2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷 新高考I卷

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷新高考Ⅰ卷學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1.若集合，，則()A. B. C. D.2.若，則()A.-2 B.-1 C.1 D.23.在中，點(diǎn)D在邊AB上，，記，，則()A. B. C. D.4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為()A. B. C. D.5.從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()A. B. C. D.6.記函數(shù)的最小正周期為T.若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則()A.1 B. C. D.37.設(shè)，，，則()A. B. C. D.8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為36π，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題9.已知正方體，則()A.直線與所成的角為90° B.直線與所成的角為90°C.直線與平面所成的角為45° D.直線與平面ABCD所成的角為45°10.已知函數(shù)，則()A.有兩個(gè)極值點(diǎn) B.有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則()A.C的準(zhǔn)線為 B.直線AB與C相切C. D.12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記.若，均為偶函數(shù)，則()A. B. C. D.三、填空題13.的展開式中的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）.14.寫出與圓和都相切的一條直線的方程___________.15.若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________.16.已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為.過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長是__________.四、解答題17.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）證明：.18.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.

（1）若，求B；

（2）求的最小值.19.如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為.

（1）求A到平面的距離；

（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值.20.一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值.

附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821.已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0.（1）求l的斜率；（2）若，求的面積.22.已知函數(shù)和有相同的最小值.

（1）求a；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

參考答案1.答案：D解析：，，，故選D.2.答案：D解析：，，故選D.3.答案：B解析：，，故選B.4.答案：C解析：依據(jù)棱臺的體積公式：，故選C.5.答案：D解析：由題可知，總的取法有種，不互質(zhì)的數(shù)對情況有：兩個(gè)偶數(shù)，3和6.所以兩個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為.故選D.6.答案：D解析：由題可知：，所以.又因?yàn)榈膱D像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，且.所以，所以.所以.所以，故選D.7.答案：C解析：先比較a和b的大?。?令，即證成立.再比較a和c的大?。?，令，，則.則.令，則，所以，成立.所以在上單調(diào)遞增，.所以，所以，故選C.8.答案：C解析：方法（1）：設(shè)正四棱錐的高為，底面邊長為a，球心為O，由已知易得球半徑為，所以，因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)取到），當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是.所以選C.方法（2）：由（1），，求導(dǎo)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，所以選C.9.答案：ABD解析：如圖，因?yàn)椋?，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)橹本€平面，所以直線，故B正確；對于選項(xiàng)C：連接與交于點(diǎn)，則即為直線與平面所成的角，，所以，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：直線與平面ABCD所成的角即為，所以D正確.綜合得選：ABD.10.答案：AC解析：得：，或；，所以在，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)（為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)），故A正確；又，，所以僅有1個(gè)零點(diǎn)（如圖所示），故B錯(cuò)；又，所以關(guān)于對稱，故C正確；對于D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)，在P處的切線為，即，若是其切線，則，所以D錯(cuò).故選AC.11.答案：BCD解析：點(diǎn)在拋物線上，即，所以準(zhǔn)線為，所以A錯(cuò)；直線代入得：，所以AB與C相切，故B正確.設(shè)直線，，，則，或，此時(shí)，，，故C正確；，故D正確.故選BCD.12.答案：BC解析：因?yàn)楹瘮?shù)，均為偶函數(shù)，所以，，從而函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)關(guān)于對稱，又因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于軸對稱，所以原函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故函數(shù)的周期，，考慮函數(shù)，其中C為常數(shù)，所以，即，，故選BC.13.答案：-28解析：因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)，令，則的系數(shù)為，令，則的系數(shù)為，所以的系數(shù)為，故填-28.14.答案：，，.（填一條即可）解析：解析1：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，.故①，.于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，.故填，，.（填一條即可）解析2：由圖像可知，共有三條直線符合條件，是最顯然的.易知直線AB的方程為，故直線AB與兩圓的公共點(diǎn)為，過該點(diǎn)的切線的斜率為，于是切線方程為，即.直線AB與直線的交點(diǎn)為.設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，解得從而該切線的方程為.故填，，.（填一條即可）15.答案：解析：，設(shè)切點(diǎn)為，故，即.由題意可得，方程在上有兩個(gè)不同的根.化簡得，，，解得或，顯然此時(shí)0不是根，故滿足題意.故填.16.答案：13解析：由橢圓離心率為，可得，，則，，，，易得，，解得交點(diǎn)，故直線DE垂直平分，即，，又，，所以的周長.故填：13.17.答案：（1），（2）見解析解析：（1）；；作差得：；，又也符合，因此.（2），，得證.18.答案：（1）（2）解析：（1），且，，，，又，，.又，，.（2）由正弦定理，得，，令，則，，在時(shí)遞減，在時(shí)遞增，因此時(shí)，.19.答案：（1）（2）解析：（1）設(shè)A到平面的距離為d，由題知，解得，所以A到平面的距離為.（2）解析一：（幾何法）過A作于E，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，，所?由（1）知，，結(jié)合的面積為可得，所以，進(jìn)而作于F，連AF，所以為二面角的平面角的補(bǔ)角，，，所以二面角的正弦值為.解析二：（坐標(biāo)法）過A作于E，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，，所?由（1）知，，結(jié)合的面積為可得，如圖以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)平面ABD的法向量為，平面ACD的法向量為，設(shè)，，取，同理可求得，，所以二面角的正弦值為.20.答案：（1）有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異（2）（?。┮娊馕觯áⅲ?解析：（1）得到2×2聯(lián)表如下：不夠良好良好總計(jì)病例組4060100對照組1090100總計(jì)50150200，有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）（?。?，，.，，，，，，，.（ⅱ）由（?。┲猂的估計(jì)值為6.21.答案：（1）-1（2）解析：（1）由在雙曲線上可知，，可得.設(shè)，，設(shè)直線，聯(lián)立，得，滿足，，即，，，，即可得，，計(jì)算化簡為，當(dāng)時(shí)直線過點(diǎn)故不符條件，即.（2）由可知，，即，設(shè)，聯(lián)立，可得，，故，即，同理可得：，，，則.22.答案：（1）（2）見解析解析：（1）由題知，，①當(dāng)時(shí)，，，則兩函數(shù)均無最小值，不符題意；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞