(shè)極大值，即，令，，，對(duì)勾函數(shù)在單調(diào)遞增，，，，，即，.21.若有窮數(shù)列滿足：，則稱此數(shù)列具有性質(zhì).（1）若數(shù)列具有性質(zhì)，求的值；（2）設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，求證：數(shù)列A為等差數(shù)列；（3）把具有性質(zhì)，且滿足（為常數(shù)）的數(shù)列A構(gòu)成的集合記作.求出所有的，使得對(duì)任意給定的，當(dāng)數(shù)列時(shí)，數(shù)列A中一定有相同的兩項(xiàng)，即存在.（1）解：由已知可得數(shù)列共有5項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，所