山東省部分名校2024屆高三下學(xué)期2月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省部分名校2024屆高三下學(xué)期2月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可得或因此．故選：D．2.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，所以，即虛部為．故選：A．3.若的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是15，則（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)為則時(shí)常數(shù)項(xiàng)為．故選：C．4.已知在中，，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，所以．故選：D．5.橢圓與雙曲線的離心率分別為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：C6.數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，設(shè)甲：數(shù)列為等比數(shù)列；乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，即，解得且，即且．因此充分性成立；若，當(dāng)且時(shí)，，甲不成立，故必要性不成立．故選：A．7.圓和圓的公切線方程是（）A. B.或C. D.或〖答案〗A〖解析〗，圓心，半徑，，圓心，半徑，因?yàn)?，所以兩圓相內(nèi)切，公共切線只有一條，因?yàn)閳A心連線與切線相互垂直，，所以切線斜率為，由方程組解得，故圓與圓的切點(diǎn)坐標(biāo)為，故公切線方程為，即．故選：A.8.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，由，．故選：C二、選擇題9.已知一組樣本數(shù)據(jù)滿足，下列說(shuō)法正確的是（）A.樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為B.樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于120C.若樣本平均數(shù)恰是該組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)，去掉這個(gè)數(shù)，則樣本數(shù)據(jù)的方差不變D.若數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A中，由，可得第80百分位數(shù)為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，則，所以,故這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于，所以B正確；對(duì)于C中，去掉等平均數(shù)的數(shù)據(jù)，n變?yōu)?，平方和不變，分母變小，所以方差變大，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，向右邊“拖尾”，大致如圖所示，由于“右拖”時(shí)最高峰偏左，中位數(shù)靠近高峰處，平均數(shù)靠近中點(diǎn)處，此時(shí)平均數(shù)大于中位數(shù)，同理，向“左拖”時(shí)最高峰偏右，那么平均數(shù)小于中位數(shù)，所以D正確．故選：BD．10.函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.關(guān)于對(duì)稱 C. D.減函數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗由對(duì)于任意實(shí)數(shù)，令，則，即,故A正確；令，則，即，故B正確；令，，則，即，故C正確；對(duì)于任意，則設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則，即，所以單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M為平面所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.若M在線段上，則的最小值為B.過(guò)M點(diǎn)在平面內(nèi)一定可以作無(wú)數(shù)條直線與垂直C.若平面，則平面截正方體的截面的形狀可能是正六邊形D.若與所成的角為，則點(diǎn)M的軌跡為雙曲線〖答案〗ACD〖解析〗選項(xiàng)A：將平面展開(kāi)到與同一平面如圖所示，連接交于M,此時(shí)為最小值，計(jì)算可得，故A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)M點(diǎn)在D處時(shí)，因?yàn)槠矫?，所以過(guò)M點(diǎn)可作無(wú)數(shù)條直線與垂直，當(dāng)M點(diǎn)在A處時(shí)，過(guò)M點(diǎn)只能作一條直線,故B不正確；選項(xiàng)C：當(dāng)M與B重合時(shí)，平面，分別取的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，P，Q，則六邊形是正六邊形，且此正六邊形所在平面與平面平行，所以當(dāng)平面為平面時(shí)滿足題意，故C正確；選項(xiàng)D：以D為原點(diǎn)，分別以為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,得，，整理得為雙曲線方程，故D正確．故選：ACD．三、填空題12.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)_________．〖答案〗1〖解析〗由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，得：，其中，，得：．故〖答案〗為：1．13.已知函數(shù)與相切，則____________．〖答案〗〖解析〗顯然該函數(shù)的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，則，由題知，解得，舍去，所以切點(diǎn)為，代入直線方程得．故〖答案〗為：．14.拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，P是橢圓上的任一點(diǎn)，I是的內(nèi)心,交y軸于M,且，點(diǎn)是拋物線上在第一象限的點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)為，若，則____________．〖答案〗〖解析〗焦點(diǎn)在軸上，故橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故，I是的內(nèi)心，連接，則平分，在中，由正弦定理得①，在，由正弦定理得②，其中，故，又，式子①與②相除得，故，同理可得，，由橢圓定義可知，，，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線方程為，，故在處的切線方程為，即，又，故，所以在點(diǎn)的切線為：，令，又，即，所以是首項(xiàng)16，公比的等比數(shù)列，．故〖答案〗為：．四、解答題15.某小區(qū)在2024年的元旦舉辦了聯(lián)歡會(huì)，現(xiàn)場(chǎng)來(lái)了1000位居民．聯(lián)歡會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，物業(yè)公司從現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)抽取了20位幸運(yùn)居民進(jìn)入摸獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，這20位幸運(yùn)居民的年齡用隨機(jī)變量X表示，且．（1）請(qǐng)你估計(jì)現(xiàn)場(chǎng)年齡不低于60歲的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；（2）獎(jiǎng)品分為一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)，已知每個(gè)人摸到一等獎(jiǎng)的概率為40%，摸到二等獎(jiǎng)的概率為60%，每個(gè)人摸獎(jiǎng)相互獨(dú)立，設(shè)恰好有個(gè)人摸到一等獎(jiǎng)的概率為，求當(dāng)取得最大值時(shí)的值．附：若，則．解：（1）因?yàn)?，所以，則，所以現(xiàn)場(chǎng)年齡不低于60歲的人數(shù)大約為(人)．（2）依題意可得，，設(shè)，所以，所以所以，因?yàn)檎麛?shù)，所以，所以當(dāng)取得最大值時(shí)的值為8．16.如圖，在圓錐中,若軸截面是正三角形，C為底面圓周上一點(diǎn),F為線段上一點(diǎn)，D（不與S重合）為母線上一點(diǎn),過(guò)D作垂直底面于E,連接，且．（1）求證：平面平面；（2）若為正三角形，且F為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)榇怪钡酌嬗诖怪钡酌嬗贠，所以，同理平面，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面平面．?）解：不妨設(shè)圓錐的底面半徑為2，因?yàn)檩S截面是正三角形，所以，如圖，設(shè)平面與底面圓周交于G，因?yàn)闉檎切危褾為的中點(diǎn)，所以，所以E為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，如圖，在底面圓周上取一點(diǎn)H，使得，以直線為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，由已知得，，，設(shè)的中點(diǎn)為M，則平面的法向量為，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，，令，則，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．17.已知．（1）若在恒成立，求a的范圍；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)s，t，求的取值范圍．（1）解：由函數(shù)，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ丛诤愠闪?，令，可得，令，可得，所以在單調(diào)遞減，所以，所以恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，可得是的兩不等正根，即是的兩不等正根，則滿足，解得，則，所以的取值范圍為．18.已知圓，與x軸不重合的直線l過(guò)點(diǎn)，且與圓交于C、D兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交線段于點(diǎn)M．（1）判斷與圓的半徑的大小關(guān)系，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；（2）已知點(diǎn)，直線m過(guò)點(diǎn)，與曲線E交于兩點(diǎn)N、R（點(diǎn)N、R位于直線異側(cè)），求四邊形的面積的取值范圍．解：（1）圓，，，，，，∴點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為．（2）設(shè)直線，由題意知且，設(shè)，，由，則，所以，令且，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，；，且，，且．19.在無(wú)窮數(shù)列中，令，若，，則稱對(duì)前項(xiàng)之積是封閉的．（1）試判斷：任意一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列對(duì)前項(xiàng)之積是否是封閉？（2）設(shè)是無(wú)窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比為．若對(duì)前項(xiàng)之積是封閉的，求出的兩個(gè)值；（3）證明：對(duì)任意的無(wú)窮等比數(shù)列，總存在兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列和，使得，其中和對(duì)前項(xiàng)之積都是封閉的．（1）解：不是的，理由如下：如等差數(shù)列，所以不是任意一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列對(duì)前項(xiàng)之積是封閉的．（2）解：是等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比，所以，所以，由已知得，對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得成立，即對(duì)任意正整數(shù)