北京市朝陽區(qū)2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（含解析）

北京市朝陽區(qū)2022?2023學(xué)年度高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

本試卷分為選擇題（共50分）和非選擇題（共100分）兩部分

考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交

回.

第一部分（選擇題共50分）

一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng).

1.計(jì)算（2D?=（）

A.-1B.-2C.-4D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算即可.

【詳解】（2i）2=4i2=-4.

故選：C.

2.已知43,2）,5（-5,-1）,若AC=C8,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得C是線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.

【詳解】因?yàn)锳C=CB，所以C是線段A3的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（彳,與），即（T，g），

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為

故選:A.

3.在如圖所示的正方體ABQD-AgGA中，異面直線AG與BD所成角的大小為（）

C.60°D.45°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)異面直線所成角的性質(zhì)，結(jié)合正方體線線關(guān)系即可求解.

【詳解】如圖，連接片已

在正方體ABC。一4月。。|中，因?yàn)?51〃?！?gt;1，5月

所以四邊形為平行四邊形，所以BQJ/BD

又在正方形A與G。中BR，4G,所以8。J.A?

則異面直線4G與8。所成角的大小為90°.

故選：B.

4.從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列事件是對(duì)立事件的是（）

A.“都是白球”與“至少有一個(gè)白球”B.“恰有一個(gè)白球”與“都是紅球”

C.“都是白球”與“都是紅球”D.“至少有一個(gè)白球”與“都是紅球”

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得總事件分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，根據(jù)互斥事件以及對(duì)立事

件的定義再對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析即可求解.

【詳解】從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，

抽取小球的情況分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，

選項(xiàng)A,“至少有一個(gè)白球”包括（紅，白），（白，白），故既不互斥也不對(duì)立，A錯(cuò)誤，

選項(xiàng)B：“恰有一個(gè)白球”表示的是（紅，白），與“都是紅球”互斥但不對(duì)立，故B錯(cuò)誤，

選項(xiàng)C：“都是白球”與“都是紅球”互斥但不對(duì)立，故C錯(cuò)誤，

選項(xiàng)D：“至少有一個(gè)白球”包括（紅，白），（白，白），與“都紅球”是對(duì)立事件，故D正確，

故選：D.

5.已知m匕是兩條不重合的直線，。為一個(gè)平面，且。_1。，則是“a//?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分條件、必要條件的定義即可得出選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)匕，a時(shí)，結(jié)合可得a//人充分性滿足；

當(dāng)a〃b時(shí)，結(jié)合a_La,可得6_La,必要性滿足.

故選：C.

6.甲、乙兩人射擊，甲的命中率為0.6.乙的命中率為0.5,如果甲、乙兩人各射擊一次，恰有一人命中的

概率為（）

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

【答案】C

【解析】

【分析】甲乙相互獨(dú)立，而甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標(biāo)即為事件：AB+AB>由相互獨(dú)立事件的概

率乘法公式可求.

【詳解】設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A,“乙命中目標(biāo)”為事件8

由題意可得，P（A）=0.6,P（B）=0.5且甲乙相互獨(dú)立

甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標(biāo)即為事件：AB+AB>

P（AB+AB）=0.4x0.5+0.6x0,5=0.5

故選：C

7.已知函數(shù)/（x）=sin（0x+何3>0,網(wǎng)<兀）的部分圖象如圖所示，則/?）=（）

.e

A一直R近D

D.---------C.0

222

【答案】B

【解析】

【分析】利用圖象求出函數(shù)/(x)的解析式，然后代值計(jì)算可得出/(2］的值.

21t714無

【詳解】由圖可知，函數(shù)/(x)的最小正周期為T=4x

T-3

2兀3所以，〃x)=sin(3￡x+e

因?yàn)?9>0，則刃=--=2兀X---=

T4712

271

因?yàn)榱藄in(兀+夕)=一sine=l,可得sin°=-l,

3x7T3x

因?yàn)橐回＃?＜兀，則e=一5,故〃x)=sin=-cos—,

2

、71V2

因此，/但371

=-cos-cos—=----

16J26J42

故選：B.

8.已知數(shù)據(jù)巧、七、L、的平均數(shù)為"方差為S2,在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)最后得到一組新數(shù)

據(jù)，其平均數(shù)為F，方差為s'2,則()

2

A一B.『>/C一X’<一xD.s')<.y

【答案】D

【解析】

【分析】利用平均數(shù)公式可得出最、？的大小關(guān)系，由方差公式可得出./、0的大小關(guān)系.

【詳解】由已知可得)=內(nèi)+尤2+當(dāng)++*"

n

x.-x

加入新數(shù)據(jù)后，？=土土土上玉土++xnx-\-x-

-------=------=X,

77+1n+\

X|-X)+(工2-，+(%3-X)+…+(為“-x)+(x-x)

,，2

〃+1

所以ABC錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

9,塹堵、陽馬、鱉臊這些名詞出自中國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》.如圖1,把一塊長方體分成相

同的兩塊，得到兩個(gè)直三棱柱（塹堵）.如圖2,再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各

一個(gè)，以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬，余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的

四面體，稱為鱉席.則圖2中的陽馬與圖1中的長方體的體積比是（）

【答案】B

【解析】

【分析】計(jì)算出長方體的體積，利用錐體的體積公式計(jì)算出陽馬的體積，即可求得陽馬與長方體的體積之

比.

【詳解】設(shè)陽馬的體積為乂，長方體的體積為V,

由圖2可知，陽馬是底面為矩形，高為C的四棱錐，則

3

長方體的體積為V=He,因此，M=L

V3

故選：B.

10.設(shè)M為平面四邊形ABCD所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，MA=a，MB=b，MC=c，MD=d.若

“+c=8+d且=則平面四邊形ABC。一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.梯形

【答案】c

【解析】

【分析】由a+c=O+d結(jié)合平面向量的減法推導(dǎo)出BA=C。，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算推導(dǎo)出

|c/i|=|r>B|,即可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閍+c=~+d，則M4+MC=M5+M￡>，即腸4一MB=MC，

即BA=CO,所以，平面四邊形ABCO為平行四邊形，

因?yàn)閍+c=〃+d，則("。',+小,即J+2a-c+J=//+26M+/，

因?yàn)閍-c=Z?.d,所以，a-2a-c+(^-h-2b-d+d,即卜-c|=|"一,

,即|CA卜即平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線長相等，

故平面四邊形A3CD一定是矩形.

故選：C.

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)z=l+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則|OZh.

【答案】V2

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義即可由模長求解.

【詳解】由題意可知|OZ|=|z|==J*

故答案為：J5

12.某地區(qū)有高中生3000人，初中生6000人，小學(xué)生6000人.教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視

率，采用分層抽樣的方法，按高中生、初中生、小學(xué)生進(jìn)行分層，如果在各層中按比例分配樣本，總樣本

量為150,那么在高中生中抽取了人.

【答案】30

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求解.

3000

【詳解】高中生中抽取了xl50=30人,

3000+6000+6000

故答案為：30

13.在ABC中，a=8,b=7,c=3,則8=；tan(A+C)=

【答案】①.I②.-石

【解析】

【分析】利用余弦定理求出COSB的值，結(jié)合角8的取值范圍可得出角8的值；再利用誘導(dǎo)公式可得出

tan（A+C）的值.

【詳解】在_鉆。中，a=8,b=l,c=3,

由余弦定理可得cosB=a+cj-64+9-49

lac2x8x32

因?yàn)?e（0,7r）,則8=],故tan（A+C）=tan1乃一gJ=-tang=-\/J.

故答案為：—；-.

14.把函數(shù)〃x）=sin（2x+1）圖象上的所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)己個(gè)單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則

g（x）的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)為.

【答案】（0,0）（答案不唯一）

【解析】

【分析】先利用平移變換得到g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由題意可得g（x）=sin2|+^=sin2x,

k

令2x=kji,keZ,解得x=—兀keZ,

2

所以g（x）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為x=|■兀，kwZ,

所以g（x）的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)為（0,0）,

故答案為：（0,0）（答案不唯一）

15.如圖，在ABC中，設(shè)AB=4,BC=a,N5的平分線和AC交于。點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，且

滿足BE:EC=3:2,設(shè)24￡=445+424。（匕,42￡區(qū)），則匕+&=；當(dāng)。=時(shí)，

DE//AB.

【解析】

【分析】利用向量的加法法則得，從而求得仁+修，利用角平分線性質(zhì)確定點(diǎn)。位置，然后利用平行線分

線段成比例求解.

3

【詳解】因?yàn)?E:EC=3:2,所以

3323

所以AE=A8+BE=AB+gBC=AB+](AC—A8)=《A8+gAC,

,23

所以&]=M，&f2=—，所以自+他=1，

小心工m-r/目ABAD-r，nADsinZABD

在△ABZ）中，由正弦定理可得=,可得=,

sinZADBsinZAB。ABsinZADB

…iE-r/口BCCD—CDsin/CBO

在△CBO中，由正弦定理可得----------=----------,可得——=----------,

snZBDCsinZCBDBCsinZBDC

因?yàn)?。為ZABC的角平分線，可知ZABD=ZCBD,ZADB=冗—ZBDC,

所以sinZABD=sinNCBD,sinZADB=sin(兀-NBDC)=sinNBDC,

可得^=sinZCBD,,ADCD?“,CDBCa

■-----------,所cc以一=——，又AB=4,BC=a,所C以CI一=——=-

sinZADBsinZBDCABBCADAB4

在_ABC中，DE//AB）所以-——,所以一=彳，解得a=~

ADBE3433

o

故答案為：1;—.

16.如圖1,四棱錐P-ABC。是一個(gè)水平放置裝有一定量水的密閉容器（容器材料厚度不計(jì)），底面

ABCD為平行四邊形，現(xiàn)將容器以棱A6為軸向左側(cè)傾斜到圖2的位置，這時(shí)水面恰好經(jīng)過CZ5EF,其

中E、尸分別為棱24、依的中點(diǎn)，在傾斜過程中，給出以下四個(gè)結(jié)論：

圖1圖2

①?zèng)]有水的部分始終呈棱錐形；

②有水的部分始終呈棱柱形；

③棱AB始終與水面所在平面平行；

④水的體積與四棱錐P-ABCD體積之比為5:8.

其中所有正確結(jié)論序號(hào)為.

【答案】①③④

【解析】

【分析】由棱錐的定義可判斷①；由棱柱的定義可判斷②；利用線面平行的定義可判斷③；利用錐體的體

積公式可判斷④.

【詳解】對(duì)于①，由棱錐的定義可知，在傾斜的過程中，沒有水的部分始終呈棱錐形，①對(duì)；

對(duì)于②，由棱柱的定義可知，在傾斜的過程中，有水的部分的兒何體不是棱柱，②錯(cuò)；

對(duì)于③，傾斜前，在圖1中，棱AB與水面所在平面平行，

在傾斜的過程中，容器以棱A3為軸向左側(cè)傾斜到圖2的位置的過程中，

棱A3始終與水面所在平面平行，③對(duì)；

對(duì)于④，連接AC、CE、BE,設(shè)三棱錐尸一ACO的體積為V,則三棱錐P—ABC的體積也為V,

因?yàn)镋、F分別為24、依的中點(diǎn)，所以，EF//AB且EF==AB,

2

所以，尸=a，所以，匕TEF=W=WV'

113

所以，沒有水的部分的幾何體的體積為匕iQE+%_P"=-v+-v=-v,

35

所以，有水的部分的幾何體的體積為2V-二V二-V,

44

5V

因此，水的體積與四棱錐P—A5CO體積之比為一：2V=5:8,④對(duì).

4

故答案為：①③④.

三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.已知函數(shù)/(%)=sin2x+2Gcos2?x.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

JT

(2)求函數(shù)/(力在區(qū)間0,-上的最大值和最小值.

【答案】(1)兀

(2)最大值為2+6,最小值為1+G

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)/(x)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)/(x)的

最小正周期；

(2)由OAxW：求出2x+g的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)/(x)的最大值和最小

值.

【小問1詳解】

解：因?yàn)?(x)=sin2x+2>/3cos2x=sin2x+273x+c^s

=sin2x+V3cos2x+V3=2sin^2x+y^+>/3,

7

所以，函數(shù)/(x)的最小正周期為7=g7r=7t.

【小問2詳解】

解：當(dāng)04x4工時(shí)，-<2x+-<—,

4336

故當(dāng)2x+g=］時(shí)，函數(shù)/（x）取最大值，即/（x）心=2sin5+百=2+6，

當(dāng)2x+1=葛時(shí)，函數(shù)〃x）取最小值，即/（XL=2sinK+G=l+JL

18.海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量

各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻率分布直方圖如圖所示.兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立.

舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

（1）求頻率分布直方圖中。的值；

（2）用頻率估計(jì)概率，從運(yùn)用新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的水產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取一個(gè)網(wǎng)箱，估計(jì)兩個(gè)網(wǎng)箱的箱

產(chǎn)量都不低于55kg的概率；

（3）假定新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的網(wǎng)箱數(shù)不變，為了提高總產(chǎn)量，根據(jù)樣本中兩種養(yǎng)殖法的平均箱產(chǎn)量，

該養(yǎng)殖場(chǎng)下一年應(yīng)采用哪種養(yǎng)殖法更合適？（直接寫出結(jié)果）

【答案】（1）a=0.068

（2）0.0704

（3）新養(yǎng)殖法

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖利用頻率之和為1，即可求得圖中4的值；

（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式計(jì)算即可；

（3）利用頻率分布直方圖分別估計(jì)新舊養(yǎng)殖法的平均值，即可做出判斷.

【小問1詳解】

由（0.004+0.008+0.010+0.020+0.044+0.046+a）x5=1

所以a=0.068

【小問2詳解】

設(shè)事件A,8分別表示：從運(yùn)用舊、新網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的水產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)網(wǎng)箱，其箱產(chǎn)量不低于

55kg,

用頻率估計(jì)概率，則P（A）=（0.020+0.012+0.012）x5=0.22,

P（B）=（O.（）46+0.010+0.008）x5=0.32

因?yàn)锳,8相互獨(dú)立，所以P（AB）=P（A）P（8）=0.22x0.32=0.0704

所以估計(jì)兩個(gè)網(wǎng)箱的箱產(chǎn)量都不低于55kg的概率為0.0704

【小問3詳解】

新養(yǎng)殖法

（舊養(yǎng)殖法的平均值估計(jì)為

0.012x5x27.5+0.014x5x32.54-0.024x5x37.5+0.034x5x42.5+0.040x5x47.5+0.032x5x52.54-0.020x5x57.5+0.012x5x62.5+0.012x5x67.5=47.1

新養(yǎng)殖法的平均值估計(jì)為

0.004x5x37.5+0.020x5x42.5+0.044x5x47.5+0.068x5x52.5+0.046x5x57.5+0.010x5x62.5+0.008x5x67.5=52.35

又52.35>47.1,所以該養(yǎng)殖場(chǎng)下一年應(yīng)采用新養(yǎng)殖法更合適.）

19.在_ABC中，己知sinA=J^sinB，Z.C--.

6

（1）求證：b-c-,

（2）在①“c=G；②csinA=3；③c?=a。這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確

定，求方的值和ABC的面積.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）證明見解析；

（2）見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得a=J初，再根據(jù)余弦定理即可證明；

JT271

（2）若選①，由（1）可得.=而，b=c,ZB=ZC=-,ZA=—,從而可求a,4c,根據(jù)三角形面積

63

公式即可求解；

Jr27r

若選②，由（1）可得a=屜，b=c,ZB=ZC=-,ZA^—,根據(jù)csinA=3可求6,c,根據(jù)三角形

63

面積公式即可求解；

若選③，根據(jù)邊的等量關(guān)系可得a。=阮2,矛盾.

【小問1詳解】

由sinA=J^sinB,根據(jù)正弦定理可得a=回.

222222

de4兀J,人在H^E/日-a+b-c3b+b-cg

又因?yàn)镹C=：,由余弦定理得：cosC=--------------=-------；=———=——，

62ab2收2

可得從=/,即8=c.

【小問2詳解】

若選①，

由ac—>且b=c,

所以園2=6,解得力=C=1，

所以NB=NC=四，NA=@.

63

所以SAABC=~^sinA=-xlxlx—=—.

*2224

若選②，

7C2兀

根據(jù)。=c,所以ZB=NC=7，NA=T.

63

因?yàn)閏sinA=3,所以Y3C=3，解得c=/?=2百.

2

所以S=—Z?csinA=—x2\/3x2>/3x=3>/3.

人A8Rcr222

若選③，

由（1）口I得a=\/^b,b=c,則R;==J^c、2,與=Q/；,矛盾，

故一ABC不存在.

20.已知四棱錐P—ABCD的底面為直角梯形，AB//CD，NZMB=90°,CD^-AB,平面a4QJ_

2

平面ABCQ，M是PB的中點(diǎn).

（1）求證：8_1_平面24。；

（2）求證：CM〃平面PAD；

PN

（3）設(shè)棱PC與平面ADW交于點(diǎn)N,求二七的值.

NC

【答案】（1）見解析（2）見解析

(3)”=2

NC

【解析】

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可得到線面垂直.

（2）取中點(diǎn)，根據(jù)線線平行可得平面P4。//平面M￡C,由此能證明直線CM//平面PAD；

PN

（3）作點(diǎn)F滿足=則”與PC的交點(diǎn)即為尸。與平面ADW的交點(diǎn)N,從而可求得證的

值，

【小問1詳解】

平面PAD_L平面A8C￡>,且兩平面的交線為AD,

由于AB〃CD,ZDAB=90°,所以8AD,CDu平面ABC。,

故CDJ?平面24。，

【小問2詳解】

證明：取A8中點(diǎn)E，連

CD=-AB=\,M是P3的中點(diǎn)，

2

：.ME//PA,CE//AD,

由于MEZ平面PA。，PAu平面PAD，所以ME//平面PAD

同理可得CE//平面PAD

ME\CE=E,ME,CEu平面

平面Q4D//平面MEC,

CMu平面MEC,直線CM//平面PAD；

【小問3詳解】

作點(diǎn)口滿足=A。，則A，D,F,M四點(diǎn)共面,

作AB的中點(diǎn)E，則A￡>=EC，所以MR=EC，

所以四邊形MFCE是平行四邊形，則FC//ME,又ME/1PA,

所以尸C//P4,即尸，A,C,f四點(diǎn)共面，平面ADFMc平面=

則PC與平面ADM的交點(diǎn)必定在AF上，

所以A尸與PC的交點(diǎn)即為PC與平面AOM的交點(diǎn)N,

所以二PNL=HAN=dPA=WPA=2,所以工PN1=2,

NC

21.設(shè)也〃wN*,已知由自然數(shù)組成的集合5={4，。2,…,凡}(4<4<…<。")，集合S-S2,■■■,Sm

是S的互不相同的非空子集，定義〃x加數(shù)表:

%]玉2…X\,m

X2\X22…x2i1,aieS,

,nt，其中囹=,n?,設(shè)4(4)=%1+w2+~+玉“?=1,2「一,〃)，令4(5)

U,Clj￡3,

xnm)

是d(4),〃(%),???，d(o〃)中的最大值.

101、

(1)若加=3,5={1,2,3),且/011，求，，與，S3及d(S)；

10

(2)若5={1,2,…，川，集合5，S2,鼠中的元素個(gè)數(shù)均相同，若d(S)=3,求〃的最小值;

(3)若〃2=7,S={1,2,…,7},集合H，S2,?,S,中的元素個(gè)數(shù)均為3,且

S,.ns^0(l</<J<7),求證：d(S)的最小值為3.

【答案】(I)與={1,3}32={2},邑={1,2},d(S)=2

(2)4(3)見解析

阿斤】