數(shù)學建模-電梯調(diào)度問題16

電梯調(diào)度問題

商業(yè)中心某寫字樓有二十二層地上建筑樓層和兩層地下停車場，6部電梯，每部電梯最大載重是20個正常成人的體重總和。工作日里每天早晚頂峰時期均是非常擁擠，而且等待電梯的時間明顯增加。請你針對早晚頂峰期的電梯調(diào)度問題建立數(shù)學模型，以期獲得合理的優(yōu)化方案。

1〕請給出假設干合理的模型評價指標。

2〕暫不考慮該寫字樓的地下局部，每層樓層的平均辦公人數(shù)經(jīng)過調(diào)查〔見表1〕。假設每層樓之間電梯的平均運行時間是3秒，最底層(地上一層)平均停留時間是20秒，其他各層假設停留，那么平均停留時間為10秒，電梯在各層的相應的停留時間內(nèi)乘梯人員能夠完成出入電梯。表1：該寫字樓各層辦公人數(shù)樓層人數(shù)樓層人數(shù)樓層人數(shù)12345678無20852177222513018119123679101112131415162366139272272272270300264171819202l22200200200200207207

請你針對這樣的簡化情況，建立你的數(shù)學模型〔列明你的假設〕，給出一個盡量最優(yōu)的電梯調(diào)度方案，并利用所提評價指標進行比擬。

3〕將你在第2問中所建立的數(shù)學模型進一步實際化，以期能夠盡量適用于實際情況，用于解決現(xiàn)實的電梯調(diào)度問題。

問題備注：此題的評分標準按照以下先后順序：邏輯的嚴謹程度-行文與模型描述的條理程度-模型和現(xiàn)實問題的接近程度-以及所用數(shù)學工具的理論程度。摘

要隨著科技的開展，人們逐步加快了自己的步伐，高節(jié)奏的生活，對于時間的要求，越來越高，寫字樓里的人來也匆匆去也匆匆，在頂峰期時段對電梯的使用最多，電梯的合理化應用在此顯得尤為重要，沒有合理的優(yōu)化方案，不僅影響了乘客的上班時間，同時，電梯的屢次停頓也造成了一定程度的能源浪費，所以在此提出得到優(yōu)化方案，并作出計算分析其優(yōu)化程度。本文首先根據(jù)電梯群控模型評價指標體系，從乘客者的候梯時間和乘梯時間和能耗三個角度考慮。最初選定方案一電梯編號負責樓層1—22-103—411-175—618-22方案二電梯編號負責樓層1234562789103111213414151651718196202122

我們將建立一個多目標規(guī)劃模型，對該模型的建立，分三個目標：乘客的平均候梯時間要短，乘客的平均乘梯時間要短，能源耗損要少。利用這三個指標來綜合評價電梯群控方案的優(yōu)劣。并采用模糊評價和多目標優(yōu)化群控和借助實現(xiàn)蒙特卡羅模擬的思想，建立了全面合理的電梯調(diào)度方案的評價體系。并將模擬出的數(shù)據(jù)代入評價函數(shù)，從而幫助確定電梯調(diào)度的最正確策略。根據(jù)建模得到的結(jié)果，最終得到的最正確方案為方案二。最后本文還根據(jù)使用的算法，結(jié)合實際情況，對模型的優(yōu)缺點進行了詳細的分析與評價，并提出了改良和模型推廣方向。最后本文就所建立的模型在實際運用中的作用進行了分析，并提出了改良方向。結(jié)合實際，參加重要因素的考慮，比方考慮其他交通流，考慮個別人群滿意度。關(guān)鍵詞

排隊系統(tǒng)動態(tài)優(yōu)化算法層次分析局部調(diào)整計算機模擬仿真一，問題的重述電梯是高層建筑的主要垂直交通工具，在現(xiàn)代社會中扮演著極其重要的角色。如今在一幢寫字樓中，由于每天早晚上下班的時間固定，所以人們乘坐電梯的時間也相對集中，在某些時間段人流相對密集。結(jié)果有幾部電梯在頂峰時段每一層都停下來各上一兩位乘客，這樣導致乘客的平均等待時間較長，平均乘梯時間長且電梯能耗較大。因此，改善電梯在頂峰模式下的調(diào)度算法，研究改善當前電梯運行情況的方案?，F(xiàn)實地觀察：現(xiàn)有一幢寫字樓，6部電梯，每部電梯最大載重是20個正常成人的體重總和.每層樓層的平均辦公人數(shù)經(jīng)過調(diào)查〔見表1〕。假設每層樓之間電梯的平均運行時間是3秒，最底層(地上一層)平均停留時間是20秒，其他各層假設停留，那么平均停留時間為10秒，電梯在各層的相應的停留時間內(nèi)乘梯人員能夠完成出入電梯。早晨上班頂峰時期的交通流全部為從門廳上行的乘客〔不考慮其他性質(zhì)的交通流〕。下午下班的總?cè)藬?shù)仍從每層的下樓人數(shù)可用隨機數(shù)模擬，下班時乘客都下到門廳〔不考慮其他性質(zhì)的交通流〕在第一問中，我們?yōu)?個電梯安排好各自負責的樓層，之間互不干擾。利用計算機仿真，模擬出各個乘客的樓層與到達的時間。經(jīng)過局部調(diào)整和屢次計算，比擬得出較好。二、問題分析此題建立了一個電梯群控模型，研究在頂峰模式下改善電梯調(diào)度算法、優(yōu)化電梯運行情況方案的問題。首先，為得到最優(yōu)的結(jié)果，應在提高顧客滿意度的同時，使電梯的能量消耗也維持在一個比擬低的水平。考慮到優(yōu)化前的方案在頂峰時段每一層都停下來各上一兩位乘客，造成了時間的浪費，延長了乘客的等待時間，因此在設計較為優(yōu)化的調(diào)度方案時，應盡量防止每一層都停下來。基于上述原那么，結(jié)合題目要求與約束條件，考慮到現(xiàn)實生活中的要求，建立了一些調(diào)度方案。將這些方案與原有方案進行比擬，度量縮短的等待時間，進而判斷每種方案的可取程度。在第一問共兩個評價指標“乘客滿意度”和“電梯的能耗”在第二中，將影響電梯調(diào)度模型的各個因素利用層次分析法進行融合，得到總體的滿意度評價體系。利用該體系衡量問題一中的方案，即可比擬出各個方案的改善程度。該局部主要運用MATLAB進行層次分析。方案二電梯編號負責樓層1234562789103111213414151651718196202122此方案為最優(yōu)方案。第三問，為使建議能被采納，需向管理員申明利弊，比擬得出新模型的優(yōu)越性，利用數(shù)據(jù)進行說明，就比擬容易讓人信服，并最終被采納。三．模型的假設1.早晨某一時刻以前辦公人員已陸續(xù)到達最底層。

2上班頂峰期時，當電梯下降時，沒有人員在其中，電梯直接從原目標層回到最底層；下班頂峰期類似。

3.電梯只能運送目標層在工作區(qū)間內(nèi)的員工，而不能運送其他員工，即使它已經(jīng)處在待命狀態(tài)。4、進入轎廂的人是理想的，即不存在個體差異，能進入轎廂的乘客數(shù)與轎廂額定載人數(shù)正好相符合；5、電梯的層間運行時間，層站?？恳淮蔚臅r間是相同的，固定的，不因轎廂內(nèi)乘客的多少而發(fā)生變化；6、電梯在層站?？啃枰潭ǖ囊欢螘r間，但每個乘客出入電梯不需要任何時間；7、所有乘客對電梯的優(yōu)先權(quán)是相同的，不存在需要優(yōu)先效勞的乘客，除非電梯系統(tǒng)認為該乘客為長時間等待而需要優(yōu)先效勞：8.電梯到達目標層立即停止，不考慮時間造成的浪費。9.電梯無任何故障到達目標層，及?？繒r間。四．符號說明n乘坐電梯的乘客總數(shù)乘坐電梯的乘客總數(shù)乘客i早晨到達門廳的時間乘客i上行時的目標樓層乘客i下行前到達所在樓層電梯入口的時間乘客i下行前所在樓層所有乘客的平均等待時間所有乘客的平均乘梯時間所有乘客上樓時的平均等待時間所有乘客上樓時的平均乘梯時間所有乘客下樓時的平均等待時間所有乘客下樓時的平均乘梯時間乘客i在上樓時，進入電梯之前的等待時間〔僅當乘客需要排隊等待電梯時計算〕乘客i在下樓時，進入電梯之前的等待時間〔僅當乘客需要排隊等待電梯時計算〕乘客i在上樓時，在電梯內(nèi)的乘梯時間乘客i在下樓時，在電梯內(nèi)的乘梯時間電梯上行時走過的總的路程電梯下行時走過的總的路程電梯上行時的平均停靠次數(shù)電梯下行時的平均?？看螖?shù)i電梯i在上行過程中總的?？看螖?shù)電梯i在下行過程中總的?？看螖?shù)乘客對平均等待時間的滿意度乘客對平均乘梯時間的滿意度對電梯?？靠偞螖?shù)的滿意度對電梯運行總路程的滿意度Y電梯群控模型調(diào)度方案的綜合評價指標五、電梯群控模型評價指標體系的建立在電梯的群控模型中，不同的電梯調(diào)度方案會產(chǎn)生不同的調(diào)度結(jié)果。為比擬各種調(diào)度方法的優(yōu)劣，有必要建立電梯群控模型的評價指標體系，來比擬不同調(diào)度方案的不同。影響電梯調(diào)度方案好壞的因素有很多，但為簡化模型，并結(jié)合題目中的具體要求，將“乘客滿意度”和“電梯的能耗”作為影響電梯調(diào)度方案好壞的主要因素。5.1乘客滿意度評價指標結(jié)合題目的說明以及實際生活中人們對于乘梯的要求，從乘客的角度上講，為了使乘客的滿意度盡可能地大，即乘客盡可能快地到達目的地，并在乘坐電梯的過程中保證一定程度的乘坐舒適度，設計電梯調(diào)度方案時應該考慮以下幾個影響乘客滿意度的主要因素：◆乘客的平均等待時間ˉt要短；◆乘客的平均乘梯時間ˉt′要短；上述各個指標的計算方法如下，計算過程中采用了歸一化思想：所有乘客的平均等待時間ˉt的計算：==拷來的圖？如何推的，或者從哪里摘引來的？拷來的圖？如何推的，或者從哪里摘引來的？5.2電梯能源消耗評價指標現(xiàn)實生活中，衡量一個電梯的能耗要綜合考慮多種因素，如電梯的加速與減速過程、電梯運行的路程、電梯能量轉(zhuǎn)化效率等等。如將這些因素全部考慮，往往會使所建立的模型過于復雜，不能得到影響能耗的主要矛盾。基于上述考慮，并且由于題目中沒有給出關(guān)于能耗的具體要求，故把電梯整個運行過程〔包含上升和下降〕中的?？看螖?shù)、電梯上升下降過程中走過的總的路程作為衡量電梯能耗大小的指標。電梯的能耗的大小與電梯運行的總路程大致呈正相關(guān)；又由于電梯每停一次，都牽涉到加速過程，而電梯加速時的耗能相對于勻速來說略有加大，因此把電梯的行走路程和?？看螖?shù)作為衡量電梯能耗的指標。為使電梯能耗盡可能地低，應盡量使：◆電梯上升與下降過程中的總的停靠次數(shù)盡可能地短;◆電梯完成一天的運送任務時，所經(jīng)過的總路程(+)盡可能地短；上述各個指標的計算方法如下，計算過程中采用了歸一化思想：電梯?？靠偞螖?shù)的計算方法：其中q表示所有6個電梯在上行過程中總的?？看螖?shù)，q表示所有6個電梯在下行過程中總的?？看螖?shù)，Q表示整個電梯群控系統(tǒng)在一天內(nèi)完成所有的運送任務后總的停靠次數(shù)。電梯經(jīng)過的總路程的計算方法：其中表示電梯i在上行過程中所經(jīng)過的總路程,表示電梯在下行過程所經(jīng)過的總路程，S表示整個電梯群控系統(tǒng)在一天內(nèi)完成所有運送任務后經(jīng)過的總的路程。5.3運用層次分析法計算各個指標的權(quán)重利用歸一化原那么與模糊分析的方法,將以上各個指標分別量化到以0-1為范圍的滿意度函數(shù)?！舫丝推骄却龝r間由于乘客滿意度與負相關(guān)，我們建立Z型隸屬度函數(shù)來反映二者之間的關(guān)系：滿意度與的函數(shù)圖像如下：由圖可知，根據(jù)電梯運行的實際情況，我們規(guī)定：當取20s時，滿意度為1；當取30s時，滿意度為0.◆乘客的平均乘梯時間t同樣，由于乘客滿意度與負相關(guān)，我們建立Z型隸屬度函數(shù)來反映二者之間的關(guān)系：滿意度與的函數(shù)圖像如下：由圖可知，根據(jù)電梯運行的實際情況，我們規(guī)定：當取20s時，滿意度為1；當取45s時，滿意度Y為0數(shù)值設定的合理性如何說明？.數(shù)值設定的合理性如何說明？◆電梯?？靠偞螖?shù)Q根據(jù)實際生活情況可知，電梯的?？看螖?shù)Q越大，那么電梯群控系統(tǒng)的運載效率越低，耗能會相應增加；并且隨著的增大，相應的加速階段也會隨之增多，造成能耗的進一步加大。因此，可以認為對電梯?？靠偞螖?shù)的滿意度與負相關(guān)。由此，利用Z型隸屬度函數(shù)來反映二者之間的關(guān)系。對電梯停靠總次數(shù)的滿意度與之間的函數(shù)圖像：結(jié)合實際情況，我們認為當Q大于240時，較小，可視為0；當Q小于170時，較大，可視為1?！綦娞萁?jīng)過的總路程S電梯的運行總路程越大，那么電梯群控系統(tǒng)消耗的能量越多，滿意度也會相對降低。因此，從降低能耗的角度考慮，可以認為對電梯運行路程的滿意度與負相關(guān)。由此，利用Z型隸屬度函數(shù)來反映二者之間的關(guān)系。對電梯運行路程的滿意度與之間的函數(shù)圖像：結(jié)果如上圖所示。結(jié)合實際情況，我們認為當S大于7000時，較小，可視為0；當S小于3000時，較大，可視為1。六、電梯調(diào)度方案的建立與求解〔問題一〕6.1乘客乘梯流程分析6.1.1.乘客乘梯流程圖1)乘客上行流程：2)乘客下行流程：從上述流程圖可以看出，乘梯流程有以下特點：1.流程流向單一，所有乘客上行和下行的流程完全相同；2.未對電梯調(diào)度方案優(yōu)化之前，電梯在上行和下行時,在每一個有照應的樓層都會?？浚菀自斐蓵r間的延長和能耗的增加；3.乘客時，如果看到有適宜的電梯，會立即排隊進入該電梯，不存在人為等待的情況。6.1.2.對乘梯流程主要環(huán)節(jié)的描述1)上行階段：當乘客i到達門廳時，如果此時沒有電梯可以乘坐，乘客就按下呼叫按鈕并等待。從乘客i到達門廳的時刻到電梯到達門廳之間的這段時間稱為乘客i的上行等待時間，即；如果乘客i到達門廳時，恰好有電梯可以乘坐，那么等待時間為0，即=0。應注意，同時到達門廳并且乘坐同一電梯的人，消耗的等待時間是一樣的。從電梯到達門廳的時刻，到乘客i到達自己的目的樓層，中間經(jīng)歷的時間稱為乘客i的乘梯時間，即。乘梯時間包含：1.電梯啟動前，電梯的開門時間、所有要坐此次電梯的乘客進入電梯的總時間、電梯的關(guān)門時間2.電梯在到達乘客i的目標樓層之前，中途停止所消耗的時間3.電梯到達乘客i的目標樓層后，電梯開門時間、所有在該樓層下的乘客走出電梯的時間、電梯的關(guān)門時間。主要過程如下：應注意，從同一樓層進入電梯的人，消耗的乘梯時間是一樣的。負責低樓層的電梯，運行周期相對較短；而負責高樓層的電梯運行周期較長。如果兩組電梯負責樓層平均分配的話，高樓層的乘客等待時間會普遍偏長。為了均衡這種差距，我們安排負責低樓層的電梯負責的樓層數(shù)相對于高樓層來說有所增多。在此根底上，對這兩組電梯所負責的樓層數(shù)進行了屢次局部調(diào)調(diào)，并對每次調(diào)整后的結(jié)果進行計算機模擬，得到與每次調(diào)整相對應的指標，通過分析和計算，我們得到：電梯編號負責樓層單個周期所需時間/s等效時間/s總時間/s1—22—101648264503—411--171869377805—618--22196984900上述結(jié)果為方案一中的最優(yōu)結(jié)果。在方案二中，采取與方案一向類似的計算方法。通過局部調(diào)整及多種方案的比擬，我們得到：電梯編號負責樓層單個周期所需時間總時間/s12345610046002789101144674311121312250024141516130546051718191584740620212217654566.2電梯的能耗分析電梯的能耗計算如下：方案一：電梯編號負責樓層電梯能耗1—22—10794h3—411--17670h5—618--221092h第二種方案：電梯編號負責樓層電梯能耗123456426h278910770h3111213504h4141516609h5171819640h6202122653h注：h指樓層高6.3模型的優(yōu)缺點分析◆模型的優(yōu)點：1.由于每次模擬時，乘客的到達時間信息與樓層信息都不一樣，所以不會有絕對完美的電梯群控系統(tǒng)調(diào)度方案。但本模型通過屢次計算取近似值，通過屢次調(diào)整來求解較優(yōu)解，能夠較好的計算出大多數(shù)情況都會節(jié)省時間和能耗的方案。2.通過計算機模擬，本模型能夠很好的計算出各個調(diào)度方案所得到的最終結(jié)果，有利于屢次計算來提高精度。3．雖然本模型只是針對6部電梯、22層樓的情況，但是該模型還可以適用于其他的樓層，適用性和推廣性較強?！裟Ｐ偷娜秉c：1.實際的電梯程控模型中，需要考慮的因素很多。但是由于時間限制，本模型沒能在將這些因素一一考慮，只考慮了幾種比擬重要的因素，所見模型較為粗略。2.本模型只進行了一些比擬常見并且較好的調(diào)度方案之間的比擬，并未考慮其他較為狹隘的電梯調(diào)度方法，所以不太全面。七、模型的改良在現(xiàn)實生活中的要改良電梯群控系統(tǒng)時，除需考慮時間和能耗因素外，還應該考慮其他因素，如其他交通流和個別人群的滿意度問題。將這些因素考慮進去之后，盡管模型相對復雜，但是更切合實際，更加有利于實際應用。八、參考文獻[1]FrankR.等.數(shù)學建模.葉其孝，姜啟源等譯.北京：機械工業(yè)出版社，2005.[2]姜啟源.數(shù)學模型.第二版.北京：高等教育出版社，1993.[3]孫榮桓，李建平.排隊論根底.北京：科學出版社，2002.[4]陸風山.排隊論及其應用.長沙：湖南科學技術(shù)出版社，1984.附件：代碼Matlab中的求極小極大化問題：functionminimax123()%在編輯窗口建立新函數(shù)A=[1,-1,0,0,0;0,1,-1,0,0;0,0,1,-1,0;0,0,0,1,-1;0,0,0,0,1];b={0;0;0;0;21};Aeq=[];beq=[];lb=[0;0;0;0;0];ub=[];x0=[1,1,1,1,1,1];x,y=fminimax(@ffun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%求極小極大化問題的調(diào)用格式function[y1,y2,y3,y4,y5,y6]=ffun(x)y1=16*x(1)+4;y2=6*x(1)+16*x(2)+14;y3=6*x(1)-10*x(2)+16*x(3)+14;y4=6*x(1)-10*x(3)+16*x(4)+14;y5=6*x(1)-10*x(4)+16*x(5)+14;y6=-10*x(1)+10*x(5)+360;調(diào)用的那個代碼：defaultopt=struct('Display','final',...'TolX',1e-6,'TolFun',1e-6,'TolCon',1e-6,'DerivativeCheck','off',...'Diagnostics','off','FunValCheck','off',...'GradObj','off','GradConstr','off','MaxFunEvals','100*numberOfVariables',...'MaxIter',400,...'MaxSQPIter','10*max(numberOfVariables,numberOfInequalities+numberOfBounds)',...'Hessian','off','LargeScale','off',...%notused'DiffMaxChange',1e-1,'DiffMinChange',1e-8,'MeritFunction','multiobj',...'MinAbsMax',0,'TypicalX','ones(numberOfVariables,1)',...'OutputFcn',[],...'RelLineSrchBnd',[],'RelLineSrchBndDuration',1,'NoStopIfFlatInfeas','off',...'PhaseOneTotalScaling','off');%Ifjust'defaults'passedin,returnthedefaultoptionsinXifnargin==1&&nargout<=1&&isequal(FUN,'defaults')x=defaultopt;returnendifnargin<10,options=[];ifnargin<9,NONLCON=[];ifnargin<8,UB=[];ifnargin<7,LB=[];ifnargin<6,Beq=[];ifnargin<5,Aeq=[];ifnargin<4,B=[];ifnargin<3,A=[];ifnargin<2error('optim:fminimax:NotEnoughInputs',...'fminimaxrequirestwoinputarguments.')end,end,end,end,end,end,end,end,end%Checkfornon-doubleinputs%SUPERIORFLOATerrorswhensuperiorinputisneithersinglenordouble;%Weusetry-catchtooverrideSUPERIORFLOAT'serrormessagewheninput%datatypeisinteger.trydataType=superiorfloat(x,A,B,Aeq,Beq,LB,UB);if~isequal('double',dataType)error('optim:fminimax:NonDoubleInput',...'FMINIMAXonlyacceptsinputsofdatatypedouble.')endcatcherror('optim:fminimax:NonDoubleInput',...'FMINIMAXonlyacceptsinputsofdatatypedouble.')endxnew=[x(:);0];numberOfVariablesplus1=length(xnew);numberOfVariables=numberOfVariablesplus1-1;diagnostics=isequal(optimget(options,'Diagnostics',defaultopt,'fast'),'on');switchoptimget(options,'Display',defaultopt,'fast')case{'off','none'}verbosity=0;case'notify'verbosity=1;case'final'verbosity=2;case'iter'verbosity=3;otherwiseverbosity=2;end%SettocolumnvectorsB=B(:);Beq=Beq(:);[xnew(1:numberOfVariables),l,u,msg]=checkbounds(xnew(1:numberOfVariables),LB,UB,numberOfVariables);if~isempty(msg)EXITFLAG=-2;[FVAL,MAXFVAL,LAMBDA]=deal([]);OUTPUT.iterations=0;OUTPUT.funcCount=0;OUTPUT.stepsize=[];OUTPUT.algorithm='minimaxSQP,Quasi-Newton,line_search';OUTPUT.firstorderopt=[];OUTPUT.cgiterations=[];OUTPUT.message=msg;x(:)=xnew(1:numberOfVariables);ifverbosity>0disp(msg)endreturnendneqgoals=optimget(options,'MinAbsMax',defaultopt,'fast');%meritFunctionTypeis1unlesschangedbyusertofminconmeritfunction;%formerlyoptions(7)%0usesthefminconsingle-objectivemeritandHess;1isthedefaultmeritFunctionType=strcmp(optimget(options,'MeritFunction',defaultopt,'fast'),'multiobj');lenVarIn=length(varargin);%goalconandgoalfunalsotake:neqgoals,funfcn,gradfcn,WEIGHT,GOAL,xgoalargs=6;funValCheck=strcmp(optimget(options,'FunValCheck',defaultopt,'fast'),'on');usergradflag=strcmp(optimget(options,'GradObj',defaultopt,'fast'),'on');usergradconstflag=strcmp(optimget(options,'GradConstr',defaultopt,'fast'),'on');userhessflag=strcmp(optimget(options,'Hessian',defaultopt,'fast'),'on');ifuserhessflagwarning('optim:fminimax:UserHessNotUsed','FMINIMAXdoesnotuseuser-suppliedHessian.')userhessflag=0;endifisempty(NONLCON)userconstflag=0;elseuserconstflag=1;endline_search=strcmp(optimget(options,'LargeScale',defaultopt,'fast'),'off');%0meanstrust-region,1meansline-searchif~line_searchwarning('optim:fminimax:NoLargeScale','Large-scalealgorithmnotcurrentlyavailableforthisproblemtype.')line_search=1;endgradflag=1;%alwayscancomputegradientofgoalfunsincebasedonxhessflag=0;%If(user)nonlinearconstraintsexist,need%eitherbothfunctionandconstraintgradients,ornotifuserconstflagifusergradflag&&usergradconstflaggradconstflag=1;elseifusergradflag&&~usergradconstflagusergradfl