分布列.期望與方差

§8.4離散型隨機變量的分布列、期望與方差考點2013~2017年2018年2019年2020年2021年2022年合計全國地方全國地方全國地方全國地方全國地方全國地方全國地方卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷101.離散型隨機變量的分布列、期望與方差251211022212714102.概率分布列與圖表綜合題32000000001042命題分析與備考建議(1)命題熱度:本專題是歷年高考命題必考的內容(),屬于中檔題目,主要是以解答題的形式進行考查,分值約為12分,命題多與統(tǒng)計圖表相結合,命題的重點是離散型隨機變量的分布列及其數(shù)學期望的求解.(2)考查方向:一是求離散型隨機變量的分布列及其數(shù)學期望與方差;二是分布列、期望與統(tǒng)計圖表的綜合應用;三是利用分布列、期望與方差進行決策或分析,此類試題的閱讀量大,綜合性較強.(3)明智備考:一是要熟練掌握離散型隨機變量的取值,確定其對應的事件,這是解決此類問題的基礎;二是要學會數(shù)據(jù)的提取與分析,這也是學科素養(yǎng)的要求;三是要學會根據(jù)數(shù)據(jù)做出判斷與決策.要精準把握命題意圖,找到解題的金鑰匙().(4)主編提示:該部分屬于高考必考內容,命題的關注點在于以現(xiàn)實生活中的統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)為情境下的離散型隨機變量的分布列及其數(shù)學期望的求解,熱點是決策性問題,考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng),高三備考,抓準命題的變化方向是關鍵,不能偏離啊!!!考點101離散型隨機變量的分布列、期望與方差1.(2018·浙江,7,4分,難度★★★)設0<p<1,隨機變量ξ的分布列是ξ012P1?1p則當p在(0,1)內增大時,()A.D(ξ)減小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大 D.D(ξ)先增大后減小2.(2022·浙江,15,6分,難度★★★)現(xiàn)有7張卡片,分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3張,記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ,則P(ξ=2)=,E(ξ)=.

3.(2021·浙江,15,6分,難度★★★)袋中有4個紅球,m個黃球,n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球,記取出的紅球數(shù)為ξ,若取出的兩個球都是紅球的概率為16,一紅一黃的概率為13,則m-n=,E(ξ)=4.(2020·浙江,16,6分,難度★★★)盒中有4個球,其中1個紅球,1個綠球,2個黃球.從盒中隨機取球,每次取1個,不放回,直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=;E(ξ)=.

5.(2022·全國甲,理19,12分,難度★★★★)甲、乙兩個學校進行體育比賽,比賽共設三個項目,每個項目勝方得10分,負方得0分,沒有平局.三個項目比賽結束后,總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結果相互獨立.(1)求甲學校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學校的總得分,求X的分布列與期望.命題意圖本題考查隨機事件的概率和離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望.考查獲取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的能力和數(shù)學運算能力.1.利用互斥事件、事件的獨立性求概率.2.利用互斥事件、事件的獨立性求離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望.6.(2022·北京,18,14分,難度★★★★)在校運動會上,只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽,比賽成績達到9.50m以上(含9.50m)的同學將獲得優(yōu)秀獎.為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主,收集了甲、乙、丙以往的比賽成績,并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假設用頻率估計概率,且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率;(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù),估計X的數(shù)學期望EX;(3)在校運動會鉛球比賽中,甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大?(結論不要求證明)7.(2021·全國新高考1,18,12分,難度★★★★)某學校組織“一帶一路”知識競賽,有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答,若回答錯誤則該同學比賽結束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關.(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列;(2)為使累計得分的期望最大,小明應選擇先回答哪類問題?并說明理由.8.(2021·北京,18,13分,難度★★★)在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指:先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒,則檢測結果為陰性,得到每人的檢測結果都為陰性,檢測結束;如果這k個人中有人感染新冠病毒,則檢測結果為陽性,此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果,檢測結束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測,假設其中只有2人感染新冠病毒,并假設每次檢測結果準確.(1)將這100人隨機分成10組,每組10人,且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.①如果感染新冠病毒的2人在同一組,求檢測的總次數(shù);②已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為111.設X是檢測的總次數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望(2)將這100人隨機分成20組,每組5人,且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數(shù),試判斷數(shù)學期望EY與(1)中EX的大小.(結論不要求證明)9.(2019·天津,理16,13分,難度★★★)設甲、乙兩位同學上學期間,每天7:30之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響,且任一同學每天到校情況相互獨立(1)用X表示甲同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;(2)設M為事件“上學期間的三天中,甲同學在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.10.(2018·全國1,理20,12分,難度★★★★)某工廠的某種產品成箱包裝,每箱200件,每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產品檢驗了20件,結果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.①若不對該箱余下的產品作檢驗,這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX;②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產品作檢驗?11.(2017·全國3,理18,12分,難度★★★★)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值?考點102概率分布列與圖表綜合題1.(2022·全國新高考2,19,12分,難度★★★★)在某地區(qū)進行某種疾病調查,隨機調查了100位這種疾病患者的年齡,得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)(2)估計該地區(qū)一人患這種疾病患者年齡位于區(qū)間[20,70)的概率;(3)已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總人口數(shù)的16%,從該地區(qū)任選1人,若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),求此人患這種疾病的概率(精確到0.0001).2.(2017·北京,理17,13分,難度★★★★)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時間后,記錄了兩組患者的生理指標x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“”表示服藥者,“+”表示未服藥者.(1)從服藥的50名患者中隨機選出一人,求此人指標y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機選出兩人,記ξ為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ;(3)試判斷這100名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結論)3.(2016·全國1,理19,12分,難度★★★★)某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應選用哪個?4.(2016·全國2,理18,12分,難度★★★★)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下:一年內出險次數(shù)01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率;(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率;(3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.解(1)設A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”,則事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)設B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%