湖南省岳陽市平江縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省岳陽市平江縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.）1.直線的方程為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)直線的傾斜角為，則，，因此，.故選：C.2.圓的圓心和半徑分別是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗D〖解析〗先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.3.已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，，則等于（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由題意知，得，故選：B4.在平行六面體中，與的交點(diǎn)為．設(shè)，是下列向量中與相等的向量是（）A.B.C.D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所?故選：A.5.在中國古代，人們用圭表測(cè)量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺 C.37.5尺 D.96尺〖答案〗A〖解析〗設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A．6.橢圓與橢圓的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等〖答案〗D〖解析〗橢圓中，長半軸長，短半軸長，半焦距，長軸長是10，短軸長是6，焦距是8，離心率是，橢圓中，長半軸長，短半軸長，半焦距，長軸長是，短軸長是，焦距是8，離心率是，由于k值的變化，則在所給選項(xiàng)中，橢圓與橢圓只有焦距相等.故選：D7.如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到平面的距離等于（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、、，，，則，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，平面，設(shè)平面法向量為，，，則，取，可得，，所以，直線到平面的距離為.故選：A.8.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵是的中點(diǎn)，G是的重心，∴三點(diǎn)共線，延長交軸于點(diǎn)，則由平行于軸知，，則,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則，∴橢圓的離心率為．故選：A﹒二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列單調(diào)遞增，且，則（）A.公差的取值范圍是 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意得,,，所以，解得，所以，故A錯(cuò)誤；由，故B正確；由，故，C選項(xiàng)正確；由等差數(shù)列性質(zhì)，，故D正確.故選：BCD10.下列說法中，正確的有（）A.過點(diǎn)且在軸，軸截距相等直線方程為B.直線在軸的截距是2C.直線的傾斜角為30°D.過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為〖答案〗CD〖解析〗A選項(xiàng)，直線過點(diǎn)且在軸，軸截距相等，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，直線在軸上的截距是，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，直線的斜率為，傾斜角為，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為，D選項(xiàng)正確.故選：CD11.對(duì)于非零空間向量，，，現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是（）A.若，則，的夾角是銳角B.若，，則C.若，則D.若，，，則，，可以作為空間中的一組基底〖答案〗BD〖解析〗對(duì)A選項(xiàng)，若共線且同方向，則，但夾角為，故A錯(cuò)誤，對(duì)B選項(xiàng)，，故，故B正確，對(duì)C選項(xiàng)，根據(jù)向量數(shù)量積定義知,時(shí),不一定成立,選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于D，假設(shè)矛盾所以向量不共面，則可以作為空間中的一組基底,故D正確.故選：BD.12.已知拋物線與圓交于兩點(diǎn)，且，直線過的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A.若直線的斜率為，則B.的最小值為C.若以為直徑的圓與軸的公共點(diǎn)為，則的橫坐標(biāo)為D.若點(diǎn)，則周長的最小值為〖答案〗ABC〖解析〗由題意得點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以C：，則，對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)直線：，與聯(lián)立得，設(shè)，，所以，，所以，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由拋物線的定義，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交軸于，取的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則，是梯形的中位線，由拋物線的定義可得，所以，所以以為直徑的圓與軸相切，所以為圓與軸的切點(diǎn)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又點(diǎn)在拋物線上，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，所以的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)取等號(hào)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選:ABC．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.數(shù)列的前項(xiàng)和，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.不滿足.所以，.故〖答案〗為：.14.過雙曲線的左頂點(diǎn)，且與直線平行的直線方程為_________.〖答案〗〖解析〗由雙曲線方程知：其左頂點(diǎn)為，根據(jù)直線平行關(guān)系知：所求直線的斜率為2，所以所求直線為，則.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)在處有極大值，則______.〖答案〗〖解析〗由已知，可得，令，解得或，由可得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不是極大值點(diǎn)，舍去；由可得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)．綜上．故〖答案〗為：．16.正四棱錐，底面四邊形為邊長為2的正方形，，其內(nèi)切球?yàn)榍騁，平面過與棱，分別交于點(diǎn)M，N，且與平面所成二面角為30°，則平面截球G所得的圖形的面積為___________.〖答案〗〖解析〗如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)椋?，所以，所以，，則內(nèi)切球的球心在上，設(shè)，內(nèi)切球的半徑為，，由等體積法可得，解得，則，因?yàn)槠矫孢^，設(shè)平面的法向量為，面的法向量為，設(shè)面與面所成二面角為，則，即，解得或（舍去），所以，則圓心到平面的距離，所以截球所得圖形的面積為；故〖答案〗為：四、解答題（本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.解：（1），若，則，即，解得；（2），若，則，即，化簡可得，解得或.18.已知圓，直線．（1）求證：直線l恒過定點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長．解：（1）依題意直線，整理得，由解得，所以恒過定點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，直線，圓的圓心為，半徑為，到直線的距離為，所以直線l被圓C截得的弦長為.19.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列．（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n．解：（1）由題意，數(shù)列滿足，可得，可得，即，又由，所以，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，所以設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，若，即，因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以滿足的最大整數(shù)的值為.20.如圖，在四棱錐中，平面，，．（1）判斷直線與平面的位置關(guān)系，并證明；（2）求平面與平面所成二面角余弦值的絕對(duì)值．解：（1）平面．如圖，延長、交于，因?yàn)?，所以三角形為正三角形，因?yàn)椋詾槿切蔚闹形痪€，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作射線垂直于，因?yàn)槠矫?，所以可以為坐?biāo)原點(diǎn)，射線、，分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知條件得，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則不妨設(shè)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則不妨設(shè)，所以．21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求證：．解：（1）當(dāng)，，，所以，而，切線方程為，即所求切線方程為；（2）得定義域?yàn)?，，設(shè)，則，故是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以存在，使得①，且時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，故②，由①式得③，將①③兩式代入②式，結(jié)合得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，結(jié)合②式可知，此時(shí)，故恒成立．22.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線