2023-2024學年北京初三年級上冊學期數(shù)學期末試卷有答案

2023-2024學年北京初三上學期數(shù)學期末試卷有答案

學校:班級：姓名：考號：

一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）下列各題均有四個選項，其中只有：個是符合題意的.

1.已知”=4。（而≠0）,則下列各式正確的是（）

a4a3aba4

?.—=—B.—=—C.—=—D.—=—

b3h4343b

【答案】A

【解析】直接利用分式的基本性質即可得到3的值，再進行選擇即可.

b

【詳解】34=4b,等式兩邊同時除以3b.

,日。3

得：T=T,

b4

故選：A.

【點睛】本題考查分式的基本性質，靈活運用分式的基本性質進行變形是解答本題關鍵.

2.拋物線y=（x-3p+l的頂點坐標是（）

?.（3,1）B,（3,-1）C.（-3,1）D.（-3,-1）

【答案】A

【解析】根據(jù)題目中二次函數(shù)的頂點式可以直接寫出它的頂點坐標.

【詳解】解：?.?y=（x-3y+l

此函數(shù)的頂點坐標為（3,1）

故選：A.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是熟記頂點式y(tǒng)=a（χ-h）'+I；,頂點坐標是（h,k）,

對稱軸是直線x=h.

3.如果一個矩形的寬與長的比等于黃金數(shù)避二?（約為0.618）,就稱這個矩形為黃金矩形.若矩形ABCD

2

為黃金矩形，寬AD=逐-1,則長AB為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【解析】根據(jù)黃金矩形的定義，得出寬與長的比例即可得出答案.

【詳解】解：黃金矩形的寬與長的比等于黃金數(shù)避二?

2

.AD√5-l

''~?B~2

.?.AB=(小一1”先F=2?

故選：C.

【點睛】本題考查新定義題型，給一個新的定義，根據(jù)定義來解題，對于這道題是基礎題型.

4.將拋物線y=f先向右平移3個單位長度，再向上平移5個單位長度，所得拋物線的解析式為()

A.y-(x+3)^+5B.y=(x—3)一+5

C.y-(x+5)^+3D.y=(x—5)一+3

【答案】B

【解析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行求解.

【詳解】解：將拋物線y=χ2先向右平移3個單位長度，得：y=(x—3)2,

再向上平移5個單位長度，得：J=(X-3)2+5.

故選：B.

【點睛】本題主要考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求

得平移后的函數(shù)解析式.

5.如圖，ZDAB^ZCAE,請你再添加一個條件，使得ΔADESΔA5C.則下列選項不成立的是()

ADAEADDE

A.ZD=ABB.ZE=ZC

AB—AC^AB~~BC

【答案】D

【解析】先根據(jù)NΠ45=NC4E,可得NZME=NB4C，然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐一解答即可.

【詳解】./DAB=/CAE

.?.ZDAB+ABAE=ΛCAE+ZBAE

，乙DAE=乙BAC

A、當添加條件ND=NB時則ΔADESΔABC,故選項A不符合題意;

B、當添加條件NE=NC時則A4DES?ABC,故選項8不符合題意;

ΛΓ）Ap

C、當添加條件一=——時則ΔADESΛ8C,故選項C不符合題意；

ABACΔ

D、當添加條件?箋Γ）=當DF時則AM）石和ΔA5C不一定相似，故選項。符合題意；

AEBC

故選：D.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理.

6.如圖，在AABC中D、E分別是邊AB、AC上的點，且DE〃BC,若AD：DB=2：3,則AADE與aABC的面

積比等于（）

A.2：3B.4：5C.4：9D.4：25

【答案】D

【解析】先由平行線判定ADEABC,再根據(jù)相似三角形對應邊成比例性質及已知條件AD：DB=2：3,

2

解得相似比為《，最后根據(jù)相似三角形面積比等于相似比平方解題即可.

【詳解】DE//BC

.?^ADE..ABC

ADDEAE

又AD：DB=2：3

.ADDEAE2

'AB-SC-AC-5

q

UADE

SABC

故選:D.

【點睛】本題考查相似三角形判定與性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

7.已知二次函數(shù)y=α√+云+。的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量X的取值可以是

()

A.-4B.-2C.OD.2

【答案】B

【解析】利用拋物線的對稱性確定拋物線與（0,2）的對稱點，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線y=2

上方所對應的自變量的范圍即可.

【詳解】解：；由圖象可得拋物線的對稱軸為x=T?5

.??點（0,2）關于直線X=T.5的對稱點為（-3,2）

當-3Vχ<0時y>2

即當函數(shù)值y>2時自變量X的取值范圍是-3<x<0.

故選:B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的圖象與性質，數(shù)形結合是解題的關鍵.

8.如圖，二次函數(shù)、=0?+笈+或。#（））的圖象經(jīng)過4（0,1）,8（2,-1）和C（4,5）三點，下面四個結論中

正確的是（）

A.拋物線開口向下

B.當x=2時y取最小值一1

C.當，〃>-1時一元二次方程辦2+次+C=機必有兩個不相等實根

D.直線y=日+C（左片0）經(jīng)過點A,C當AX+c<α√+6χ+c時X的取值范圍是0<x<4

【答案】C

【解析】把A、B、C三點代入二次函數(shù)即可求出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式依次判斷即可.

【詳解】把A、B、C三點代入二次函數(shù)得：

1-c

<-1-4a+2b+c

5=16α+40+c

a=1

解得：<b=-3

c=1

故函數(shù)解析式為：y=x2-3x+?

???開口朝上

故A不正確；

b3

函數(shù)對稱軸為：X=——=—

2a2

35

，χ=一時函數(shù)值最小，y=-一

24

故B不正確；

由題意得：y=—時一元二次方程ax*+法+c=y有一個實根，y>一°時Or2+?r+c=y有兩個不等

44

實根

?.?m>-?

一元二次方程ɑr?+Zzx+c=∕7z必有兩個不相等實根

故C正確；

?.?直線y=履+，（左HO）經(jīng)過點A,c

，依據(jù)題意可知：履+c<αχ2+bχ+c時_x<0或χ>4；

故D錯誤；

故選：C.

【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖像及性質，以及一次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)圖像與性質以及一

次函數(shù)圖像是解答本題的關鍵.

二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）

9.請寫出一個開口向上且過點（0,-2）的拋物線表達式為—.

【答案】y=x2-2

【解析】令拋物線的對稱軸為y軸，二次項系數(shù)為1,則拋物線的解析式可設為y=f+加，然后把已知點

的坐標代入求出加即可.

【詳解】解：設拋物線的解析式為y=Y+加

把(0,—2)代入得加=一2

所以滿足條件的拋物線解析式為γ=x2-2.

故答案為：y=f-2(答案不唯一)

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關鍵是在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式

時要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解.

Ao2

10.如圖，在aABC中D為AB邊上一點，DE〃BC交AC于點E,若而=］，AE=6,則EC=__.

【答案】9

ΛΓΛΓ)O

【解析】由平行線分線段成比例定理得出。；===彳，然后將EC代入計算即可.

ECDB3

An2

【詳解】解：：DE〃BC——=-

...——AE=——AD=-2

ECDB3

AE262

---=一,即aπ----一解得EC=9.

EC3EC3

故答案為9.

ApΛ/)

【點睛】本題主要考查了平行線等分線段定理等知識點，根據(jù)DE〃BC得到不K==是解答本題的關鍵.

ECDB

11.將二次函數(shù)丁=/+4彳-1化為^=(%-力)2+上的形式，結果為y=.

【答案】(X+2)2-5

【解析】利用配方法先提出二次項系數(shù)，在加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化

為頂點式.

【詳解】解:y=x2+4χ-l=x2+4x+4-4-l=(x+2)2-5.

故答案為：(x+2)2-5.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的三種形式的知識點，二次函數(shù)的解析式有三種形式：(1)一般式:y=ax>bx+c

2

(a≠0,a、b、C為常數(shù))；(2)頂點式：y=a(χ-h)+k;(3)交點式(與X軸)：y=a(X-XD(χ-χ2).

12.如圖，為了測量操場上一棵大樹的高度，小英拿來一面鏡子，平放在離樹根部5m的地面上，然后她沿

著樹根和鏡子所在的直線后退，當她后退Im時正好在鏡中看見樹的頂端.小英估計自己的眼睛到地面的距

離為L6m,則大樹的高度是?n.

【答案】8

【解析】入射角等于反射角，兩個直角相等，那么圖中的兩個三角形相似，利用對應邊成比例可求得樹高.

【詳解】如圖:

VZABC=ZDBE,ZACB=ZDEB=90O

.,.ΔΛBC^ΔDBE

ΛBC：BE=AC:DE

即1：5=1.6：DE

DE=8m

故答案為：8.

【點睛】本題考查了相似三角形性質的應用.解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應邊成比例列

出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解決問題.

13.已知二次函數(shù)y=(x—2『+1,若點A(0,弘)和B(3,%)在此函數(shù)圖像上，則外與丫2的大小關

系是弘_/.(填“>”，或“=”)

【答案】>

【解析［分別把點A、B的坐標代入拋物線解析式進行求解，然后問題可得解.

【詳解】解：由題意得：

當x=0時則有?,=(0-2)2+l=5;當X=3時則有必=(3—21+1=2；

%>內；

故答案為>.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

ARΛΓ)O

14.如圖，在.AfiC中點7)、E分別在邊AC、Afi上,且---=----——,若Z)E=4cm,則BC=cm.

ACAB3

AFΛΓ)O

【解析】由——=——=一再結合公共角/A=NA,可證得。ADESaABC,再根據(jù)相似三角形的性質即可求

ACAB3

得結果.

C、,AEAD2

【詳解】解rl：：NA=NA—=—=-

ACAB3

/.aADEs▲ABC

.AEDE2

"ΛC^BC-3

?；DE=4cm

BC=6cm.

故答案為：6.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，數(shù)量掌握并靈活應用相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

15.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與X軸的兩個交點的坐標分別是(-3,0),(2,0),則方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的解是...

【答案】.Xi=-3,×2~2

【解析】解：；拋物線y=a(+bx+c(arθ)與X軸的兩個交點的坐標分別是(T,0),(2,0)

.?.當X=T或x=2時y=0

即方程OX2+∕zx+c=O的解為Xl=-3,X2—2.

故答案為：x∣=—3,X2=2.

16.如圖，將等邊4ABC折疊，使得點C落在AB邊上的點I)處，折痕為EF,點E,F分別在AC和BC邊上.若

CE

ΛC=8,ΛD=2,則aAED周長為,方的值為.

【解析】根據(jù)等邊三角形的性質和折疊的性質可得：，DF+CF+CD=10,DF+BF+BD=BC+BD=14,再證明

ΔAED-ΔBDF,由相似三角形周長的比等于相似比，即可得出結果.

【詳解】解：?.?AABC是等邊三角形

.?.BC=AB=AC=8,ZABC=NACB=NBAC=60°

=AD=2

.?.BD=6

由折疊的性質可知：CE=DE,CF=DF,ZEDF=ZC=60o

.?.AE+DE+AD=AC+AD=10,即AAED周長為10

故答案為：10;

.?.DF+BF+BD=BC+BI)=14

,.?ZEDF=ZBAC=ZABC=60°

ΛZFDB+ZEDΛ=ZAED+ZEDΛ=120o

ZFDB=ZAED

?.?∕B=∕A=60°

ΛΔΛED^ΔBDF

.AEADED

"~BD~~BF~~DF

.AE+AD+EDEDCE

"BD+BF+DF^DF^CF

*CE105

??—

CF147

故答案為：一.

7

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、折疊變換的性質、相似三角形的判定與性質等知識；本題綜合性

強，熟練掌握直角三角形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵.

三、解答題(共6道小題，每小題5分，共30分)

17.如圖，AC,BD相交于的點0,且/ABO=/C.求證：^AOBsaDOC.

【答案】見解析

【解析】利用對頂角相等得到NAOB=/COD,再結合已知條件及相似三角形的判定定理即可求解.

【詳解】證明：VAC,BD相交于的點O

二ZAOB=ZDOC

又,：ZABO=ZC

ΛΔAOB<^ΔDOC.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理：若一對三角形的兩組對應角相等，則這兩個三角形相似，由

此即可求解.

18.己知：二次函數(shù)y=χJl.

(1)寫出此函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；

(2)畫出它的圖象.

【答案】(1)拋物線的開口方向向上，對稱軸為y軸，頂點坐標為(0,-1).

(2)圖像見解析.

【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)y=a(χ-h)2+k,當a>0時開口向上；頂點式可直接求得其頂點坐標為(h,k)及對

稱軸x=hi

(2)可分別求得拋物線頂點坐標以及拋物線與X軸、y軸的交點坐標，利用描點法可畫出函數(shù)圖象.

【小問1詳解】

解：(1)Y二次函數(shù)y=χ2-1

拋物線的開口方向向上，頂點坐標為(0,-1),對稱軸為y軸；

【小問2詳解】

解：在y=χ2-1中令y=0可得X?-1=0.

解得X=-I或1,所以拋物線與X軸的交點坐標為(T,0)和(1,0)；

令X=O可得y=-l,所以拋物線與y軸的交點坐標為(0,-1)；

又頂點坐標為(0,-1),對稱軸為y軸

再求出關于對稱軸對稱的兩個點

將上述點列表如下：

X-2-1012

V=X2-130-103

描點可畫出其圖象如圖所示：

【點睛】本題考察了二次函數(shù)的開口方向、對稱軸以及頂點坐標.以及二次函數(shù)拋物線的畫法.解題的關

鍵是把二次函數(shù)的一般式化為頂點式.描點畫圖的時候找到關鍵的幾個點，如：與X軸的交點與y軸的交

點以及頂點的坐標.

19.二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，求這個二次函數(shù)的表達式.

【答案】y=~X2~2X+3

【解析】根據(jù)函數(shù)圖象知，該函數(shù)經(jīng)過點(-3,0),(0,3)且對稱軸為X=T,所以利用待定系數(shù)法可求得

該二次函數(shù)的解析式.

【詳解】解拋物線的對稱軸為直線x=T,過點(-3,0),(0,3)

設拋物線表達式為：y=α(x+iy+k(α≠0),將(-3,0),(0,3)代入

4。+Z=O

得〈

。+女=3

ci=-1

解得:

k=4

，拋物線表達式為y=—(x+lf+4=-X2-2X+3.

【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)頂點式，是解題的關鍵.

20.如圖，在由邊長均為1的小正方形組成的網(wǎng)格中有aABC和ADEF.求證：AABCsaDEF.

【答案】見解析

【解析】分別求出兩個三角形的三邊，根據(jù)三邊分別成比例的三角形相似即可判定.

【詳解】解：?∕?ΔABCΦAB=3,BC=√2-AC=亞

在aDEF中DE=3亞，IiF=2,DF=W

3血和A。=正.也

√2jAB

.BC===不11-

"~EF~2，~DE3√22DF^√10一2

.BCABAC

-----=ΛΔABC^ΔDEF.

EF~DE~~DF

【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵.

21.已知拋物線>=占+bx+c("O)圖像上部分點的橫坐標X與縱坐標y的對應值如下表:

X...-2-10123???

y???50-3一4-30???

(1)求此拋物線的解析式，并畫出圖像;

(2)結合圖像直接寫出當0WxW4時y的范圍.

【答案】(1)y=x2-2x-3,圖見解析

(2)-4≤y≤5

【解析】(1)根據(jù)表格得出拋物線過點(1，-4)、(—1,0)和(3,0),將點坐標代入拋物線解析式求出a、b、

c即可，再利用描點法畫函數(shù)圖像；

(2)利用圖像可直接得到答案.

【小問1詳解】

解：?.?設二次函數(shù)的解析式為y=0χ2+H+c(a≠o)

由題意得：當X=O時丁=一3

?'?C=—3

?；x=l時y=-4,當X=-1時y=0

[α-?-3=0

.?.〈

Q+力一3二—4

?*?y=獷—2x—3；

??,當％=4時y=5

根據(jù)表格描點(一2,5),(-1,0),(0,-3),(l,-4),(2,-3),(3,0),(4,5),用平滑曲線連結，拋物線圖像如圖:

【小問2詳解】

解：由圖可得，拋物線的頂點為（1,T）

當0WxW4時T≤y≤5.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，描點法畫函數(shù)圖像，根據(jù)圖像求函數(shù)值范圍，熟練掌握

待定系數(shù)法和描點法畫函數(shù)圖像是解題關鍵.

22.如圖，在aABC中NACB=90°，CD是斜邊AB上的高.

（1）求證：ΔACDc×>ΔCBD;

（2）若AD=3,BD=2,求CD的長.

【答案】（1）見解析（2）√6

【解析】（1）根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似證明即可.

（2）利用相似三角形的性質證明CD??D?DB,可得結論.

【小問1詳解】

證明：YCDLAB

JZCDA=ZCDB=90o

???ZΛCB=90o

ΛZACD+ZBCD=90o,NBCD+NB=90°

ZACD=ZB

ΛΔACD^ΔCBD.

【小問2詳解】

解：VΔACD<^ΔCBD

?_AD____CD

"CD~~BD

.?.CD2=ΛD?DB

?.*AD=3,BD=2

.,.CD2=6

VCD>O

?*?CD=?/e.

【點睛】本題考查射影定理，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法，

屬于中考常考題型.

四、解答題（共3道小題，每小題6分，共18分）

23.圖中是拋物線形拱橋，當水面寬為4米時拱頂距離水面2米；當水面高度下降1米時水面寬度為多少

【答案】2√6

【解析】根據(jù)己知得出直角坐標系，進而求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)通過把y=T代入拋物線解析式得出

水面寬度，即可得出答案.

【詳解】解：建立平面直角坐標系.設二次函數(shù)的解析式為y=Ο√（a≠o）.

：圖象經(jīng)過點（2,-2）

/.-2=4a

解得：CI=---.

2

??9

??y=一—廠.

2

當y=-3時X-±√6.

答：當水面高度下降1米時水面寬度為2的米.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)已知建立坐標系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關

鍵，難度一般.

24.如圖，在口ABCD中連接DB,F是邊BC上一點，連接DF并延長，交AB的延長線于E,且/EDB=NA.

D

（1）求證：ΔBDF<^ΔBCD;

Λβ

（2）如果5O=3√L8C=9求一的值.

BE

4

【答案】（1）見解析（2）y

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形對角相等可得NA=NC，又∕EDB=∕A,等量代換可得NC=NEoβ,再結

合公共角ZDBC=NFBD,即可證明ABDFs^BCD;

（2）根據(jù)（1）的結論，列比例式代入數(shù)值計算可得BF=5,進而求得尸C,根據(jù)平行四邊形的性質可得

Λβ

CD//AE,進而證明，進而即可求解一的值.

BE

【小問1詳解】

證明：四邊形ABCZ）是平行四邊

ZA=ZC

ZEDB=ZA

ZC=ZEDB

又NDBC=NFBD

.??ΔBDF^ΔBCD;

【小問2詳解】

解：ZXBDFS^BCD；

BDBF

'~BC~~BD

BD=3√5BC=9

.?.M=幽=㈣=5

BC9

：.FC=BC—BF=9—5=4

四邊形ABC。是平行四邊

AB=CDDC//AB

：.DC//AE

FDCS_FEB

.ABDCFCA

~BE~~BE~~BF^1>

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的性質與判定，掌握相似三角形的性質與判定是解題

的關鍵.

25.下面給出六個函數(shù)解析式：y=gfy=Gχ2+l和y=-χ2-1∣χ∣y=2/—3∣χ∣T

y——x2+2I%I+1y——3x~一∣x∣-4.

小明根據(jù)學習二次函數(shù)的經(jīng)驗，分析了上面這些函數(shù)解析式的特點，研究了它們的圖象和性質。下面是小

明的分析和研究過程，請補充完整：

（1）觀察上面這些函數(shù)解析式，它們都具有共同的特點，可以表示為形如y=_______，其中X為自變量；

（2）如圖，在平面直角坐標系Xay中畫出了函數(shù)y=-∕+2∣χ∣+l的部分圖象，用描點法將這個函數(shù)的

圖象補充完整；

（3）對于上面這些函數(shù)，下列四個結論：

①函數(shù)圖象關于y軸對稱

②有些函數(shù)既有最大值，同時也有最小值

③存在某個函數(shù)，當x>〃？（m為正數(shù)）時y隨X的增大而增大，當x<一加時y隨X的增大而減小

④函數(shù)圖象與X軸公共點的個數(shù)只可能是O個或2個或4個

所有正確結論的序號是;

（4）結合函數(shù)圖象，解決問題：若關于X的方程―/+2∣χ∣+l=-χ+上有一個實數(shù)根為3,則該方程其

它的實數(shù)根為.

【答案】（1）ax1+b?x?+c（a≠0）;（2）圖象見詳解；（3）①③；（4）%=0,々=-1

【解析】（1）觀察六個二次函數(shù)解析式的特點，可知：它們都具有共同的特點：一次項的X含有絕對值，

即可；

(2)根據(jù)求絕對值法則，當x<0時y=-∕+2∣χ∣+l=-χ2-2χ+ι,再用描點法，畫出圖象，即可.

(3)結合六個二次函數(shù)的額圖形和性質，逐一判斷，即可；

(4)先求出k的值，再令X=-Y+2∣χ∣+l,%=-％+1在同一坐標系中畫出圖象，根據(jù)兩個函數(shù)圖

象的交點坐標，即可得到答案.

【詳解】(1)觀察六個二次函數(shù)解析式的特點，可知：它們都具有共同的特點：一次項的X含有絕對值，

即：y=ax2jt-b?x?+c(a≠0)

故答案是：ax2+b?x?+c(a≠0);

(2)當x<0時y=—無~+21XI+1=—廣—2x+1,根據(jù)描點法，如圖所不：

(3)Vy=^x2,y=JI√+ι關于y軸對稱

,1

-√——x(x≥0)

N=<；圖象關于y軸對稱

-X2-F-χ(x<O)

心2一31吐黑圖象關于y軸對稱

I+2小1=［之晨；圖象關于y軸對稱

y=-3χ2—4=12'一圖象關于y軸對稱.

-3√+%-4(x<0)

???①正確;

1,

：y=有最小值，沒有最大值

y=百/+1有最小值，沒有最大值

y=-χ2-g∣χ∣有最大值，沒有最小值

y=2/—3|x|-l有最小值，沒有最大值

y=-尤2+2∣x∣+l有最大值，沒有最小值

y=-3/—∣χ∣-4有最大值，沒有最小值

，②錯誤;

2

2(2Y—3x—l(x≥0)

-：y=2x-3?x?-l=??圖象關于y軸對稱

^11[2X2÷3x-l(x<0)

33

當工＞一時y隨X增大而增大，當天＜-9時y隨X的增大而減小

22

???③正確；

1

vy=-χ92圖象與X軸有1個公共點

y=√3X2+1的圖象與X軸沒有公共點

y=-f—；次|的圖象與X軸有1個公共點

^=2/一3|刈-1的圖象與乂軸有2個公共點

y=-f+2IXI+1的圖象與X軸有2個公共點

y=-3x2-∣XI-4的圖象與X軸沒有公共點

，④錯誤

故答案是：①③；

(4)?.?關于X的方程一/+21XI+1=-無+氏有一個實數(shù)根為3

Λ-32+2×∣3∣+1=-3+?,解得：k=l

令M=-X2+21x∣+1y2=-x+1

函數(shù)圖象如圖所示：

.?.關于X的方程—Y+2Ix∣+1=-x+左的其他兩個實數(shù)根為：X1=O,X2=-I

故答案是：玉=O,工2=—1

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)題意，畫出二次函數(shù)圖象，是解題的關鍵.

五、解答題(共3道小題，第26題6分，第27、28題，每小題7分，共20分)

26.已知關于X的二次函數(shù)y=Y-2a+2.

(1)求該拋物線的對稱軸(用含t的式子表示)；

⑵若點—3,m),N“+5,〃)在拋物線上，則mn；(填“>”，或“=”)

(3)P(Xl,χ),Q(%,%)是拋物線上的任意兩個點，若對于T≤X<3且X2=3,都有y≤%,求t

的取值范圍.

【答案】(l)x=t(2)<

(3)t≤l

【解析】(1)根據(jù)對稱軸的表達式直接求解即可；

(2)利用拋物線的對稱性和增減性進行判斷即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的增減性進行判斷解答即可.

【小問1詳解】

b—21

解：二次函數(shù)的對稱軸為：X=-一=——=t

2a2

小問2詳解】

解：*.*a=1>0

.?.χ<r時y隨X的增大而減小，x>t,y隨X的增大而增大

根據(jù)拋物線的對稱性可知：M點關于對稱軸對稱的點為：(t+3,m)

,.?t<t+3<t+5

.,.ιn<n

故答案為：＜

【小問3詳解】

解：若對于-l≤x∣＜3且々=3,都有

點P在Q點的左側，且對稱軸在P,Q中間

對稱軸一定在水平距離上距離/更遠或相等

.?.呼R（距離相等時號=,，刈更遠時亨＞t）

3÷3.3-1

—>t且r——2t

22

Λ3>t且INt

Λt≤l.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，熟記二次函數(shù)對稱軸的表達式，以及二次函數(shù)的增減性是解題

的關鍵.

27.在等腰直角aABC中∕ACB=90°,P是線段BC上一動點（與點B、C不重合），連接AP,延長BC至點Q,

使得CQ=CP,過點Q作QHJ_AP于點H,交AB于點祝

（1）若NPAC=α,求NAMQ的大小（用含ɑ的式子表示）.

（2）用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關系，并證明.

【答案】（1）NAMQ=45°+α;（2）線段MB與PQ之間的數(shù)量關系：PQ=&MB,理由見解析.

【解析】（1）由直角三角形性質，兩銳角互余，可得NAMQ=I80°-ZAHM-ZPAM,解得NAMQ=45°+a；

（2）由題意得AP=AQ=QM,再證RtAAPC絲RtAQME,.全等三角形對應邊相等得出PC=ME,得出aMEB為等腰

直角三角形，則PQ=gBM.

【詳解】（1）NAMQ=45°+a.理由如下:

,/ZPAC=ɑ，ΔACB是等腰直角三角形

ΛZPΛB=45°-ɑ,ZΛIIM=90o

ΛZAMQ=180o-/AHM-/PAM=45°+ɑ；

(2)線段MB與PQ之間的數(shù)量關系：PQ=√2MB.

理由如下：

連接AQ,過點M作MEI.QB

VAC±QP,CQ=CP

NQAC=NPAC=α

ΛZQAM=ɑ+45o=ZAMQ

.,.AP=AQ=QM

在RtΔAPC和RtΔQME中

ZMQE=PAC

<ZACP=NQEM

AP=QM

ΛRtΔAPC^RtΔQME

ΛPC=ME

.?.