河南省新鄉(xiāng)市2023-2024學年高二上學期1月期末測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省新鄉(xiāng)市2023-2024學年高二上學期1月期末測試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線和平行，則實數(shù)（）A.3 B.3或 C. D.或4〖答案〗A〖解析〗因為，所以，解得.故選：A.2.已知為平面的一個法向量，，則下列向量是平面的一個法向量的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗記，因為，所以，故是平面的一個法向量，故D正確.易知A，B，C中的向量均不與向量平行，所以均不能作為平面的一個法向量.故選：D.3.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，當時，，可得，當時，，因為數(shù)列為等比數(shù)列，可得，解得.故選：D.4.在直三棱柱中，若，則與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，所以，則，故與所成角的余弦值為.故選：C5.某階梯大教室的座位數(shù)從第二排開始，每排的座位比前一排多3個，已知第一排有5個座位，且該階梯大教室共有258個座位，則該階梯大教室最后一排的座位數(shù)為（）A.30 B.33 C.38 D.40〖答案〗C〖解析〗該階梯大教室的座位數(shù)按照從小到大的順序依次成等差數(shù)列，且首項為5，公差為3.設(shè)該階梯大教室共有排，則，整理得，因為，所以.故該階梯大教室最后一排的座位數(shù)為38.故選：C6.如圖所示，在空間四邊形中，點在線段上，且為線段的中點，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為點在線段上，且為線段的中點，所以.故選：B.7.在空間直角坐標系中，已知點，則點到直線的距離為（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗因為，所以，則點到直線的距離.故選：B8.如圖，橢圓的左?右焦點分別為為橢圓上一點，為軸上一點，在以為直徑的圓上，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可設(shè)，則，由對稱性知，由題可知，則，由橢圓的定義知，則，在中，，則，整理得，故的離心率為.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.的公差為1 B.的公差為2C. D.〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)的公差為d，由，，得，解得，故A正確，B錯誤；，，C，D正確.故選：ACD10.已知圓，動直線過點，下列結(jié)論正確的是（）A.當與圓相切于點時，B.點到圓上點的距離的最大值為5C.點到圓上點的距離的最小值為2D.若點在上，與圓相交于點，則〖答案〗AB〖解析〗由題意得，圓的圓心為，半徑為2，對于A項，如圖所示，則，故A項正確；對于B項，如圖所示，點到圓上點的距離的最大值為，故B項正確；對于C項，如圖所示，點到圓上點的距離的最小值為，故C項錯誤．對于D項，直線的方程為，則點到直線的距離，所以，故D項錯誤．故選：AB.11.已知正方體所在空間內(nèi)一點，且，，則（）A.B.三棱錐的體積為定值C.存在唯一的，使得平面平面D.存在唯一的，使得〖答案〗AB〖解析〗以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，,因為，故，即有，即，故點在線段上，有，則有，，則，故，故A正確；由點在線段上，且，又平面，平面，故平面，故點到平面距離不變，故三棱錐的體積為定值，故B正確；在正方體中，平面，，又平面，故，又平面，且平面，故平面，又平面，故平面平面恒成立，故C錯誤；，故，由，得，方程無解，故不存在實數(shù)，使得，故D錯誤.故選：AB.12.已知拋物線的焦點為F，過點F作互相垂直的兩條直線與拋物線E分別交于點A，B，C，D，P，Q分別為，的中點，O為坐標原點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.若F恰好為的中點，則直線的斜率為D.直線過定點〖答案〗ABD〖解析〗A：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程組得，則，，所以，同理可得，所以，故A正確；B：由選項A知，，因為P分別為的中點，所以，同理可得，所以，當且僅當時，等號成立，故B正確．C：，若F為的中點，則．因為，所以．所以，故，所以，故C錯誤．D：當直線的斜率存在時，，所以直線的方程為，整理得，所以直線過定點；當直線的斜率不存在時，，直線的方程為，過點，所以直線過定點．故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為__________.〖答案〗〖解析〗由題可知，解得，所以，故的焦距為.故〖答案〗：14.若數(shù)列滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，，所以，，，所以是周期為3的數(shù)列，故.故〖答案〗為：.15.若直線是圓的一條對稱軸，則點與該圓上任意一點的距離的最小值為__________．〖答案〗1〖解析〗由題可知，該圓的圓心為，直線過圓心，則，解得，則該圓的方程轉(zhuǎn)化為，該圓圓心為，半徑為，易知圓心與的距離為，故點與該圓上任意一點的距離的最小值為．故〖答案〗為：116.在首項為1的數(shù)列中，若存在，使得不等式成立，則的取值范圍為______．〖答案〗或.〖解析〗結(jié)合題意：，則，所以，解得或，當為偶數(shù)時，，遞增，可得的最小值為，則，遞增，可得的最小值為,則,當為奇數(shù)時，，遞減，可得的最大值為，，遞減，可得的最大值為，，綜上所述：要使得存在，使得不等式成立，只需或，所以的取值范圍為或.故〖答案〗為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，若，求正整數(shù)的最大值.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得，解得，所以（2）由（1）得，所以，所以.令，解得，即正整數(shù)的最大值為15.18.如圖，在三棱錐中，平面.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）因為平面，且平面，所以.因為，所以，則.又平面平面，所以平面.（2）以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以.設(shè)平面的法向量為，由得令，得.設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.19.已知圓過點和，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）經(jīng)過點的直線與圓相切，求的方程.解：（1）設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.20.如圖，三棱錐中，，為等邊三角形，為上的一個動點.（1）證明：平面平面；（2）當時，求二面角的余弦值.解：（1）因為為等邊三角形，所以，又，為公共邊，故≌.作，垂足為，連接，由三角形全等易知.設(shè)，則，由題意得，且所以，解得，故，故.在中，因為，所以.又因為，平面，，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設(shè)點，則，因為，所以，解得，所以，則.設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，故.又因為平面的一個法向量為，所以，二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為.21.在數(shù)列中，已知.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)，若數(shù)列與的公共項為，記由小到大構(gòu)成數(shù)列，求的前項和.解：（1）由數(shù)列中，已知，可得，即，因為，所以數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，所以，可得，即數(shù)列的通項公式為.（2）因為，可得，由數(shù)列與的公共項為，可得，所以，所以，即，所以，所以，所以.22.已知橢圓與雙曲線的焦距之比為．（1）求橢圓和