四川省樂(lè)山市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省樂(lè)山市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)，座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，認(rèn)真核準(zhǔn)準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選〖答案〗的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚﹒4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.一個(gè)幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個(gè)幾何體是（）A.圓柱 B.圓錐 C.圓臺(tái) D.球〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A：圓柱的軸截面是矩形，故A不符合題意；對(duì)于B：由于圓錐的軸截面是一個(gè)等腰三角形，故B不符合題意；對(duì)于C，圓臺(tái)軸截面是等腰梯形，故C不符合題意；對(duì)于D：用任意的平面去截球，得到的截面均為圓，故D符合題意．故選：D．2.已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，則直線l的斜率是（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗直線l的斜率.故選：C.3.工人師傅在檢測(cè)椅子的四個(gè)“腳”是否在同一個(gè)平面上時(shí)，只需連接對(duì)“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（）A.兩條相交直線確定一個(gè)平面B.兩條平行直線確定一個(gè)平面C.四點(diǎn)確定一個(gè)平面D.直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面〖答案〗A〖解析〗由于連接對(duì)“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格，所以工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是“兩條相交直線確定一個(gè)平面”.故選：A4.已知圓C的圓心在x軸上且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閳AC的圓心在x軸上，故設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,又經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.故選：A.5.如圖，正方形是用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的一個(gè)平面四邊形ABCD的直觀圖，若，則四邊形ABCD周長(zhǎng)為（）A. B.4 C. D.8〖答案〗D〖解析〗根據(jù)斜二測(cè)畫法特點(diǎn)可知，所以為等腰直角三角形，所以，所以在原始圖形中，根據(jù)勾股定理可得所以四邊形的周長(zhǎng)為.故選：D6.已知直線：，直線過(guò)點(diǎn)，且，則直線與直線間的距離是（）A. B.2 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗由題意知直線：，直線過(guò)點(diǎn)，且，設(shè)，代入可得，故的方程為：，故直線與直線間的距離是，故選：B7.已知正方體棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)與直線垂直的截面與正方體的表面的交線.如圖所示：在正方體中，，又平面且，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?又在正方體中，，又平面且，所以平面，因?yàn)槠矫妫?又因?yàn)?，由平面且，所以平?于是點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為不包含點(diǎn)的的周長(zhǎng)，即周長(zhǎng)等于.故選：D.8.已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，與是圓C：的兩條切線，M、N為切點(diǎn)，則四邊形的最小面積為（）A.4 B. C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗由題意知，圓C：的圓心,半徑，因?yàn)榕c是圓C：的兩條切線，所以，,則，當(dāng)最小時(shí)，也最小,又點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，故圓心到直線的距離，為的最小值，此時(shí)，則此時(shí)四邊形的面積也最小，最小值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若兩個(gè)非零向量，與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，共線B.空間的基底有且僅有一個(gè)C.兩兩垂直的三個(gè)非零向量可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底D.若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的向量必須是不共面的3個(gè)向量，由于非零向量，與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，即向量，與任何一個(gè)向量均共面，則，必共線，A正確；對(duì)于B，空間的基底不唯一，不共面的3個(gè)向量，均可作為空間的一組基底，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于兩兩垂直的三個(gè)非零向量不共面，故可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，C正確；對(duì)于D，由于是空間的一個(gè)基底，故不共面，而與共面，故與不共面，且不共線，故也是空間的一個(gè)基底，D正確，故選：ACD10.已知直線l：，圓：，與圓：．則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l與圓的位置關(guān)系是相切 B.直線l與圓的位置關(guān)系是相離C.圓與圓的公共弦長(zhǎng)是 D.圓上的點(diǎn)到直線l的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)閳A：，所以圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，因?yàn)?，所以直線l與圓的位置關(guān)系是相交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)閳A：，所以圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，因?yàn)?，所以直線l與圓的位置關(guān)系是相離，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：聯(lián)立，相減得公共弦所在得直線方程為：，所以圓心到的距離為，所以公共弦長(zhǎng)為，故選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且，所以圓上的點(diǎn)到直線l的距離為1的點(diǎn)有4個(gè)（在直線l的兩側(cè)各2個(gè)）,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;故選：BC.11.如圖，在正方體中，，點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.三棱錐的體積為定值C.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，平面平面D.當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正切值為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，連接，假設(shè)，又，平面，平面，，可得平面，由于平面，平面，進(jìn)而，事實(shí)上，只有當(dāng)和重合時(shí)才成立，得不恒成立；故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)槠矫嫫矫?，根?jù)面面平行的性質(zhì)，得到平面，又點(diǎn)在線段上，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，同時(shí)的面積是定值，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故B正確；對(duì)于C，連接、和，在正方體中，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，同理可得平面又平面，平面，平面，，所以平面平面，所以?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得平面平面成立，故C正確；對(duì)于D，取棱中點(diǎn)為，連接和，由于，可得點(diǎn)即為棱中點(diǎn)，同時(shí)為棱的中點(diǎn)，可得，且，同時(shí)平面，即為直線與平面所成角，，故D正確.故選：BCD..12.拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力．設(shè)拋物線（），弦過(guò)焦點(diǎn)，為其阿基米德三角形，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.點(diǎn)在拋物線（）的準(zhǔn)線上B.存在點(diǎn)，使得C.D.面積的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線為，聯(lián)立得，由，可得，同理可得過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，所以處切線方程分別為，聯(lián)立可得，故A正確；又即，，所以，，所以，，即，C正確；又，所以，，所以，B錯(cuò)；由上述知，，又因?yàn)橹本€斜率為，所以，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則面積，當(dāng)軸時(shí)，最短（最短為），也最短（最短為），此時(shí)面積取最小值，D正確.故選：ACD三、填空題：本大題共4小題．13.已知向量，，若，則___________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，解?故〖答案〗為：.14.直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，則直線l的一般方程是______________．〖答案〗〖解析〗直線的斜率為，設(shè)直線的斜率，則，即.由直線的點(diǎn)斜式方程可得：，即.故〖答案〗為：.15.如圖，圓O的半徑為2，A是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，且，B是圓外一個(gè)定點(diǎn)，且，P是圓O上任意一點(diǎn)．線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)Q，線段的垂直平分線和半徑OP相交于點(diǎn)R，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q和點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)軌跡分別是橢圓和雙曲線，設(shè)它們的離心率分別為和，則___________．〖答案〗〖解析〗連接，因?yàn)榫€段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)Q，所以,即，所以點(diǎn)Q的軌跡是以為焦點(diǎn)，2為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距為1的橢圓，所以該橢圓的離心率為.因?yàn)榫€段BP的垂直平分線和半徑OP相交于點(diǎn)R，所以,即，所以點(diǎn)R的軌跡是以為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)，焦距為4的雙曲線，所以該雙曲線的離心率為.所以.故〖答案〗為：.16.在多面體PABCQ中，，且QA，QB，QC兩兩垂直，則該多面體的外接球半徑為_(kāi)__________，內(nèi)切球半徑為_(kāi)__________．〖答案〗①②〖解析〗由，且QA，QB，QC兩兩垂直可得：，又因?yàn)椋栽摱嗝骟wPABCQ可看作是棱長(zhǎng)為的正方體一部分，如圖所示：則該多面體的外接球半徑與棱長(zhǎng)為正方體外接球的半徑相同，故外接球的半徑為.設(shè)的中心為，連接，內(nèi)切球半徑為.由及正方體的性質(zhì)，可得：平面.由可得：.由可得：，，.由且QA，QB，QC兩兩垂直可得:，.因?yàn)?，所以，即，解?故〖答案〗為：；.四、解答題：本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟．17.已知斜棱柱中，，．設(shè)，，．（1）用基底，，表示向量，并求；（2）求向量與向量夾角的余弦值．解：（1）．∴．（2）．∴．∴．∴．18.已知、分別是雙曲線C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線的一條漸近線與直線恰好平行．（1）求雙曲線C的離心率；（2）若，M為雙曲線上一點(diǎn)，且，求的值﹒解：（1）根據(jù)題意，雙曲線的漸近線為，因?yàn)殡p曲線一條漸近線與直線平行，所以，即．∵，∴．∴．（2）由得，即．由（1）知，，得．由雙曲線的定義可得：，解得或．∵，∴．19.已知四棱錐中，⊥平面，底面是平行四邊形，且，，，，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)B到平面的距離．解：（1）取中點(diǎn)G，連結(jié)．∵E，G分別是的中點(diǎn)，∴且．∵F是中點(diǎn)，，∴且．∴為平行四邊形．∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）∵E是中點(diǎn)，平面∴點(diǎn)E到平面的距離為．∵，，，∴，且,即．∴．∵為平行四邊形，∴．∵，∴，即．∴．∵，∴．∴點(diǎn)B到平面的距離．20.已知拋物線M：，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B為拋物線上異于O的兩點(diǎn)．（1）若，P在拋物線上，求的最小值；（2）若．求證：直線AB必過(guò)定點(diǎn)．解：（1）設(shè)，∵P在拋物線上，∴．∴．∴當(dāng)，即時(shí)，的最小值為．（2）顯然直線斜率不為零，設(shè)直線AB的方程為，，如圖：聯(lián)立得，有兩個(gè)交點(diǎn)故．∴，．∵，∴．∴，得，∴或（舍）．∴直線AB過(guò)定點(diǎn)．21.已知直棱柱中，，，，，D為線段上任一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為，中點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面的二面角的正弦值最小，并求出最小值．解：（1）∵，，，∴．∵．∴．建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，．∴，．∴，∴．（2）∵，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，∴，即，令，則，，∴．∵平面，∴取平面的一個(gè)法向量為，∴，又，，∴當(dāng)時(shí)，平面與平面所成的二面角的正弦值最小，最小值為.22.已知橢圓T以坐標(biāo)原點(diǎn)O為對(duì)稱中心，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且過(guò)，．（1）求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A、B為橢圓