江蘇省揚(yáng)州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚(yáng)州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故傾斜角滿足為，，故.故選：C2.在等比數(shù)列中，，，則（）A.14 B.16 C.28 D.32〖答案〗D〖解析〗由等比數(shù)列性質(zhì)可得，即，解得.故選：D3.某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，位移S（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系為，則當(dāng)時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（）A.10m/s B.11m/s C.13m/s D.28m/s〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，即?dāng)時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為10m/s.故選：A4.已知雙曲線一條漸近線方程為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A B. C.3 D.9〖答案〗B〖解析〗由題意雙曲線的一條漸近線方程為，所以，解得.故選：B.5.已知k為實(shí)數(shù)，則直線與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離 C.相切D.無法確定〖答案〗A〖解析〗易知恒過定點(diǎn)，且易知點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)，所以直線與圓相交；故選：A6.已知M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則該點(diǎn)到橢圓短軸端點(diǎn)的距離的最大值為（）A.2 B. C.D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，由橢圓，不妨取橢圓短軸一端點(diǎn)B，則，由可得，則，由知，當(dāng)時(shí)，.故選：C7.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集為（）A. B. C.D.〖答案〗A〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，即，解得.所以，不等式的解集為.故選：A.8.在中，已知D為邊BC上一點(diǎn)，，．若的最大值為2，則常數(shù)的值為（）A. B. C.D.〖答案〗D〖解析〗令且，即，則外接圓半徑為，若，的外接圓方程為，所以，令圓心為，即點(diǎn)在圓被分割的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，如下圖，要使的最大，只需與圓相切，由上易知，則，而，由圓的性質(zhì)有，中，，顯然，由，則，所以，可得（負(fù)值舍），故，而，所以，整理得，則.故選：D二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．）9.已知為兩條不重合的直線，則下列說法中正確的有（）A.若斜率相等，則平行B.若平行，則的斜率相等C.若的斜率乘積等于，則垂直D.若垂直，則的斜率乘積等于．〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可知若斜率相等，則平行；若平行，當(dāng)都與軸平行時(shí)，的斜率不存在，即可得A正確，B錯(cuò)誤；易知若的斜率乘積等于，則垂直；若垂直,當(dāng)與軸平行，與軸平行時(shí)，直線的斜率為，的斜率不存在，即可得C正確，D錯(cuò)誤；故選：AC10.橢圓與雙曲線（）A.有相同的焦點(diǎn) B.有相等的焦距C.有相同的對(duì)稱中心． D.可能存在相同的頂點(diǎn)〖答案〗BCD〖解析〗由橢圓方程可知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦距為，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)為；由雙曲線方程可知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因此兩曲線焦點(diǎn)不同，即A錯(cuò)誤；焦距為，可得B正確；雙曲線也關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，即C正確；當(dāng)時(shí)，雙曲線的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即D正確；故選：BCD11.已知函數(shù)，下列說法中正確的有（）A.函數(shù)的極大值為B.函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為C.D.若曲線與曲線無交點(diǎn)，則的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗易知函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令可得，當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞減，對(duì)于A，由單調(diào)性可得在處取得極大值，即A正確；對(duì)于B，易知切線斜率為，所以切線方程為，即B正確；對(duì)于C，利用的單調(diào)性可得，即，也即，可得，所以，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若曲線與曲線無交點(diǎn)，即方程沒有實(shí)數(shù)根，也即無解；令，則，若，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減；不妨取，則，易知，，此時(shí)在上有解，不合題意；若，令，解得；所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在時(shí)單調(diào)遞增；此時(shí)在處取得極小值，也是最小值；即，依題意可得，所以即可；解得，即的取值范圍是，所以D正確.故選：ABD12.已知無窮數(shù)列，．性質(zhì)，，；性質(zhì)，，，下列說法中正確的有（）A.若，則具有性質(zhì)sB.若，則具有性質(zhì)tC.若具有性質(zhì)s，則D.若等比數(shù)列既滿足性質(zhì)s又滿足性質(zhì)t，則其公比的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，?duì)，，即，所以不具有性質(zhì)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，對(duì)，，，，故B正確；對(duì)于C，若具有性質(zhì)，令，則，即，，，又，所以，，故C正確；對(duì)于D，是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，又，，若滿足性質(zhì)，由選項(xiàng)C得，即，，，由，，得，當(dāng)時(shí)，得，即，對(duì)，又，，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，，解得，，綜上，若滿足性質(zhì)，則.若滿足性質(zhì)，對(duì)，，，可得，即，令，則，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由滿足性質(zhì)，，成立，所以等比數(shù)列既滿足性質(zhì)s又滿足性質(zhì)t，則其公比的取值范圍為.故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題）13.寫出過點(diǎn)的被圓所截的弦長(zhǎng)為的直線方程______．（寫出一條直線即可）〖答案〗（或，〖答案〗不唯一）〖解析〗當(dāng)滿足題意的直線斜率不存在即直線方程為時(shí)，圓心到該直線的距離為，而圓的半徑為，此時(shí)該直線被圓所截的弦長(zhǎng)為，故直線方程滿足題意；當(dāng)滿足題意的直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線方程為，圓心到該直線的距離為，而圓的半徑為，若該直線被圓所截的弦長(zhǎng)為，則有，解得，即此時(shí)滿足題意的直線方程為.故〖答案〗為：（或，〖答案〗不唯一）.14.曲率是衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)定義：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．已知，則曲線在點(diǎn)處的曲率為______．〖答案〗2〖解析〗，，故，，則.故〖答案〗為：.15.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳析九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差會(huì)成等差數(shù)列．在楊輝之后，對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究一般稱為“垛積術(shù)”"，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前5項(xiàng)分別為1，4，10，20，35，則該數(shù)列的第6項(xiàng)為______．〖答案〗56〖解析〗由題意可知，所給數(shù)列為高階等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的第6項(xiàng)為，根據(jù)所給定義：用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)新數(shù)列，再利用新數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)也得到一個(gè)新數(shù)列，即可得到一個(gè)首相為3公差為1的等差數(shù)列，計(jì)算規(guī)律如下所示：則需滿足，解得.該數(shù)列的第6項(xiàng)為56.故〖答案〗為：5616.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過作斜率為的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過，則橢圓C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗由題意直線的斜率，且過點(diǎn)，不妨設(shè)，所以它的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，化簡(jiǎn)并整理得，所以，因?yàn)橐訟B為直徑的圓過，所以，所以，即，解得.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．由可得，．則有，．所以．所以．所以，．（2），令；所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為,即可得數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.已知函數(shù)在處取得極小值5．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．解：（1），因?yàn)樵谔幦O小值5，所以，得，此時(shí)所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以在時(shí)取極小值，符合題意所以，．又，所以．（2），所以列表如下：0123001↗極大值6↘極小值5↗10由于，故時(shí)，．19.已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且．設(shè)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．解：（1）在數(shù)列中，①，②，由①-②得：，即，，所以，即，在①中令，得，即，而，故．則，即，又，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2），，又因?yàn)?，所以，所?20.已知點(diǎn)，是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）已知、是直線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．若恒為銳角，求線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍．解：（1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，即，整理可得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）設(shè)，則，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒為銳角，等價(jià)于以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓外離．且圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以，解得或，所以線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為．21.已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線C開口向右，準(zhǔn)線l上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PA交拋物線C于另一點(diǎn)M，直線QA交拋物線C于另一點(diǎn)N，證明：直線MN過定點(diǎn)．解：（1）設(shè)拋物線C標(biāo)準(zhǔn)方程為或，將A坐標(biāo)代入，得，所以；將A坐標(biāo)代入，得，所以，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（2）方法1：由拋物線C開口向右得標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線，設(shè)，，則，即，由，得，所以，所以，，所以，用代m，得，則，所以，化簡(jiǎn)得所以，直線MN過定點(diǎn)．方法2：由拋物線C開口向右得標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線，直線MN不垂直于y軸，設(shè)，，，由得，所以，，所以，所以，令，則，同理．因?yàn)镻，Q關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，則．所以，直線MN過定點(diǎn)．22.已知函數(shù)．（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若，，求不等式的解集；（2）若，證明：對(duì)任意，成立；（3）若，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．解：（1）當(dāng)，時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，由可得，故不等式的解集為．（2）當(dāng)時(shí)，令，則，令，則對(duì)任意恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，對(duì)任意，成立．（3）當(dāng)時(shí)，，其中，，①當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以僅有個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，，所以在上單調(diào)遞增，令，則，，對(duì)任意的恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以存在唯一，使得，即