高中數(shù)學(xué)（人教A版）必修4：2-2-1同步試題（含詳解）

PAGEPAGE7高中數(shù)學(xué)(人教A版)必修4同步試題1．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))，則()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四邊形解析由向量的平行四邊形法則知，ABCD一定是平行四邊形．答案D2．向量(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＋(eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋eq\o(OM,\s\up15(→))化簡(jiǎn)后等于()A.eq\o(CB,\s\up15(→)) B.eq\o(AB,\s\up15(→))C.eq\o(AC,\s\up15(→)) D.eq\o(AM,\s\up15(→))解析(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＋(eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋eq\o(OM,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋(eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OM,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋0＝eq\o(AC,\s\up15(→))，故選C.答案C3．向量a，b皆為非零向量，下列說(shuō)法不正確的是()A．向量a與b反向，且|a|>|b|，則向量a＋b與a的方向相同B．向量a與b反向，且|a|<|b|，則向量a＋b與a的方向相同C．向量a與b同向，則向量a＋b與a的方向相同D．向量a與b同向，則向量a＋b與b的方向相同解析向量a與b反向，且|a|<|b|，則a＋b應(yīng)與b方向相同，因此B錯(cuò)．答案B4．對(duì)任意向量a，b，在下式中：①a＋b＝b＋a；②(a＋b)＋c＝b＋(a＋c)；③|a＋b|＝|a|＋|b|；④|a＋b|≤|a|＋|b|，恒成立的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析因?yàn)橄蛄考臃M足交換律，結(jié)合律，所以①，②恒成立．|a＋b|＝|a|＋|b|僅當(dāng)a與b同向或有零向量時(shí)成立，所以③不恒成立．由向量模的幾何定義知④恒成立．故選C.答案C5．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝c，eq\o(BC,\s\up15(→))＝b，則|a＋b＋c|為()A．0 B.eq\r(2)C．3 D．2eq\r(2)解析|a＋b＋c|＝|2c|＝2|c|＝2eq\r(2).應(yīng)選D.答案D6．若a，b滿足|a|＝2，|b|＝3，則|a＋b|的最大值為__________，最小值為__________．解析當(dāng)a與b同向時(shí)，|a＋b|有最大值|a|＋|b|＝5.當(dāng)a與b反向時(shí)，|a＋b|有最小值|b|－|a|＝1.答案517．下列結(jié)論：①a－a＝0；②a－b＝a＋(－b)；③設(shè)a，b為任意向量，則|a＋b|>0；④若eq\o(AB,\s\up15(→))∥eq\o(BC,\s\up15(→))，且|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝2012，|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝1，則|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|＝2013.其中正確的有________．解析a－a＝0，故①錯(cuò)；②正確；③中當(dāng)a＋b＝0時(shí)，不成立，故③錯(cuò)；④中當(dāng)eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(BC,\s\up15(→))方向相反時(shí)，不正確，故④錯(cuò)．答案②8．設(shè)a表示“向東走了2km”，b表示“向南走了2km”，c表示“向西走了2km”，d表示“向北走了2km”，則(1)a＋b＋c表示向________走了________km；(2)b＋c＋d表示向________走了________km；(3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析(1)如圖所示，a＋b＋c表示向南走了2km.(2)如圖②所示，b＋c＋d表示向西走了2km.(3)如圖①所示，|a＋b|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，a＋b的方向是東南．答案(1)南2km(2)西2km(3)2eq\r(2)東南9．如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))；(2)eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(FE,\s\up15(→))；(3)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(FE,\s\up15(→)).解(1)如圖，由正六邊形的性質(zhì)知，OABC為平行四邊形，∴eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→)).(2)由圖知，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(FE,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(FE,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→)).(3)∵eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(FE,\s\up15(→))，eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))，∴eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(FE,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝0.10.如右圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且eq\o(BP,\s\up15(→))＝eq\o(QC,\s\up15(→)).求證：eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AP,\s\up15(→))＋eq\o(AQ,\s\up15(→)).證明由圖可知eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AP,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AQ,\s\up15(→))＋eq\o(QC,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AP,\s\up15(→))＋eq\o(AQ,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(QC,\s\up15(→)).∵eq\o(BP,\s\up15(→))＝eq\o(QC,\s\up15(→))，又eq\o(PB,\s\up15(→))與eq\o(BP,\s\up15(→))模相等，方向相反，故eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(QC,\s\up15(→))＝eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(BP,\s\up15(→))＝0.∴eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AP,\s\up15(→))＋eq\o(AQ,\s\up15(→)).教師備課資源1.在Rt△ABC中，若∠A＝90°，|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝2，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝3，則eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))的模等于()A.eq\r(13) B．2eq\r(2)C．3 D．5解析由題意知|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up15(→))|2＋|\o(AC,\s\up15(→))|2)＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，應(yīng)選A.答案A2．已知下列各式：①eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))；②(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OM,\s\up15(→))；③eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(CO,\s\up15(→))；④eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)).其中結(jié)果為0的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析①eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0.②(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→))＋eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))≠0.③eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(CO,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→))≠0.④eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0.其中結(jié)果為0的有兩個(gè)．答案B3．①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同；②△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0；③若eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0，則A，B，C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；④若a，b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析①不正確，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，不成立．②正確．③不正確．當(dāng)A，B，C共線時(shí)，不成立．④不正確．因?yàn)閨a＋b|≤|a|＋|b|.應(yīng)選B.答案B4．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))|等于________．解析|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))|＝|2eq\o(AC,\s\up15(→))|＝2eq\r(2).答案2eq\r(2)5．如圖，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AF,\s\up15(→))＝b，求eq\o(AC,\s\up15(→))，eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(AE,\s\up15(→)).解如下圖，連接FC交AD于點(diǎn)O，連接OB，由平面幾何知識(shí)得四邊形ABOF和四邊形ABCO均為平行四邊形．根據(jù)向量的平行四邊形法則，有eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AF,\s\up15(→))＝a＋