指數(shù)函數(shù)及其性質

指數(shù)函數(shù)及其性質【學習目標】1.掌握指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件的合理性，明確指數(shù)函數(shù)的定義域；2.掌握指數(shù)函數(shù)圖象：(1)能在根本性質的指導下，用列表描點法畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，能從數(shù)形兩方面認識指數(shù)函數(shù)的性質；(2)掌握底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖象的影響；(3)從圖象上體會指數(shù)增長與直線上升的區(qū)別．3.學會利用指數(shù)函數(shù)單調性來比擬大小，包括較為復雜的含字母討論的類型；4.通過對指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質的學習，培養(yǎng)觀察、分析歸納的能力，進一步體會數(shù)形結合的思想方法；5.通過對指數(shù)函數(shù)的研究，要認識到數(shù)學的應用價值，更善于從現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題．【要點梳理】要點一、指數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)，函數(shù)定義域為R.要點詮釋：〔1〕形式上的嚴格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)．像，，等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)．〔2〕為什么規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1：①如果，那么②如果，那么對于一些函數(shù)，比方，當時，在實數(shù)范圍內函數(shù)值不存在．③如果，那么是個常量，就沒研究的必要了．要點二、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質：y=ax0<a<1時圖象a>1時圖象圖象性質①定義域R，值域〔0，+∞〕②a0=1,即x=0時，y=1，圖象都經(jīng)過(0，1)點③ax=a，即x=1時，y等于底數(shù)a④在定義域上是單調減函數(shù)④在定義域上是單調增函數(shù)⑤x<0時，ax>1x>0時，0<ax<1⑤x<0時，0<ax<1x>0時，ax>1⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)要點詮釋：〔1〕當?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論?！?〕當時，；當時。當時，的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快。當時，的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快。〔3〕指數(shù)函數(shù)與的圖象關于軸對稱。要點三、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律〔1〕②③④那么：0＜b＜a＜1＜d＜c又即：x∈(0,+∞)時，〔底大冪大〕x∈(－∞,0)時，〔2〕特殊函數(shù)的圖像：要點四、指數(shù)式大小比擬方法(1)單調性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行比擬.(2)中間量法(3)分類討論法(4)比擬法比擬法有作差比擬與作商比擬兩種，其原理分別為：①假設；；；②當兩個式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可．【典型例題】類型一、指數(shù)函數(shù)的概念例1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求的值．【答案】2【解析】由是指數(shù)函數(shù)，可得解得，所以．【總結升華】判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)：〔1〕切入點：利用指數(shù)函數(shù)的定義來判斷；〔2〕關鍵點：一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)要求系數(shù)為1，底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)，指數(shù)必須是自變量．舉一反三：【變式1】指出以下函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)？〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕．【答案】〔1〕〔5〕〔6〕【解析】〔1〕〔5〕〔6〕為指數(shù)函數(shù)．其中〔6〕=，符合指數(shù)函數(shù)的定義，而〔2〕中底數(shù)不是常數(shù)，而4不是變數(shù)；〔3〕是-1與指數(shù)函數(shù)的乘積；〔4〕中底數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)．類型二、函數(shù)的定義域、值域例2．求以下函數(shù)的定義域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a為大于1的常數(shù))【答案】〔1〕R，(0，1)；〔2〕R[)；〔3〕；〔4〕(-∞，-1)∪[1，+∞)[1，a)∪(a，+∞)【解析】(1)函數(shù)的定義域為R(∵對一切xR，3x≠-1).∵，又∵3x>0，1+3x>1，∴，∴，∴，∴值域為(0，1).(2)定義域為R，，∵2x>0，∴即x=-1時，y取最小值，同時y可以取一切大于的實數(shù)，∴值域為[).(3)要使函數(shù)有意義可得到不等式，即，又函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，即，值域是.(4)∵∴定義域為(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵，∴，∴值域為[1，a)∪(a，+∞).【總結升華】求值域時有時要用到函數(shù)單調性；第(3)小題中值域切記不要漏掉y>0的條件，第(4)小題中不能遺漏.舉一反三：【變式1】求以下函數(shù)的定義域：(1)(2)(3)(4)【答案】〔1〕R；〔2〕；〔3〕；〔4〕a>1時，；0<a<1時，【解析】(1)R(2)要使原式有意義，需滿足3-x≥0，即，即．(3)為使得原函數(shù)有意義，需滿足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即(4)為使得原函數(shù)有意義，需滿足，即，所以a>1時，；0<a<1時，.【總結升華】此題中解不等式的依據(jù)主要是指數(shù)函數(shù)的單調性，根據(jù)所給的同底指數(shù)冪的大小關系，結合單調性來判斷指數(shù)的大小關系.類型三、指數(shù)函數(shù)的單調性及其應用例3．討論函數(shù)的單調性，并求其值域．【思路點撥】對于x∈R，恒成立，因此可以通過作商討論函數(shù)的單調區(qū)間．此函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)復合而成的函數(shù)，因此可以逐層討論它的單調性，綜合得到結果．【答案】函數(shù)在區(qū)間〔－∞，1〕上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞〕上是減函數(shù)〔0，3]【解析】解法一：∵函數(shù)的定義域為〔－∞，+∞〕，設x1、x2∈〔－∞，+∞〕且有x1＜x2，∴，，．〔1〕當x1＜x2＜1時，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，那么知．又對于x∈R，恒成立，∴．∴函數(shù)在〔－∞，1〕上單調遞增．〔2〕當1≤x1＜x2時，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，那么知．∴．∴函數(shù)在[1，+∞〕上單調遞減．綜上，函數(shù)在區(qū)間〔－∞，1〕上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞〕上是減函數(shù)．∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，，．∴函數(shù)的值域為〔0，3]．解法二：∵函數(shù)的下義域為R，令u=x2－2x，那么．∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在〔―∞，1]上是減函數(shù)，在其定義域內是減函數(shù)，∴函數(shù)在〔－∞，1]內為增函數(shù)．又在其定義域內為減函數(shù)，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞〕上是增函數(shù)，∴函數(shù)在[1，+∞〕上是減函數(shù)．值域的求法同解法一．【總結升華】由本例可知，研究型的復合函數(shù)的單調性用復合法，比用定義法要簡便些，一般地有：即當a＞1時，的單調性與的單調性相同；當0＜a＜1時，的單調與的單調性相反．舉一反三：【變式1】求函數(shù)的單調區(qū)間及值域.【答案】上單增，在上單減.【解析】[1]復合函數(shù)——分解為：u=-x2+3x-2，y=3u；[2]利用復合函數(shù)單調性判斷方法求單調區(qū)間；[3]求值域.設u=-x2+3x-2，y=3u，其中y=3u為R上的單調增函數(shù)，u=-x2+3x-2在上單增，u=-x2+3x-2在上單減，那么在上單增，在上單減.又u=-x2+3x-2，的值域為.【變式2】求函數(shù)的單調區(qū)間.【解析】當a>1時，外層函數(shù)y=au在上為增函數(shù)，內函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故函數(shù)上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)；當0<a<1時，外層函數(shù)y=au在上為減函數(shù)，內函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).例4．證明函數(shù)在定義域上為增函數(shù).【思路點撥】利用函數(shù)的單調性定義去證明?！窘馕觥慷x域為xR，任取x1<x2，.∵，∴，又a>1，x1<x2，∴，∴，∴f(x1)<f(x2)，那么在定義域上為增函數(shù).另：，∵，a>1且x2-x1>0，∴，∴.【總結升華】指數(shù)函數(shù)是學習了函數(shù)的一般性質后，所學的第一個具體函數(shù).因此，在學習中，盡量體會從一般到特殊的過程.例5．判斷以下各數(shù)的大小關系：(1)1.8a與1.8a+1；(2)(3)22.5，(2.5)0，(4)【思路點撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質去比擬大小?！敬鸢浮俊?〕1.8a<1.8a+1〔2〕〔3〕〔4〕當a>1時，，當0<a<1時，【解析】(1)因為底數(shù)1.8>1，所以函數(shù)y=1.8x為單調增函數(shù)，又因為a<a+1，所以1.8a<1.8a+1.(2)因為，又是減函數(shù)，所以，即．(3)因為，，所以(4)當a>1時，，當0<a<1時，．【總結升華】(1)注意利用單調性解題的標準書寫；(2)不是同底的盡量化為同底數(shù)冪進行比擬(因為同底才能用單調性)；(3)不能化為同底的，借助一個中間量來比擬大小(常用的中間量是“0”和“1”).舉一反三：【變式1】比擬大小：(1)22.1與22.3(2)3.53與3.23(3)0.9-0.3與1.1-0.1(4)0.90.3與0.70.4(5).【解析】(1)22.1＜22.3(2)3.53＞3.23.觀察兩函數(shù)值，底數(shù)不同，而指數(shù)不變——不是指數(shù)函數(shù)，而是y=x3，它為增函數(shù).(3)由0.9-0.3，0<0.9<1，-0.3<00.9-0.3>1，1.1>1，-0.1<00<1.1-0.1<1，那么0.9-0.3>1.1-0.1；(4)由指數(shù)函數(shù)圖象相對位置關系——數(shù)形結合，0.90.3>0.70.4.(5)∵，又函數(shù)為減函數(shù)，，∴，∵為增函數(shù)，時，y>1，.另解：冪函數(shù)為增函數(shù)，那么有，(下略).【高清課堂：指數(shù)函數(shù)369066例1】【變式2】利用函數(shù)的性質比擬，，【答案】【解析】=作出的圖象知所以【變式3】比擬1.5-0.2，1.30.7，的大小.【答案】【解析】先比擬的大小.由于底數(shù)(0，1)，∴在R上是減函數(shù)，∵，∴，再考慮指數(shù)函數(shù)y=1.3x，由于1.3>1，所以y=1.3x在R上為增函數(shù)1.30.7>1.30=1，∴.【總結升華】在進行數(shù)的大小比擬時，假設底數(shù)相同，那么可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質得出結果，假設底數(shù)不相同，那么首先考慮能否化成同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質得出結果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進第三個數(shù)(如0，1等)分別與之比擬，從而得出結果.總之比擬時要盡量轉化成底的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調性進行判斷.例6.(分類討論指數(shù)函數(shù)的單調性)化簡：【思路點撥】先把被開方數(shù)變形成完全平方式的形式，然后對進行分類討論，去掉絕對值。【解析】舉一反三：【變式1】如果〔，且〕，求的取值范圍．【答案】當時，；當時，【解析】〔1〕當時，由于，，解得．〔2〕當時，由于，，解得．綜上所述，的取值范圍是：當時，；當時，．類型四、判斷函數(shù)的奇偶性例7．判斷以下函數(shù)的奇偶性：(為奇函數(shù))【答案】偶函數(shù)【解析】f(x)定義域關于原點對稱(∵定義域關于原點對稱，且f(x)的定義域是定義域除掉0這個元素)，令，那么∴g(x)為奇函數(shù)，又∵為奇函數(shù)，∴f(x)為偶函數(shù).【總結升華】求的奇偶性，可以先判斷與的奇偶性，然后在根據(jù)奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出的奇偶性．舉一反三：【變式1】判斷函數(shù)的奇偶性：.【答案】偶函數(shù)【解析】定義域{x|xR且x≠0}，又，∴f(-x)=f(x)，那么f(x)偶函數(shù).類型五、指數(shù)函數(shù)的圖象問題例8．如圖的曲線C1、C2、C3、C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，而，那么圖象C1、C2、C3、C4對應的函數(shù)的底數(shù)依次是________、________、________、________．【答案】【解析】由底數(shù)變化引起指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律可知，C2的底數(shù)＜C1的底數(shù)＜C4的底數(shù)＜C3的底數(shù)．【總結升華】利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關系可以快速地解答像此題這樣的有關問題，同時還可以解決有關不同底的冪的大小比擬的問題，因此我們必須熟練掌握這一性質，這一性質可簡單地記作：在y軸的右邊“底大圖高”，在y軸的左邊“底大圖低”．舉一反三：【變式1】設，c＜b＜a且，那么以下關系式中一定成立的是〔〕A．B．C．D．【答案】D【變式2】為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象()A．向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度B．向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度C．向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度D．向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度【答案】C【解析】注意先將函數(shù)轉化為，再利用圖象的平移規(guī)律進行判斷．∵，∴把函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，應選C．【總結升華】用函數(shù)圖象解決問題是中學數(shù)學的重要方法，利用其直觀性實現(xiàn)數(shù)形結合解題，所以要熟悉根本函數(shù)的圖象，并掌握圖象的變化規(guī)律，比方：平移、伸縮、對稱等．穩(wěn)固練習一、選擇題：1.以下個函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是〔〕A.B.C.D.2．假設函數(shù)與的圖象關于軸對稱，那么滿足的的取值范圍是〔〕A.B.C.D.3．假設，那么以下各不等式成立的是〔〕A.B.C.D.4.函數(shù)在R上是減函數(shù)，那么的取值范圍是〔〕A.B.C.D.5.定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，假設，那么〔〕A.2B.C.D.6.，以下不等式〔1〕；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有〔〕A.1個B.2個C.3個D.4個7.函數(shù)是〔〕A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)8.，那么函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、填空題：9．當時，的值域為。10．設函數(shù)是偶函數(shù)，那么實數(shù)的值是。11.設函數(shù)假設，那么的取值范圍是_________.12.函數(shù)的單調遞減區(qū)間是_______________.三、解答題：13．比擬以下各題中兩個數(shù)的大?。骸?〕；〔2〕；〔3〕，比擬的大小。14.函數(shù)，求其單調區(qū)間及值域.15.函數(shù)，(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)求該函數(shù)的值域；(3)證明是上的增函數(shù).穩(wěn)固練習一、選擇題：1.函數(shù)在R上是減函數(shù)，那么的取值范圍是〔〕A.B.C.D.2.定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足