高數(shù)課件佚名反常積分初步

§6.5反常積分初步二、瑕積分三、Γ函數(shù)與B函數(shù)一、無(wú)窮限積分

前面介紹的定積分是限定在有界函數(shù)在有限區(qū)間上的積分問(wèn)題，現(xiàn)將其推廣到無(wú)窮區(qū)間或無(wú)界函數(shù)上，稱無(wú)限區(qū)間上的積分為無(wú)窮限積分，稱無(wú)界函數(shù)的積分為瑕積分，統(tǒng)稱為反常積分（或稱為廣義積分、非正常積分）一無(wú)窮限積分（一）無(wú)窮限積分的定義和性質(zhì)1定義：

上式右邊兩個(gè)反常積分中若有一個(gè)發(fā)散，則此無(wú)窮限積分發(fā)散，只有右邊兩個(gè)都收斂才收斂。2利用定義判別無(wú)窮限積分的斂散性例1

討論下列無(wú)窮限積分的斂散性：解：3無(wú)窮限積分的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：（2）性質(zhì)2：

（3）性質(zhì)3：引入記號(hào)則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:（4）性質(zhì)4：

另外，定積分的換元積分法和分部積分法在無(wú)窮限積分中也是適用的。4利用性質(zhì)計(jì)算無(wú)窮限積分舉例例2討論下列無(wú)窮限積分的斂散性：（1）利用分部積分公式有：

這個(gè)例題的結(jié)論很重要，后面常用它作為判別其它無(wú)窮限積分?jǐn)可⑿缘囊罁?jù)。若作如下運(yùn)算則是錯(cuò)誤的：

因?yàn)橛疫厓蓚€(gè)無(wú)窮限積分均不收斂，不滿足相關(guān)性質(zhì)的條件，因此不能將其化為兩個(gè)無(wú)窮限積分的差。（二）無(wú)窮限積分?jǐn)可⑿缘呐袆e1當(dāng)f(x)為保號(hào)函數(shù)時(shí)(1)引理：（2）比較判別法：①②證明：(3)比較判別法的極限形式①②③(4)柯西判別法①②（5）判別舉例例3

判別下列無(wú)窮限積分的斂散性：解：這兩題中的被積函數(shù)的原函數(shù)均不能用初等函數(shù)來(lái)表示，因此不能用收斂定義中的極限是否存在進(jìn)行判別2絕對(duì)收斂與條件收斂（1）絕對(duì)收斂：（2）結(jié)論：

（3）條件收斂：

類似可定義另外兩種形式的條件收斂。并且任何無(wú)窮限積分必定是發(fā)散、條件收斂和絕對(duì)收斂中的某一個(gè)，三者必居其一。（4）應(yīng)用舉例例4

判別下列無(wú)窮限積分的斂散性：解：因?yàn)楸环e函數(shù)在積分區(qū)間上不保號(hào)，所以不能用保號(hào)函數(shù)的相關(guān)結(jié)論來(lái)處理。二瑕積分（一）定義1定義：2可以類似定義另外兩種形式的瑕積分此時(shí)只有右邊兩個(gè)瑕積分均收斂，才有瑕積分收斂。3利用定義判別瑕積分?jǐn)可⑿耘e例例5討論下列瑕積分的斂散性：解：

這個(gè)例題的結(jié)論很重要，后面將用它來(lái)判別其它瑕積分的斂散性。

另外，在應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法和分部積分法計(jì)算時(shí)，必須指出瑕點(diǎn)，被積函數(shù)的原函數(shù)在瑕點(diǎn)處的值按照初等函數(shù)的連續(xù)性來(lái)求。例6

判別下列瑕積分的斂散性：解：注：下述計(jì)算是錯(cuò)誤的：錯(cuò)誤出現(xiàn)的原因是：（二）瑕積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法1比較判別法：3比較判別法的極限形式：3柯西判別法：

另外，瑕積分也可類似于無(wú)窮限積分一樣，定義和討論瑕積分的絕對(duì)收斂和條件收斂。4判別法應(yīng)用舉例例7

判別下列瑕積分的斂散性：解：例8解：此反常積分中既有無(wú)窮限積分，也有瑕積分，稱其為混合型反常積分，只有它們兩者都收斂時(shí)才收斂。三Γ函數(shù)與B函數(shù)1、Γ函數(shù)概念：2、Γ函數(shù)的性質(zhì)證明：3、B函數(shù)的概念4、B函數(shù)的性質(zhì)證明：5、應(yīng)用舉