2023-2024學(xué)年上海市松江區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷含詳解

松江區(qū)2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷初三數(shù)學(xué)

(滿分150分，完卷時(shí)間100分鐘)

考生注意:

1.本試卷含三個(gè)大題，共25題；沒有特殊說(shuō)明，幾何題均視為在同一個(gè)平面內(nèi)研究問題.

2.答題時(shí)，務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無(wú)效.

3.除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明.或計(jì)算

的主要步驟.

一、選擇題：(本大題共6題，每題4分，滿分24分)【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)

是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上.】

1.下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是。

222

A.y=x-2B.y=xC.y=—(x+1)D.y=~2

A

2.已知在RSABC中，ZC=90°,ZA=?,BC=m,那么AB的長(zhǎng)為()

mm

A.msina；B.incosa；C.-------D.

sintzcostz

3.關(guān)于二次函數(shù)y=-2(x-1)2的圖像，下列說(shuō)法正確的是()

A.開口向上B.經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

C.對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的D.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0)

4.下列條件中，不能判定?！ā５氖?)

A.a//c,b//cB.a=-c,b=2cC.a=—2bD.\a\=3\b\

5.如圖，在RtzXABC中，/B4c=90°,斜邊5C上的高AH=3,矩形DEFG的邊OE在邊5C上，頂點(diǎn)

G、F分別在邊A3、AC上，如果G尸正好經(jīng)過(guò)的重心，那么的積等于()

6.某同學(xué)對(duì)“兩個(gè)相似四邊形”進(jìn)行探究.四邊形A3CD和四邊形是相似的圖形，點(diǎn)A與點(diǎn)4、點(diǎn)

AB,

B與點(diǎn)、點(diǎn)C與點(diǎn)C］、點(diǎn)。與點(diǎn)2分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),已知----=k該同學(xué)得到以下兩個(gè)結(jié)論：①四邊形

4耳

ABCD和四邊形的面積比等于左2；②四邊形A3CD和四邊形AgG"的兩條對(duì)角線的和之比等于

k.對(duì)于結(jié)論①和②，下列說(shuō)法正確的是。

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確C.①和②都錯(cuò)誤D.①和②都正確

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

8.A、8兩地的實(shí)際距離=250米，畫在地圖上的距離為5厘米，則地圖上的距離與實(shí)際距離的比是.

9.某印刷廠一月份印書50萬(wàn)冊(cè)，如果從二月份起，每月印書量的增長(zhǎng)率都為x,那么三月份的印書量y（萬(wàn)冊(cè)）

與x的函數(shù)解析式是.

10.已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且如果AB=5,那么AP=.

11.在直角坐標(biāo)平面中，將拋物線y=-（x+iy+2,先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，那么平移后的

拋物線表達(dá)式是.

12.如果一個(gè)二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)在x軸上，且在y軸的右側(cè)部分是上升的.請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式：

13.如圖，一輛小車沿著坡度為1:2.4的斜坡從A點(diǎn)向上行駛了50米，到達(dá)8點(diǎn)，那么此時(shí)該小車上升的高度為

__________米.

14.如圖，梯形ABCD中，AB//CD,且七方=—,若AB=m，AD=n■請(qǐng)用m，n來(lái)表示AC=

15.如圖，已知直線人從4分別交直線加于點(diǎn)A、B、C,交直線w于點(diǎn)。、E、F,旦I川

AB=2BC,DF=6,那么EF=

16.如圖，在梯形A3CD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F如果

AD:BC=2-.3,那么：%AEB=

17.在ABC中，A5=AC,點(diǎn)。、E分別是邊A3、AC的中點(diǎn)，BE與CD相交于點(diǎn)。，如果△03C是等邊

三角形，那么tan/ABC=.

18.如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,將邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)8落在8'處，連接BB'、

CB',若/班'C=90°,則33'=

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)

19.二次函數(shù),=奴2+陵+。(。/0)的圖像上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)小縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表.

(1)由表格信息，求出該二次函數(shù)解析式，并寫出該二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)如果該二次函數(shù)圖像與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)P(5j)是圖像上一點(diǎn)，求面積.

20.如圖，在一ABC中，點(diǎn)。、E、E分別在邊A3、AC.BC±.,連接DE、EF.已知石O〃3C,

EF//AB,AD=3,DB=9.

BF

(1)求——的值;

(2)若的面積為16,求四邊形也動(dòng)的面積.

4

21.己知：如圖，ABC中，AB=15,BC=14,sinB=-,ADJ.BSD.

(2)如果點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，求cotNEBC大小.

22.如圖，A處有一垂直于地面的標(biāo)桿40,熱氣球沿著與40的夾角為15。的方向升空，到達(dá)B處，這時(shí)在A

處的正東方向200米的C處測(cè)得B的仰角為30°(40、B、C在同一平面內(nèi)).求A、8之間的距離.(結(jié)果精確

到1米，血=1.414)

23.已知：如圖，在中，點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上，DE//BC,ZBDC=ZDEC.求證:

⑵

BC2AC

24.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=以2+法+式。＞0)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0(0,0)、點(diǎn)A(l,3a),此拋物線的

對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為B.

0X

(1)求拋物線的對(duì)稱軸；

(2)如果該拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為。，且ZADC的正切值為2,求。的值；

(3)將這條拋物線平移，平移后，原拋物線上的點(diǎn)A、2分別對(duì)應(yīng)新拋物線上的點(diǎn)昆尸.聯(lián)結(jié)24,如果點(diǎn)尸在

y軸上，PA〃x軸，且=求新拋物線的表達(dá)式.

25.在ABC中，AC=30.點(diǎn)。是射線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合)，點(diǎn)尸在線段5c上，直線。尸交直線

AB于點(diǎn)E,CD?=CFCB.

①求證：DE=BD；

②聯(lián)結(jié)CE,如果CE〃8D,CE=2,求石廠的長(zhǎng).

(2)如果DF:DE=1:2,求：的值.

松江區(qū)2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷初三數(shù)學(xué)

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)

是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上.】

1.下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）

2

A.y-x-2B.y=x2C.y=x2-（x+l）2D.y=—

x

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一般地，形如y=ax2+Zzx+c（a、b、c是常數(shù)，。力0）

的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

根據(jù)二次函數(shù)的定義選擇正確的選項(xiàng)即可.

【詳解】A、y=x-2是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、丁=必符合二次函數(shù)的定義，是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

C、y=12—（x+l）2=—2x-1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、、=三不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意.

X

故選：B.

2.已知在R3ABC中，ZC=90°,NA=a,BC=m,那么AB的長(zhǎng)為（）

mm

A.msma；B.mcosa-C.-------；D.--------

sinacosa

【答案】C

【詳解】試卷分析：解直角三角形得出sinA=gC,代入求出即可.

AB

在R3ACB中，BC=m,ZA=a,

sinAsina

故選C.

考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義.

3.關(guān)于二次函數(shù)y=-2（x-1）2的圖像，下列說(shuō)法正確的是（）

A.開口向上B.經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

C.對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的D.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,0）

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;

由拋物線解析式可得拋物線開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解.

【詳解】y=-2(x-1)2,

拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(L0),

;.%>1時(shí)，y隨x增大而減小，對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的，

把x=0代入y=—2(x—I)?得y=—2,

拋物線經(jīng)過(guò)(0,—2),

故選：C.

4.下列條件中，不能判定a〃。的是()

A.d,//c■>b//c<B.a=-c,b-2cC.a=—2bD.同=3M

【答案】D

【分析】本題考查了平面向量的平行，熟記平面向量平行的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平面向量的相關(guān)定義逐一判斷即可.

【詳解】需.,：a"c,b"c,

rL

a//b\

_rr；.r

Qa--c.b-2c,

:.a//c//b;

Qa=-2b,

:?a〃b，

由同=31|不能得到ab,

故選：D.

5.如圖，在RtZkABC中，/B4C=90°,斜邊5C上的高AH=3,矩形DEFG的邊OE在邊5C上，頂點(diǎn)

G、F分別在邊A3、AC上，如果G尸正好經(jīng)過(guò).A6C的重心，那么5D-EC的積等于()

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，設(shè)一ABC的重心是。，連接A0,

延長(zhǎng)A0交于由三角形的重心的性質(zhì)可得=再結(jié)合矩形的性質(zhì)和平行線分線段成比例及余

角的性質(zhì)證明ABDGs△產(chǎn)EC,即可推出BDCE=FEDG=l.

【詳解】解：設(shè).ABC的重心是。，連接A。，延長(zhǎng)A。交于

四邊形DEFG是矩形，

:.GF〃DE,/GDE=/FED=9Q。,

:.AK:KH=AO:OM,

AK=2KH,

AH=3,

：.KH=-AH=1,

3

ZBAC=90°,

:.ZB+ZC=90°,

ZEFC+ZC=90°,

:.ZB=ZEFC,

ZBDG=ZCEF=90°,

:ABDGsAFEC,

BD;FE=GD:EC,

:.BDCE=FEDG,

FG//BC,GDLBC,KHVBC,FELBC,

.-.DG=FE=KH=1,

:.BDCE=lxl=l.

故選：B.

6.某同學(xué)對(duì)“兩個(gè)相似的四邊形”進(jìn)行探究.四邊形A3CD和四邊形4片和。1是相似的圖形，點(diǎn)A與點(diǎn)4、點(diǎn)

AB,

8與點(diǎn)與、點(diǎn)c與點(diǎn)G、點(diǎn)。與點(diǎn)2分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，已知”=左.該同學(xué)得到以下兩個(gè)結(jié)論：①四邊形

ABCD和四邊形的面積比等于/；②四邊形A3CD和四邊形4片。14的兩條對(duì)角線的和之比等于

k.對(duì)于結(jié)論①和②，下列說(shuō)法正確的是()

A①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確C.①和②都錯(cuò)誤D.①和②都正確

【答案】D

【分析】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，熟記相似多邊形的對(duì)角線的比等于相似比、面積比等于相似比的平方是

解題的關(guān)鍵;

根據(jù)相似多邊形的對(duì)角線的比等于相似比、面積比等于相似比的平方解答即可.

AB,

【詳解】???四邊形A3CD和四邊形是相似圖形，

A4

四邊形ABCD和四邊形是相似比為k，

，四邊形A3CZ）和四邊形的面積比等于k-，四邊形A3CD和四邊形片片和，的兩條對(duì)角線之比等于

k，

，四邊形ABCD和四邊形的兩條對(duì)角線的和之比等于k,則①和②都正確,

故選：D.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7若臺(tái)（則本:

【答案】|

【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：???』y二大1

x2

:.x=2y,

yy_1

x+y2y+y3’

故答案為：—

3

8.A、8兩地的實(shí)際距離A6=250米，畫在地圖上的距離為5厘米，則地圖上的距離與實(shí)際距離的比是

【答案】1:5000

【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離:實(shí)際距離，直接求出即可.

【詳解】解：250米=25000厘米,

比例尺=5:25000=1:5000；

故答案為：1:5000.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例尺，掌握比例尺的計(jì)算方法，注意在求比的過(guò)程中，單位要統(tǒng)一.

9.某印刷廠一月份印書50萬(wàn)冊(cè)，如果從二月份起，每月印書量的增長(zhǎng)率都為x,那么三月份的印書量y(萬(wàn)冊(cè))

與x的函數(shù)解析式是.

【答案】y=50(x+l)2或丁=50f+100%+50

【詳解】因?yàn)橐辉路萦?0萬(wàn)冊(cè)，每月印書量的增長(zhǎng)率都為x,所以二月份印書50(l+x)

三月份印書50(l+x?l+x)=50(x+l)2=50/+ioo尤+50

【點(diǎn)睛】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用是?？純?nèi)容，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的信息，根據(jù)題目給出的條件，找出合適

的等量關(guān)系，列出方程再求解，屬于中檔題.

10.己知點(diǎn)P是線段A5的黃金分割點(diǎn)，且4°>3尸，如果AB=5,那么AP=.

-5+575

【答案】

2

【分析】本題考查了黃金分割點(diǎn)的應(yīng)用，把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大

的比值，則這個(gè)比值即為黃金分割；根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義列方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)AP長(zhǎng)為無(wú)，則成長(zhǎng)為5—x,

列方程得：X2=5(5-X),

解得：-5+5&,—5—5》（舍去）

1222

?..AP長(zhǎng)為+5君,

2

故答案為：一5+5〉.

2

11.在直角坐標(biāo)平面中，將拋物線y=-(X+1T+2,先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，那么平移后的

拋物線表達(dá)式是.

【答案】y=—(x+2)2

【分析】此題考查的是二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律：括號(hào)內(nèi)左加右減，括號(hào)外上加下減求解即

可.

【詳解】解：將拋物線y=-(x+l『+2,先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，那么平移后的拋物線表達(dá)

式是、=—(x+l+iy+2—2=—(x+2『，

故答案為：y=—(x+2)2.

12.如果一個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在x軸上，且在y軸的右側(cè)部分是上升的.請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式:

【答案】丁=4必，答案不唯一

【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會(huì)利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各項(xiàng)系數(shù).

由于二次函數(shù)的頂點(diǎn)在x軸上，且在y軸的右側(cè)部分是上升的，由此可以確定二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，由此

可以確定函數(shù)解析式不唯一.

【詳解】解：???二次函數(shù)的頂點(diǎn)在x軸上，且在y軸的右側(cè)部分是上升的，

這個(gè)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，

符合條件的函數(shù)有＞=4必，答案不唯一.

答案為：丁=4必，答案不唯一.

13.如圖，一輛小車沿著坡度為1:2.4的斜坡從A點(diǎn)向上行駛了50米，到達(dá)2點(diǎn)，那么此時(shí)該小車上升的高度為

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度無(wú)和水平寬度/的比是解題

的關(guān)鍵.

設(shè)小車上升的高度為x米，根據(jù)坡度的概念得到AC=2.4%米，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案.

【詳解】設(shè)小車上升高度為=x米，斜坡的坡度為1:2.4,

/.AC=2.4x米，

由勾股定理得：x2+(24x)2=502,

250

解得：%二，J■(負(fù)值舍去)，

250

???小車上升的高度為——米，

13

250

故答案為：---.

13

14.如圖，梯形A8CD中，AB//CD,且？萬(wàn)=§,若AB=m,AD=〃.請(qǐng)用機(jī)，〃來(lái)表小AC=

DC

4

【分析】此題考查了平面向量，根據(jù)平行四邊形法則得到AC=AD+DC,即可用加、"表示AC.

【詳解】'：AB//CD,母=\，AB=m，

-3一

DC——m,

4

3

AC=AD+DC—n-\——m,

4

■

故答案為：n+-m.

4

15.如圖，已知直線乙、4、4分別交直線加于點(diǎn)A、B、C,交直線〃于點(diǎn)。、E、F,且/[〃]〃心

AB=2BC,DF=6,那么EF=.

【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵.

AHr)p

先由/]〃/2〃4,運(yùn)用平行線分線段成比例的內(nèi)容可得^=——=2,再將。石二。/—跖=6—所代入求出

EF,即可求解.

【詳解】解：,??/I〃/2〃/3，A5=2BC,

ABDE?

----=-----=2,

BCEF

QDE=DF—EF=6—EF,

EF

解得￡F=2.

故答案為：2.

16.如圖，在梯形A3CD中，點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，BE、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F如果

AZ):BC=2:3，那么S^EDF*^/\AEB=-----------------?

F

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)f作3C

的垂線交于點(diǎn)交DE于點(diǎn)、G,過(guò)點(diǎn)8作斯，八4,交ZM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，可得四邊形BHGK為矩

形，則BKuGH,由題意可得DE:6c=1:3,證明1t.OEFSCBE,則FG:FH=DE:5c=1:3,即

FG:GH=FG:BK=1:2,將SE?F：SMB化簡(jiǎn)為EG:BK,即可得出答案.

【詳解】過(guò)點(diǎn)尸作5c的垂線交3C于點(diǎn)H,交DE于點(diǎn)、G,過(guò)點(diǎn)B作5KLZM,交ZM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，

AD\BC,

：.FGLAD,

...四邊形5HGK為矩形,

BK=GH,

:點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

AE=DE,

AD'.BC=2:3,

DE:BC=1:3,

AD\\BC,

/FED=ZFBC,ZFDE=ZFCB,

:.一DEFs」CBF,

:.FG:FH=DE:BC=1:3,

:.FG:GH=FG:BK=1:2,

■■■SEDF:SAEB=^DE-FG^:^AE-BK^=FG:BK=1:2,

故答案為：1:2.

17.在中，A6=AC,點(diǎn)。、￡分別是邊A3、AC的中點(diǎn)，BE與CD相交于點(diǎn)。，如果△03C是等邊

三角形，那么tan/ABC=.

【答案】3A/3

【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，掌握相似三角形

的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)A作AG，3c于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)、E作EFJ.BC于點(diǎn)F,連接。E,根據(jù)△03C是等邊三角形，得出

ZOBC=ZOCB=ZBOC=60°,OB=OC=BC,設(shè)OB=OC=BC=2m,根據(jù)點(diǎn)。、E分別是邊AB、AC

的中點(diǎn)，得出DE=m,DE//BC,AE=CE=-AC,證明△口?！?△。（羽，得出0石=機(jī)，BE=3m,

2

根據(jù)EF_LBC,NOBC=60°,得出sinZOBC=—，EF=^m，證明NCEFfCAG,從而得出

22

AG-3y/3m，

再求出AG=36=〃2,即可求解；

【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AGL3C于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作跖工6c于點(diǎn)P，連接OE，

?/△03C是等邊三角形，

ZOBC=Z.OCB=ABOC=60°,OB=OC=BC,

設(shè)OB=OC=BC=2m(m>0),

，點(diǎn)。、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，

DE=—BC=—-2m=m,DE//BC,AE=CE=—AC,

222

t\D0EsXC0B,

?OEDE_1

OB~BC~2'

OE=—OB=—"2m=tn,

22

BE=OB+OE=2m+m=3m,

EF上BC,NOBC=60°,

PF出

sinZOBC=—=sin600=-,

BE2

._V3A/3?3G

222

AG±BC,EF±BC,

/.AG//EF,

.NCEF^NCAG,

?EFCE_1

"AG-AC-2'

EF=-AG,

2

???AG=2EF=2上6m=30n，

2

?：AB=AC,AG±BC,

BG=CG=—BC=—x2m=m,

22

?；AG±BC,AG=30n,BG=m,

AG3y/3mn-

tanNABC--------------—3/3，

BGm

故答案為：36.

18.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,將邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)8落在8'處，連接BB'、

CB',若/班'C=90°,HOBB'=

【分析】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答該題的關(guān)鍵是掌

握以上知識(shí)點(diǎn)；

3

過(guò)A作AEL58'，設(shè)5E=〃E=x，證明VABEsVBCB',根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出B'E=—x,再運(yùn)用勾

2

股定理列方程解答即可；

【詳解】將邊A5繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖所示，過(guò)A作

貝UAB'=AB,BE=B'E,ZBB'C=90°,

設(shè)BE=B'E=x,

QZABC=ZABE+NEBC=90°,NBCB'+B'BC=90°,

:.ZABE=ZBCB',

ZBB'C=ZAEB=90°,

.NABE^NBCB',

ABBE

一法一否’

2_x

"3"BZ7;

3

:.B'C=-x,

2

.?.在VBC8中,9=(2x『+1|x|，

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.二次函數(shù)y二4爐+人龍+c（〃wo）的圖像上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表.

A

oX

（1）由表格信息，求出該二次函數(shù)解析式，并寫出該二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)。的坐標(biāo);

（2）如果該二次函數(shù)圖像與y軸交于點(diǎn)4點(diǎn)P（5,t）是圖像上一點(diǎn)，求八的面積.

【答案】（1）y=_?_4x+3,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,—1）

(2)15

【分析】本題考查二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，并配方找到頂點(diǎn)坐標(biāo)即可;

（2）求出直線AP的解析式，過(guò)點(diǎn)。作。軸交Q4于點(diǎn)E,得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)S工從

計(jì)算即可.

【小問1詳解】

解：把（0,3）、（1,0）、（2,-1）代入得:

c=3a—\

a+b+c=0,解得<b=-4,

4〃+2b+c=-lc=3

???函數(shù)關(guān)系式為：y=4x+3,

y=x~—4x+3=（x—2）~_1,

頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,—1）；

【小問2詳解】

解：當(dāng)工=5時(shí)，y=8,

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（5,8）,

設(shè)直線AP的解析式為y=nix+n,把點(diǎn)（0,3）和（5,8）代入得:

〃二3m=l

，解得：＜

5m+n—8n=3

???解析式為y=%+3,

過(guò)點(diǎn)。作軸交于點(diǎn)E,

當(dāng)x=2時(shí)，y-5,

...點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,5),

ADE=5-(-l)=6,

S=-DE-|^F-xA|=-x6x(5-0)=15.

20.如圖，在一ABC中，點(diǎn)。、E、尸分別在邊A3、AC,上，連接OE、EF.已知石D〃3C,

EF//AB,AD=3,DB=9.

BF

(1)求一的值;

FC

(2)若「ABC的面積為16,求四邊形①動(dòng)的面積.

【答案】(1)g

(2)6

【分析】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì):

(1)根據(jù)平行線分線段成比例求解即可;

(2)證明△ADES/VRC,AEFCs^ABC,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求得VADE和

.跖。的面積，再根據(jù)四邊形屏立)的面積為=5小g-S-5.改求解即可.

【小問1詳解】

解：ED//BC,EF//AB,

AD_AEBF_AE_

—,

~DB~~EC,~FCEC

AD_AE_BF

DB-~EC~~FC

又1AD=3,DB=9,

BFAD_3_1

'~FC~~DB^9~3"

【小問2詳解】

解：AD=3,DB=9,

:.AB=AD+DB=n,

ED//BC,

.?△ADEsAABC,

.?.VADE與的相似比是：-=—=

AB124

.SADEJADy_1

5ABe〔4J16，

_ABC的面積為16,

1，

EF//AB,

:.一EFCs_ABC,

由(1)知6b：b。=1:3,

/.FC:BC=3:4,

.S.EFC「嚴(yán)丫(3J9

SAABC\BC)11+3J16)

一^AEFC=9，

，四邊形5FED的面積為=S44BC-SAME-=16—1—9=6.

4

21.已知：如圖，ABC中，AB=15,BC=14,sinB=-,ADIBC于D

(2)如果點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，求cotNEBC大小.

23

【答案】(1)13(2)—

12

【分析】本題考查解直角三角形，相似三角形性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，勾股定理，關(guān)鍵是由銳角的正弦

求出A。長(zhǎng)，證明是八4。。的中位線.

(1)由銳角的正弦求出A。長(zhǎng)，由勾股定理求出長(zhǎng)，得到CD長(zhǎng)，由勾股定理即可求出AC長(zhǎng).

(2)過(guò)E作而，CD,由相似三角形性質(zhì)，推出￡>〃=CH=LCD=—,得到即是△ADC的中位線，因

22

?23RH23

此E”=—AD=6,求出BH=BD+DH=—,即可求出cot/E3C=——=—.

22EH12

小問1詳解】

解：?.?ADL5C,

.八AD4

sin/LABC==一,

BA5

QAB=15,

..AD=12,

BD=VAB2-AD2=9,

:.CD=BC-BD=14-9=5,

AC=A/A02+CD2=13;

【小問2詳解】

解：過(guò)E作EHLCD于H,

EH//AD,

:二ADCsJEHC,

:.AE:EC=DH:HC,

點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，

AE=EC,

,-.DH=CH=-CD=~,

22

???EH是八4。。的中位線,

:.EH=-AD=6,

2

23

I2

23-

cot/EBC==12

EH

22.如圖，A處有一垂直于地面的標(biāo)桿AM,熱氣球沿著與40的夾角為15。的方向升空，到達(dá)8處，這時(shí)在A

處的正東方向200米的C處測(cè)得B的仰角為30°（AM、&C在同一平面內(nèi)）.求A、8之間的距離.（結(jié)果精確

到1米，Q=1.414）

【答案】A、B之間的距離約為141米

I分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解

題的關(guān)鍵；

過(guò)點(diǎn)A作ADIBC,垂足為。，根據(jù)題意可得：AC=200米，N5AC=105°,NC=30。，從而利用三角形內(nèi)

角和定理可得NASD=45°,然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得AD=100米，再在

RtA血中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AOSBC,垂足為D,

由題意得：AC=200米，NR4C=90°+15°=105°,NC=30。，

ZABD=180°-ZSAC-ZC=45°,

在RLACD中，ZC=30°,

4。=J4。=100（米），

2

AD

AB=^2=10072?141

在處_ABD中,sin45°0（米），

2

23.已知：如圖，在一ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上，DE//BC,ZBDC=ZDEC.求證:

A

⑵咚但

BC2AC

【答案】(1)見詳解(2)見詳解

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

(1)利用三角形的內(nèi)角和定理的推論和相似三角形的判定定理解答即可；

(2)利用三角形的內(nèi)角和定理的推論和相似三角形的判定定理得到-DECs-CDB,利用相似三角形的性質(zhì)得到

CD2=DEBC＞再證明△ADESAABC,利用相似三角形的性質(zhì)和等量代換的性質(zhì)解答即可.

【小問1詳解】

證明：?/ZBDC=/DEC,NBDC=ZA+ZACD,ZDEC=ZA+ADE,

：.ZADE=ZACD,

VZA=ZA，

AADE^AACD；

【小問2詳解】

,:DE〃BC,

：./EDC=/BCD,

'：ABDC=/DEC,

:.—DECS—CDB,

.CDDE

,?BLCD'

CD2=DEBC.

,CD2DE

"BC7"BC'

?：DE//BC,

：.AADE^AABC,

DEAE

"BC~AC'

CD*2_AE

,BC7-AC'

24.在平面直角坐標(biāo)系X0y中，拋物線、=g2+法+式?！?)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。(0,。)、點(diǎn)41,34),此拋物線的

對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為股

(1)求拋物線的對(duì)稱軸；

(2)如果該拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為。，且ZADC的正切值為2,求a的值；

(3)將這條拋物線平移，平移后，原拋物線上的點(diǎn)A、8分別對(duì)應(yīng)新拋物線上的點(diǎn)E、P.聯(lián)結(jié)E4,如果點(diǎn)尸在

y軸上，PA〃x軸，且NEQ4=NCBO,求新拋物線的表達(dá)式.

【答案】(1)直線x=—1

(2)a=2

e忘2,3A/2

⑶y------xH--------

-22

【分析】該題主要考查了二次函數(shù)綜合，涉及知識(shí)點(diǎn)主要有解直角三角形，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的

性質(zhì)和判斷，函數(shù)平移等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)；

(1)將0(0,。)、A(l,3a)代入解析式再求解即可；

AN

(2)過(guò)A作軸，根據(jù)tan/ADC=2=——，求解即可；

DN

(3)由⑴算出3(—1,4),C(-l,0),再根據(jù)點(diǎn)尸在y軸上，PA〃x軸，作5K_Ly軸于K,得出

BK=AP=LZA"=NBLK,證明VAPLABKL,得出PL=LK=2a,又結(jié)合平移得出

pjnr1

tanZPAL=一=2a,在5co中，tanZCBO=—=-,由tan/PAL=tanNCBO,列方程解出

APBCa

J2

a=—，即可求解；

2

【小問1詳解】

Qy=ax2+Zzx+c過(guò)0(0,0),

c=0,

又過(guò)A(l,3。),

a+b+c=3a,

:.b—2a,

y=ax2+/zx+c的對(duì)稱軸為直線％=---==-1,

2a2a

小問2詳解】

由(1)知Z?=2a,c=0,

??%—0,入2——2,

???。(-2,0),

過(guò)A作AN_Lx軸，

,\DN=1-(-2)=3,

AN

...tanNADC=2=——,

DN

：.AN=2DN=6,

..3a—6,

a=2.

【小問3詳解】

由(1)得，y-ax2+lax=a(^+2x+l-l^=tz(x+l)2-a,

：.對(duì)稱軸為直線x=—1,

故C（-1,0）,

作軸于K,

,\BK=AP=1,

設(shè)AB交y軸于L,

.?.尸（0,3Q）,

??.ZALP=/BLK,

又ZAPL=ZBKL=90。,

:NAPL^BKL,

PL=LK,

又PK=3〃一（一a）=4a,

PL=LK—勿，

PL-LK—2Q,

又由平移知上P〃AB,

???ZEPA二ZPAL,

PL

tan/PAL-......-2a,

AP

OC1

又在BCO中,tanZCBO=——二一,

BCa

Q/CBO=/EPA,

.?.ZPAL=/CBO,

tan/PAL=tan/CBO,

2?！?

a

2。2=1,

.?.a2_——1,

2

a-----------,

22

Q>0,

,_V2

..Q-，

2

二次函數(shù)解析式為y=*2+0,

.“為(°，2)

二新拋物線解析式為y=1/+￡!.

22

25.在-ABC中，AC=50.點(diǎn)。是射線AC上一點(diǎn)(不與4C重合)，點(diǎn)尸在線段6C上，直線交直線

于點(diǎn)￡,CD?=CFCB.

D

公；

AEHAD

備用圖

(l