河南省焦作市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由拋物線得：焦點(diǎn)在x軸上，開口向右，p=2，所以其準(zhǔn)線方程為，故選：B2.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4〖答案〗B〖解析〗根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得.故選：B.3.已知直線與垂直，則（）A.0 B.0或 C. D.0或〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，則有，解得或，故選：B.4.今年冬天，“北上滑雪”成為熱門的度假方式，某滑雪場(chǎng)通過調(diào)查了解到有的游客是第一次滑雪，其他游客以前滑過雪，則從所有游客中任選四人，其中恰有兩人是第一次滑雪的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗四人中恰有兩人是第一次滑雪的概率為.故選：C.5.把2個(gè)相同的紅球?1個(gè)黃球?1個(gè)藍(lán)球放到三個(gè)盒子里，每個(gè)盒子中至少放1個(gè)球，則不同的放法種數(shù)為（）A.18 B.20 C.21 D.24〖答案〗C〖解析〗先把4個(gè)球分成3堆，分法有4種：(紅紅，黃，藍(lán))?(紅黃，紅，藍(lán))?(紅藍(lán)，紅，黃)?(紅，紅，藍(lán)黃).前3種分法，把3堆球放入3個(gè)盒子中，各有種放法，最后一種分法，把3堆球放入3個(gè)盒子中，有3種放法，所以共有種放法.故選：C6.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為棱的中點(diǎn)，且，則（）A.6 B.8 C.9 D.10〖答案〗A〖解析〗底面為菱形，，,為棱的中點(diǎn),，解得.故選:A.7.小明利用課余時(shí)間參與科學(xué)探究活動(dòng)——觀察蒜苗的生長(zhǎng)，下表記錄了大蒜發(fā)芽后第4天至第8天的蒜苗高度，若用最小二乘法算得蒜苗高度與時(shí)間天的線性回歸方程為，則根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè)，從第（）天開始蒜苗高度大于.時(shí)間天45678蒜苗高度12.44.65.66.4A.15 B.16 C.17 D.18〖答案〗D〖解析〗由表中數(shù)據(jù)得，代入方程，解得，則回歸方程為，令，解得，因?yàn)?，所?故選：D.8.橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作的切線，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，若，，則（）注：表示面積.A.2 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗如圖，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得三點(diǎn)共線.設(shè)，則.故，解得.又，所以，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則（）A. B.項(xiàng)的系數(shù)為C.各項(xiàng)系數(shù)之和為 D.〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，所有，解得，故A正確；展開式中項(xiàng)為，故B錯(cuò)誤；令，則展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為，故C正確；因?yàn)?，所以最大，故D正確.故選：ACD.10.已知曲線，則（）A.當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓B.當(dāng)時(shí)，曲線是以直線為漸近線的雙曲線C.存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，直線總與曲線相交〖答案〗ABC〖解析〗當(dāng)時(shí)，，所以方程表示的曲線是橢圓，故A正確；當(dāng)時(shí)，方程為，所以，其漸近線方程為，即，故B正確；令，整理得且，此方程有解，故C正確；當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，直線為的一條漸近線，此時(shí)無交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知圓和圓，則（）A.圓與軸相切B.兩圓公共弦所在直線的方程為C.有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得過點(diǎn)能作兩條與兩圓都相切的直線D.兩圓的公切線段長(zhǎng)為〖答案〗ACD〖解析〗圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.對(duì)于A，顯然圓與軸相切，故A正確；對(duì)于B，易知兩圓相交，將方程與相減，得公共弦所在直線的方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩圓相交，所以兩圓的公切線只有兩條，又因?yàn)閮蓤A半徑不相等，所以公切線交于一點(diǎn)，即過點(diǎn)可以作出兩條與兩圓都相切的直線，故C正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以公切線段長(zhǎng)為，故D正確.故選：ACD12.已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱和的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)，是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則（）A.B.點(diǎn)到直線的距離為C.存在點(diǎn)，使得平面D.動(dòng)點(diǎn)在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)〖答案〗AD〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.對(duì)于選項(xiàng)A，易知，設(shè)，所以，又，得到，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)椋?，又，則在方向上的投影向量的模為，又，所以點(diǎn)到直線的距離為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由選項(xiàng)A知，，，由，得到，取，所以平面的一個(gè)法向量為，由，得到，所以不存在點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又點(diǎn)到直線與直線的距離相等，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，又面，面，由拋物線定義知，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，所在直線為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，故選項(xiàng)正確，故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為正整數(shù)，且，則__________.〖答案〗5〖解析〗由，根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的公式，可得，解得.故〖答案〗為：.14.在空間直角坐標(biāo)系中，向量，分別為異面直線的方向向量，若所成角的余弦值為，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)所成的角為.由題意知，解得.故〖答案〗：.15.已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因?yàn)椋?，在中，，所以為等邊三角形，所以，根?jù)雙曲線定義可得，在中，由勾股定理可得，整理得，所以，解得，所以的離心率為.故〖答案〗為：.16.有甲?乙兩個(gè)魚缸，甲魚缸中有條金魚和條錦鯉，乙魚缸中有4條金魚和3條錦鯉，先從甲魚缸中隨機(jī)撈出一條魚放入乙魚缸，再?gòu)囊音~缸中隨機(jī)撈出一條魚，若從乙魚缸中撈出的是金魚的概率為，則的最小值為__________.〖答案〗4〖解析〗由全概率公式可得，整理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.近年來，直播帶貨逐漸興起，成為鄉(xiāng)村振興新動(dòng)力，為了解甲?乙兩個(gè)推銷農(nóng)產(chǎn)品的直播間的銷售情況，統(tǒng)計(jì)了兩個(gè)直播間一段時(shí)間內(nèi)觀眾下單的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到如下的表格：下單觀眾數(shù)未下單的觀眾數(shù)甲直播間12080乙直播間6080（1）分別估計(jì)甲?乙直播間的觀眾下單的概率；（2）是否有的把握認(rèn)為兩個(gè)直播間觀眾的下單意愿有差異？附.0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)得，估計(jì)甲直播間觀眾下單的概率為，估計(jì)乙直播間觀眾下單的概率為.（2）根據(jù)題意，得到的列聯(lián)表：下單的觀眾數(shù)未下單的觀眾數(shù)合計(jì)甲直播間12080200乙直播間6080140合計(jì)180160340可得，因?yàn)?，所以有把握認(rèn)為兩個(gè)直播間觀眾的下單意愿有差異.18.如圖，在四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，由題可知兩兩互相垂直，所以以所在直線為軸，過與平行的直線為軸，所在直線為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.又，為棱的中點(diǎn)，易知.所以，所以，所以.（2）因?yàn)槠矫?，平面，所?由（1）知，又，平面，所以平面，即是平面的一個(gè)法向量.又因?yàn)?，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知圓，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且.（1）求的值；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別與圓交于不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若，求直線的方程.解：（1）由題意可知圓的圓心為，半徑.因?yàn)椋?，從而，即，兩邊平方整理得，又因?yàn)椋?（2）由（1）知圓，點(diǎn)在圓上，又因?yàn)?，所以線段為圓的直徑，即直線過圓心，顯然直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，點(diǎn)到直線的距離為.根據(jù)三角形的面積公式可得.所以，解得，所以直線的方程為或.20.某商場(chǎng)為了促銷組織抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：有兩個(gè)盒子，每個(gè)盒子中均有5張卡片，其中盒的卡片中有1張是中獎(jiǎng)卡，盒的卡片中有3張是中獎(jiǎng)卡，抽獎(jiǎng)時(shí)，顧客先隨機(jī)選一個(gè)盒子，再?gòu)倪@個(gè)盒子中任意抽取3張卡片.（1）甲參加抽獎(jiǎng)，若已知甲選到了盒，記他抽到中獎(jiǎng)卡的張數(shù)為，求的分布列及期望；（2）乙參加抽獎(jiǎng)，若已知乙只抽到1張中獎(jiǎng)卡，求乙選到了盒的概率.解：（1）由題意得，隨機(jī)變量的所有可能取值為，可得，所以的分布列為123所以期望為.（2）記“乙只抽到1張中獎(jiǎng)卡”，“乙選到了A盒”，可得，則所求的概率為.21.如圖，在斜三棱柱中，，且三棱錐的體積為.（1）求三棱柱的高；（2）若平面平面為銳角，求二面角的余弦值.解：（1）設(shè)三棱柱的高為，因?yàn)椋?，又因?yàn)槿忮F的體積為，可得，解得，即三棱柱的高為.（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，由?）知，又因?yàn)闉殇J角，所以，在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，