第6章空間向量與立體幾何章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

第6章空間向量與立體幾何模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：空間向量及其線性運(yùn)算經(jīng)典題型二：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算經(jīng)典題型三：空間向量基本定理經(jīng)典題型四：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示經(jīng)典題型五：用空間向量研究平行、垂直問(wèn)題經(jīng)典題型六：用空間向量研究異面直線所成角問(wèn)題經(jīng)典題型七：用空間向量研究線面角問(wèn)題經(jīng)典題型八：用空間向量研究二面角問(wèn)題經(jīng)典題型九：用空間向量研究距離問(wèn)題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類(lèi)討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③特殊到一般思想模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：空間向量及其線性運(yùn)算例1．（2024·四川瀘州·高二四川省瀘縣第四中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四面體中，，，，點(diǎn)M在上，且，N為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．例2．（2024·遼寧遼陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，M為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．例3．（2024·福建莆田·高二仙游一中校聯(lián)考期末）如圖，平行六面體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，，若，則（

）A． B． C． D．例4．（2024·山東棗莊·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段上靠近點(diǎn)E的一個(gè)三等分點(diǎn)，令，，，則（）A． B．C． D．例5．（2024·北京西城·高二北師大二附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，若，，則（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型二：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算例6．（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）正四面體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，，，則.例7．（2024·重慶黔江·高二重慶市黔江中學(xué)校校考階段練習(xí)）向量，向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是.例8．（2024·湖南張家界·高二張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為．例9．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）若，則例10．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若是一個(gè)單位正交基底，且向量，，．經(jīng)典題型三：空間向量基本定理例11．（2024·山東·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，，下列命題中正確的（

）A．若向量，共線，則向量，所在的直線平行B．若向量，所在的直線為異面直線，則向量，一定不共面C．若存在不全為0的實(shí)數(shù)使得，則，，共面D．對(duì)于空間的任意一個(gè)向量，總存在實(shí)數(shù)使得例12．（2024·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，為空間一點(diǎn)，且滿足，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上例13．（2024·河北保定·高二河北定興第三中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在平行六面體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足．若四點(diǎn)在同一個(gè)平面上，則（

）A． B． C． D．例14．（2024·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，空間四邊形中，，，，且任意兩個(gè)之間的夾角均為，，，則（

）A． B． C． D．2例15．（2024·廣東深圳·高二深圳第三高中?？计谀┰谄叫辛骟w中，若，則（

）A． B．1 C．2 D．經(jīng)典題型四：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示例16．（2024·新疆喀什·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，且，則.例17．（2024·四川達(dá)州·高二?？茧A段練習(xí)），若，則實(shí)數(shù)值為.例18．（2024·廣東珠?！じ叨？茧A段練習(xí)）已知向量，，，若向量與所成角為銳角，則實(shí)數(shù)的范圍是.例19．（2024·湖南衡陽(yáng)·高二?？计谀┮阎蛄?，，且與平行，則.例20．（2024·廣東惠州·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn).若點(diǎn)在平面內(nèi)，則x=.例21．（2024·河南鄭州·高二鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若向量共面，則．例22．（2024·貴州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量，則在上的投影向量的模為.例23．（2024·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知，則向量與的夾角為．例24．（2024·北京通州·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，.則與的夾角的余弦值為；在的投影向量.經(jīng)典題型五：用空間向量研究平行、垂直問(wèn)題例25．（多選題）（2024·山東日照·高二山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例26．（多選題）（2024·云南曲靖·高二校考期末）設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則，使得 D．若，則例27．（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中學(xué)校考期末）如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：例28．（2024·廣東江門(mén)·高二臺(tái)山市華僑中學(xué)?？计谀╅L(zhǎng)方體中，，.點(diǎn)為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面.例29．（2024·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正四棱錐的高為6，，且M是棱上更靠近C的三等分點(diǎn).(1)證明：；(2)若在棱上存在一點(diǎn)N，使得平面，求的長(zhǎng)度.例30．（2024·廣東清遠(yuǎn)·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，底面分別是的中點(diǎn)，.(1)求兩點(diǎn)間的距離；(2)求證：平面；(3)求證：平面平面.經(jīng)典題型六：用空間向量研究異面直線所成角問(wèn)題例31．（2024·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，是棱上任意一點(diǎn)．(1)求證：；(2)若是棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值．例32．（2024·黑龍江佳木斯·高二?？计谀┤鐖D，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.’(1)求證:(2)求三棱錐的體積(3)求異面直線所成的角的最小值.例33．（2024·新疆喀什·高二?？计谀┮阎忾L(zhǎng)為2的正方體，點(diǎn)M、N分別是和的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)寫(xiě)出圖中、、M、N的坐標(biāo).(2)求直線AM與NC所成角的余弦值.例34．（2024·廣東惠州·高二校考期末）如圖，四棱錐SABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD，E，F(xiàn)分別是SC，SA的中點(diǎn)，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD=4.(1)求證：EO平面SAD；(2)求異面直線EO與BF所成角的余弦值.經(jīng)典題型七：用空間向量研究線面角問(wèn)題例35．（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．例36．（2024·陜西西安·高二高新一中?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面ABC，．(1)過(guò)作出三棱柱的一個(gè)截面，使AB與截面垂直，并給出證明；(2)求與平面所成角的正弦值．例37．（2024·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習(xí)）在四棱錐中，底面為梯形，，，，平面．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．例38．（2024·陜西西安·高二?？计谀┤鐖D所示的四棱錐的底面是一個(gè)等腰梯形，，且，是的中線，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)若平面平面，且，，求直線與平面所成角的正弦值.經(jīng)典題型八：用空間向量研究二面角問(wèn)題例39．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高二雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，圓柱底面直徑長(zhǎng)為4，是圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)為圓弧中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若該圓柱的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.例40．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高二河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到點(diǎn)處，平面平面.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.例41．（2024·四川成都·高二石室中學(xué)校考期末）已知三棱錐中，，，，.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的正弦值.例42．（2024·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，.(1)求點(diǎn)到平面ABCD的距離；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例43．（2024·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐（如圖一）的平面展開(kāi)圖（如圖二）中，四邊形為邊長(zhǎng)等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．經(jīng)典題型九：用空間向量研究距離問(wèn)題

55．（2024·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)在棱上，且.(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)若點(diǎn)在棱上，且到平面的距離為，求到直線的距離.例44．（2024·陜西寶雞·高二陜西省寶雞市長(zhǎng)嶺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直四棱柱的高為3，底面是邊長(zhǎng)為4且的菱形，，，是的中點(diǎn)．(1)求二面角的大??；(2)求點(diǎn)到平面的距離．例45．（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，求：(1)求直線到平面的距離；(2)求平面與平面間的距離.例46．（2024·遼寧葫蘆島·高二校聯(lián)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．(1)求到直線的距離；(2)求到平面的距離．例47．（2024·天津南開(kāi)·高二天津市天津中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱臺(tái)中，若平面，分別為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離；(4)求點(diǎn)到直線的距離．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類(lèi)討論思想例48．（2024·浙江·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知長(zhǎng)方體中，，，用過(guò)該長(zhǎng)方體體對(duì)角線的平面去截該長(zhǎng)方體，則所得截面的面積最小值為（

）A． B． C． D．例49．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面與平面成角，，則C與D之間的距離是（

）A． B．C．或 D．或例50．（2024·浙江·校聯(lián)考三模）在正方體中，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、，當(dāng)平面分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面所成的銳二面角大小為（

）A． B． C． D．②轉(zhuǎn)化與化歸思想例51．（2024·寧夏銀川·高二賀蘭縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在三棱錐中，為的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．例52．（2024·河北保定·高二校聯(lián)考期末）定義：設(shè)是空間的一個(gè)基底，若向量，則稱(chēng)實(shí)數(shù)組為向量在基底下的坐標(biāo).已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個(gè)基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的模長(zhǎng)為（

）A．3 B． C．9 D．6例53．（2024·安徽合肥·高二校聯(lián)考期末）如圖是元代數(shù)學(xué)家郭守敬主持建造的觀星臺(tái)，其可近似看作一個(gè)正四棱臺(tái)，若，點(diǎn)在上，且，則（

）A． B．C． D．例54．（2024·北京·高二?？计谀┤鐖D，已知多面體的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，底面，，且.若直線與平面所成的角為，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．③特殊