人教版八年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練 專題17.7 勾股定理的逆定理（基礎篇）（專項練習）

專題17.7勾股定理的逆定理（基礎篇）（專項練習）一、單選題1．以下列各組數(shù)作為三邊的長，不能圍成直角三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．已知一個的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（

）A．25 B．14 C．7 D．7或253．如圖，是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設計的“畢達哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是3，4，5，6，9選取其中三塊（可重復選取）按圖的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（

）A．5，6，9 B．4，5，9 C．3，4，5 D．3，3，64．如圖所示，小正方形的邊長均為1，A、B、C三點均在正方形格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C．點A到直線的距離為2 D．5．如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°6．若三角形的三邊長分別為，，，且滿足，則此三角形中最大的角是（

）A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．無法確定7．如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為（）A．90° B．60° C．45° D．30°8．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，則AC的長為()．A．11 B．10 C．9 D．89．已知一個三角形三邊長分別是4，9，12，要作最長邊上的高正確的圖形做法是（）A． B． C． D．10．如圖，在中，，，，和的平分線交于點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．二、填空題11．若、、為的三邊長，且滿足，則是______三角形．12．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，各頂點均在網(wǎng)格的格點上，于點D，則的長為_____．13．如圖，在中，，，，將沿折疊得，連接，則______．14．如圖，在中，點D是AB上一點，連接CD，，，，，則AB的長為________．15．如圖，已知，，，，則點C到BD的距離為______．16．如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，則BC的長為______．17．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分別以Rt△ABC三邊為直徑作半圓，則陰影部分面積為_______.18．如圖，在中，，點為上一點，連接，，，，則________．三、解答題19．閱讀：已知、、為的三邊長，且滿足，試判斷的形狀．【解析】解：因為，①所以②所以③所以是直角三角形④請據(jù)上述解題回答下列問題：（1）上述解題過程，從第______步（該步的序號）開始出現(xiàn)錯誤，錯的原因為______；（2）請你將正確的解答過程寫下來．20．如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于點D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．(1)求CD的長；(2)求AB的長；(3)判斷△ABC的形狀．21．為了綠化環(huán)境，我縣某中學有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量，，米，米，米，米，（1）求出空地ABCD的面積．（2）若每種植1平方米草皮需要200元，問總共需投入多少元？22．探究題：如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底邊長為8cm，腰長為5cm，一動點P在底邊上從點B出發(fā)向點C以0.25cm/s的速度移動，請你探究：當點P運動多長時間時，點P與頂點A的連線PA與腰垂直．在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖甲，小明據(jù)此構造處該島的一個數(shù)學模型（如圖乙四邊形ABCD），AC是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，千米，千米．(1)求小溪流AC的長．(2)求四邊形ABCD的面積．（結(jié)果保留根號）24．我市夏季經(jīng)常收臺風天氣影響，臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風中心沿東西方向AB由點A行駛向點B，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為300km和400km，且km，以臺風中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)求證：；(2)海港C受臺風影響嗎？為什么？(3)若臺風的速度為40km/h，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？參考答案1．C【分析】根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可．【詳解】解：A．，，，，，作為三邊的長，能圍成直角三角形，選項正確，不符合題意；B．，，，，，作為三邊的長能圍成直角三角形，選項正確，不符合題意；C．，，，，，作為三邊的長不能圍成直角三角形，選項錯誤，符合題意；D．，，，，，作為三邊的長能圍成直角三角形，選項正確，不符合題意；故選C．【點撥】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．2．D【分析】由于4是三角形的直角邊與斜邊不能確定，故應分兩種情況進行討論．【詳解】解：由于4是三角形的直角邊與斜邊不能確定，故應分兩種情況進行討論：（1）3、4都為直角邊，由勾股定理得，斜邊為5；（2）3為直角邊，4為斜邊，由勾股定理得，直角邊為．∴第三邊長的平方是25或7，故選：D．【點撥】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．3．B【分析】根據(jù)勾股定理，，則小的兩個正方形的面積等于大正方形的面積，再分別進行判斷，即可得到面積最大的三角形．【詳解】設三個正方形的邊長為：a、b、c（，），且使所圍成的三角形是直角三角形，∴，A.∵，故不符合題意；B.∵，∴三角形的面積為：；C.∵，故不符合題意；D.∵，∴三角形的面積為：；∵，∴，故選：B【點撥】本題考查了以直角三角形三邊為邊長的圖形面積和判斷三邊能否構成直角三角形，以及三角形的面積公式，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理．4．B【分析】根據(jù)格點及勾股定理可得，，，然后根據(jù)勾股定理逆定理及等積法可進行求解．【詳解】解：由圖可得：，，，∴，∴是直角三角形，即，∴，設點A到直線的距離為h，∴，∴，綜上可知只有B選項錯誤；故選B．【點撥】本題主要考查勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．5．C【分析】連接AC，由于，利用勾股定理可求AC，并可求，而，易得，可證是直角三角形，于是有，從而易求∠BCD．【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵，∴，又，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．故選：C．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是連接AC，并證明是直角三角形．6．B【分析】因為a、b、c為一個三角形的三邊長，化簡，可得a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出該三角形為直角三角形．【詳解】∵，∴a2+b2=c2，∴該三角形為直角三角形.故選B.【點撥】本題考查勾股定理的逆定理，解題的關鍵是掌握勾股定理的逆定理.7．C【分析】根據(jù)勾股定理即可得到AB，BC，AC的長度，進行判斷即可．【詳解】解：連接AC，如圖：根據(jù)勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．∵（）2+（）2=（）2．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC=45°．故選C．【點撥】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關鍵．8．B【分析】在直角△ABD中由勾股定理可以求得AD的長度；然后在直角△ACD中，根據(jù)勾股定理來求線段AC的長度即可．【詳解】如圖，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵AB=17，BD=15，DC=6，∴在直角△ABD中,由勾股定理得到：AD2=AB2?BD2=64.在直角△ACD中,由勾股定理得到：AC==10，即AC=10.故選B.【點撥】此題考查勾股定理，解題關鍵在于掌握運算公式.9．C【分析】由三角形的三邊為4，9，12，可知該三角形為鈍角三角形，其最長邊上的高在三角形內(nèi)部，即過最長邊所對的角的頂點，作對邊的垂線，垂足在最長邊上．【詳解】解：∵42+92=97＜122，∴三角形為鈍角三角形，∴最長邊上的高是過最長邊所對的角的頂點，作對邊的垂線，垂足在最長邊上．故選：C．【點撥】本題考查了三角形高的畫法．當三角形為銳角三角形時，三條高在三角形內(nèi)部；當三角形是直角三角形時，兩條高是三角形的直角邊，一條高在三角形內(nèi)部；當三角形為鈍角三角形時，兩條高在三角形外部，一條高在內(nèi)部．10．A【分析】根據(jù)勾股定理逆定理，可以得出是直角三角形，，根據(jù)平分，平分，即可得出答案．【詳解】∵在中，，，，∴，∴∴∵平分，平分，∴，∴故選A．【點撥】本題考查了勾股定理逆定理，角平分線的定義，熟練掌握性質(zhì)靈活運用是本題的關鍵．11．直角【分析】首先根據(jù)求出a，b，c的值，然后根據(jù)勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】∵∴∴解得∵，∴∴是直角三角形．故答案為：直角．【點撥】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．明確非負數(shù)的性質(zhì)：如果一組非負數(shù)的和為0時，則每一個非負數(shù)都等于0．12．2【分析】由勾股定理可求的長，由勾股定理的逆定理可證，由面積法可求解．【詳解】解：由題意可得：，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：2．【點撥】本題考查了勾股定理及勾股定理逆定理，三角形的面積公式，證明是解題的關鍵．13．【分析】根據(jù)勾股定理逆定理得到，根據(jù)翻折性質(zhì)得出，，然后借助三角形的面積公式列出關于線段CO的關系式，問題即可解決．【詳解】解：如圖，連接交于點O，∵，，，，∴，∴，根據(jù)翻折的性質(zhì)得，，，∵，∴，∴，故答案為：．【點撥】此題考查了翻折的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題的關鍵．14．4【分析】首先在△CDB中，BC2＝CD2＋DB2，由勾股定理的逆定理得到△CDB為直角三角形，所以∠CDB＝90°，在Rt△ADC中由勾股定理可求出AD的值，從而求出AB＝AD＋DB＝4.【詳解】解：在△CDB中，BC2＝22＝4，CD2＋DB2＝，∴BC2＝CD2＋DB2，∴△CDB為直角三角形，∴∠CDB＝90°，∴∠ADC=90°，在Rt△ADC中，由勾股定理可得，∴AB＝AD＋DB＝4.故答案為：4.【點撥】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握勾股定理和逆定理的應用方法是本題的解題關鍵.15．##【分析】先勾股定理求得，進而勾股定理的逆定理判定是直角三角形，進而根據(jù)等面積法求點C到BD的距離．【詳解】解：∵，，∴，，，是直角三角形設點C到BD的距離為，則故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理是解題的關鍵．16．【分析】延長AD到E，使DE=AD，連接BE．先運用SAS證明△ADC≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定理的逆定理證明出∠BAE=90°，然后在△ABD中運用勾股定理求出BD的長，從而得出BC=2BD．【詳解】解：延長AD到E，使DE=AD，連接BE．在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=13．在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，∴AB2+AE2=BE2，∴∠BAE=90°．在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，∴BD=，∴BC=．故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，綜合性較強，難度中等．題中延長中線的一倍是常用的輔助線的作法．17．6【分析】先利用勾股定理列式求出BC，再根據(jù)陰影部分面積等于以AC、BC為直徑的兩個半圓的面積加上直角三角形ABC的面積減去以AB為直徑的半圓的面積，列式計算即可得解．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵AB=5，AC=4，∴，S陰影=直徑為AC的半圓的面積+直徑為BC的半圓的面積+S△ABC－直徑為AB的半圓的面積======6.【點撥】本題考查了勾股定理，半圓的面積，熟記定理并觀察圖形表示出陰影部分的面積是解題的關鍵．18．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可得，然后設，則，在中，根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴，即，設，則，在中，，∴，解得：，即．故答案為：【點撥】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，根據(jù)題意得到是解題的關鍵．19．（1）③，忽略了的情況；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)題意可直接進行求解；（2）由因式分解及勾股定理逆定理可直接進行求解．【詳解】解：（1）由題意可得：從第③步開始錯誤，錯的原因為：忽略了的情況；故答案為③；忽略了的情況；（2）正確的寫法為：當時，；當時，；所以是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．【點撥】本題主要考查勾股定理逆定理及因式分解，熟練掌握勾股定理逆定理及因式分解是解題的關鍵．20．（1）CD長為12；（2）AB的長為25；（3）△ABC是直角三角形【詳解】解：在△BCD中，∵CD⊥AB，∴BD2＋CD2＝BC2∴CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144．∴CD＝12．（2）在△ACD中，∵CD⊥AB，∴CD2＋AD2＝AC2∴AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256．∴AD＝16．∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25．（3）∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625，∴AB2＝BC2＋AC2∴△ABC是直角三角形．21．（1）24平方米；（2）4800元【分析】（1）連接，在直角三角形中可求得的長，由、、的長度關系可得三角形為一直角三角形，為斜邊；由此看，四邊形的面積等于面積減的面積解答即可；（2）根據(jù)題意列式計算即可．【詳解】解：（1）連接，在中，，在中，，，而，即，，．（2）需費用（元），答：總共需投入4800元．【點撥】本題考查了勾股定理的應用，通過勾股定理由邊與邊的關系也可證明直角三角形，這樣解題較為簡單．22．當點P運動的時間為7s或25s時，點P與頂點A的連線與腰垂直．【分析】利用勾股定理求出AD的長，再利用勾股定理逆定理即可證明垂直.【詳解】（1）過點A作AD⊥BC于點D.∵AB＝AC，BC＝8cm，∴BD＝CD＝BC＝4cm.由勾股定理，得AD＝＝3(cm)．分兩種情況：(1)如圖，當點P運動t秒后有PA⊥AC（P在線段BD上）時，∵AP2＝PD2＋AD2＝PC2－AC2，∴PD2＋32＝(PD＋4)2－52，∴PD＝2.25cm，∴BP＝4－2.25＝1.75，∴0.25t＝1.75，解得t＝7.(2)當點P運動t秒后有PA⊥AB（P在線段CD上）時，同理可得PD＝2.25，∴BP＝4＋2.25＝6.25，∴0.25t＝6.25，解得t＝25.綜上所述，當點P運動的時間為7s或25s時，點P與頂點A的連線與腰垂直．【點撥】本